一個(gè)不等式的推廣
2019-03-08 06:53:48張樂(lè)千
數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年1期
張樂(lè)千
(北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 100032)
1 引言
《數(shù)學(xué)通報(bào)》 2018年5問(wèn)題 24211如下：
作者在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2018年第57卷第6期[2]中給出了解答.
該不等式可從如下幾方面做推廣.
從項(xiàng)數(shù)推廣，但各項(xiàng)之和仍為3，則有如下定理.
若項(xiàng)數(shù)之和改為n,則有如下結(jié)論.
上面兩個(gè)結(jié)論是從項(xiàng)數(shù)入手做的推廣. 若是指數(shù)也做推廣，會(huì)有怎樣的結(jié)論？我們用參數(shù)法經(jīng)過(guò)推理嘗試，(過(guò)程有些繁瑣，在此推測(cè)過(guò)程省略).得到如下兩個(gè)猜想.
從項(xiàng)數(shù)推廣，但各項(xiàng)之和仍為3，指數(shù)也做推廣，有定理3.
項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、項(xiàng)數(shù)之和也做推廣，有如下結(jié)論.
2 主要定理的證明
定理1的證明類似[2]的證明，用均值不等式[3], 得到
求和，得
進(jìn)一步變形，有
(1)
定理2的證明類似定理1的證明，用均值不等式，得到(1)式.
定理3的證明由均值不等式得
=(4k+3)aj, 1≤j≤n.求和得
變形，得
(2)
定理4的證明
注在本定理中，令n=3,k=1,則得到[1] 中的定理.
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