石志群

(江蘇省泰州市教研室 225300)

新一輪課程改革提出了“核心素養(yǎng)”的概念和中國學生核心素養(yǎng)的基本框架與內(nèi)容，各學科也據(jù)此明確了學科核心素養(yǎng)的具體內(nèi)容，普通高中數(shù)學課程標準提出了“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析”六大核心素養(yǎng)，并在“課程性質(zhì)”中提出了“提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導(dǎo)學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維分析世界，會用數(shù)學語言表達世界”的觀點.筆者認為，“用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維分析世界、用數(shù)學語言表達世界”既是數(shù)學核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式，更是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的基本路徑.也就是說，要發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，特別是數(shù)學核心素養(yǎng)，在數(shù)學教學過程中就必須引導(dǎo)學生用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維分析世界、用數(shù)學語言表達世界.

下面以“零指數(shù)冪、負指數(shù)冪”為例，談?wù)劰P者對基于發(fā)展學生核心素養(yǎng)進行數(shù)學教學設(shè)計及其思考.

1 一個案例

1.1 用數(shù)學的眼光看世界

課程標準中對“用數(shù)學的眼光觀察世界”中的“世界”是有明確的定位的，也就是“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”中“問題的來源”，指：現(xiàn)實世界中的、科學中的、數(shù)學中的問題.換句話說，“用數(shù)學的眼光觀察世界”就是指用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界(自然的、社會的)、用數(shù)學眼光觀察科學世界(自然科學、社會科學)、用數(shù)學眼光觀察數(shù)學世界(數(shù)學內(nèi)部的問題、規(guī)律、關(guān)系等).

由于零指數(shù)冪、負指數(shù)冪是正整數(shù)冪的推廣，可用下面的方法直接提出問題：

前面我們學習了同底數(shù)冪相除的運算性質(zhì)：

aman=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù)，m>n)，

為什么要規(guī)定m>n？

學生可以想到：可以考察如果m不大于n，即m≤n，會出現(xiàn)什么情況：

若m=n，那么就會出現(xiàn)a0，如果m

師：為什么不允許呢？

生：因為an的意義是n個a相乘的積，0個a相乘、-1個a相乘是沒有意義的！

師：很好！下面請大家再考慮一下：當m≤n時，aman是不是就不好運算呢？比如，2323，2324？

師：從上述過程可以看到，要解決同底數(shù)冪的除法運算法則在m≤n時能否運用的問題，可以歸結(jié)為如何解決“0個a相乘沒有意義、-1個a相乘沒有意義”等問題.

1.2 用數(shù)學的思維分析世界

為了解決提出的問題，需要運用數(shù)學思維進行分析.而歸納特例、回到原點、直觀想象都是數(shù)學思維的重要形式.

師：請大家考察一個與乘方有關(guān)的實際問題：

1個細胞分裂1次變?yōu)?個，分裂2次變?yōu)?2個，分裂3次變?yōu)?3個，分裂4次變?yōu)?4個，……

當這個細胞沒有分裂(即分裂次數(shù)為0)時，細胞的個數(shù)是多少？

生：還是1個.噢，這說明20=1還是有道理的！

師：那我們怎么辦？

生：規(guī)定

20=1.

師：非常好！這說明只要將乘方的概念加以推廣，20就可以有意義了，從而同底數(shù)冪除法運算的法則在m=n時也就可以成立了！

請大家再思考一下，2-1是否有意義呢？

(停頓片刻)

大家可以先用數(shù)軸進行分析，在數(shù)軸上依次標出24，23，22，21，20所表示的點，并研究這些點之間的關(guān)系.

(學生思考)

生：從圖中可以看出，指數(shù)每減少1，冪所對應(yīng)的點為原點與前一個點的中點.

師：按照這個趨勢，如果2-1有意義的話，那么它所對應(yīng)的點應(yīng)該在哪里？對應(yīng)的實數(shù)是哪個？

生：……

師：根據(jù)正整數(shù)指數(shù)冪的意義，如果2n=x，那么，2n+1應(yīng)該是多少？

生：2x.

師：那么，上述猜想的結(jié)果是否應(yīng)該也滿足這樣的特性呢？

生：應(yīng)該……是的，真的也滿足.

師：既然如此，一般地，2-n(n為正整數(shù))應(yīng)該是多少呢？

生：……

1.3 用數(shù)學的語言表達世界

師：下面請大家用數(shù)學語言對20，2-1，以及一般地2-n(n是正整數(shù))下定義.

師：那么a-n(a≠0)呢？

(板書相關(guān)規(guī)定)

最后說明：

aman=am-n(a≠0,m,n是整數(shù))

成立.

思考：

am×an=am+n(a≠0,m,n是整數(shù))

是否成立？同底數(shù)冪的乘法運算法則與除法運算法則之間有著怎樣的關(guān)系？

2 幾點思考

這是一節(jié)課題研究型的數(shù)學建構(gòu)課，從學生已有知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，運用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題(事實上，歷史上的數(shù)學家們也就是這樣發(fā)現(xiàn)問題、發(fā)展數(shù)學的，或者說，這就是數(shù)學研究的基本過程)：為什么同底數(shù)冪的除法運算法則中要作m>n的規(guī)定？進而通過數(shù)學的思考，將其歸結(jié)為零指數(shù)冪、負指數(shù)冪有沒有意義這個核心問題(或中心問題).先讓學生由乘方的意義(原始意義)發(fā)現(xiàn)它沒有意義(正因為其沒有意義，我們才有資格對其進行新的定義)，再通過數(shù)學的思維進行分析，從而發(fā)現(xiàn)其新的意義，進而引入零指數(shù)冪和負指數(shù)冪的概念.

本課，學生經(jīng)歷了數(shù)學探究的完整過程：

從原運算法則的“不能”，思考“為什么不能？”通過數(shù)學分析，尋找零指數(shù)冪、負指數(shù)冪的新的意義，從而拓展了乘方運算的意義，而這種“新”的意義又保持了正整數(shù)指數(shù)冪所具有的相互關(guān)系.這樣的過程，充分體現(xiàn)了拓展新概念的必要性、合理性，又滲透了數(shù)學的統(tǒng)一美，讓學生感受到數(shù)學的理性精神和價值理念.同時，這為將來將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分數(shù)指數(shù)冪打下了思想與觀念的基礎(chǔ)(其推廣的方法可以完全類似于此).

從教學的視角看，“用數(shù)學眼光觀察世界”就是發(fā)現(xiàn)問題，“用數(shù)學思維分析世界”是解決問題(用數(shù)學的知識、方法、思想、觀念等)，而“用數(shù)學的語言表達世界”則是將解決問題的結(jié)果(有時也包括過程)用數(shù)學的語言(符號、圖形以及必要的文字)表達出來，得到數(shù)學的模型.這是一次數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”過程，學生經(jīng)歷的是一次真正的數(shù)學活動.

這個學習過程對于初中學生而言是完全可以勝任的，符合學習的最近發(fā)展區(qū)理論.這是因為在學習過程中教師充分發(fā)揮了主導(dǎo)作用，適時地給學生以幫助、支持，為其數(shù)學思維提供“腳手架”.

通過上述案例，筆者認為，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該寓于我們平時的每一節(jié)課的教學過程之中，寓于教學的每個環(huán)節(jié)的精心設(shè)計.這種設(shè)計既要符合數(shù)學的發(fā)展規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系，還要符合數(shù)學的研究規(guī)范，更要符合學生的認知規(guī)律和心理傾向，絕對不能讓教師的“權(quán)威”替代了數(shù)學的理性：數(shù)學中的“規(guī)定”不是那么隨意的，它需要有數(shù)學賦于的權(quán)利，也要有現(xiàn)實的合理性，還要符合數(shù)學內(nèi)部的和諧一致.