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        數(shù)學(xué)問題2313號引致的一條不等式鏈

        2019-03-08 06:53:44
        數(shù)學(xué)通報 2019年1期
        關(guān)鍵詞:高線內(nèi)切圓綜上

        何 燈

        (福建省福清第三中學(xué) 350315)

        設(shè)△ABC的3條邊長為a,b,c,其內(nèi)切圓半徑、半周長、面積分別為r、s、S.對應(yīng)邊上的旁切圓半徑、高線、角平分線、中線長分別為ra、rb、rc;ha、hb、hc;wa、wb、wc;ma、mb、mc.

        2016年第7期《數(shù)學(xué)通報》中的2313號問題:

        (1)

        文[1]中得到和式(1)類似的如下三個不等式.

        更一般地,文[1]中建立了定理1的指數(shù)推廣形式.

        定理2對于n∈N+且n≥2,有

        評注1根據(jù)文[1]中定理2的證明過程,條件n∈N+可略去,即定理2對不小于2的實數(shù)n均成立.

        讀罷文[1],筆者感觸頗深,不禁聯(lián)想到與之相關(guān)的幾篇文章.

        (2)

        受定理2、3的啟發(fā),筆者思考能否將兩個定理中的不等式進(jìn)行串聯(lián),以進(jìn)一步揭示它們之間的聯(lián)系.經(jīng)探究,得到如下結(jié)論:

        定理4設(shè)p≥2,則

        證明據(jù)定理2、3,只需證明

        同理可得

        由熟知的不等式∑x2≥∑xy(x,y,z>0),

        綜上,定理4成立.

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