2018年12月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2456已知a1,a2,…,an>0(n≥2)，求證：

(浙江省海鹽縣元濟(jì)高級中學(xué) 張艷宗 314300；北京航空航天大學(xué)圖書館 宋慶 100191)

證明由柯西不等式，

從而由均值不等式

≥n(n+1).

即證．

2457如圖，E、F分別在△ABC的AB、AC上，且EF∥BC，過BC中點D作DG⊥BC交△ABC的外接圓O于G和W，交EF于K，△BEK的外接圓交⊙O于H，GH交EF于M，求證：A、M、W三點共線.

(江西師范高等?？茖W(xué)校 王建榮 335000)

證明連KH、BH、CH、EH、FH、KC、AM，如圖，由∠EKH+∠ABH=∠ACH+∠ABH=180°?K、H、C、F共圓，由于GD為BC的垂直平分線?∠BHG=∠CHG、KB=KC、∠EKB=∠FKC?∠EHB=∠FHC，

故AM平分∠BAC，

因此AM一定通過W．

2458在△ABC中,求證

(1)

(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

(2)

其中Δ為三角形的面積.

為了證明與待證不等式(1)等價的不等式(2),可轉(zhuǎn)證比(2)更強(qiáng)的如下不等式(3)

(3)

設(shè)不等式(3)左右之差為M,由不等式(3)的全對稱性,不妨設(shè)a≥b≥c,

且還有bccosA≤cacosB≤abcosC,

那么有

=0,

故知不等式(3)成立.另一方面由余弦定理及外森比克不等式,可得

聯(lián)立不等式(3)及傳遞性,立得不等式(2),從而知不等式(1)成立.

2459設(shè)點I,Ia,Ib,Ic分別為△ABC的內(nèi)心和旁心，R為其外接圓的半徑，證明：6R≥IIa+IIb+IIc.

(安徽省樅陽縣宏實中學(xué) 江保兵 246700)

圖1

證明設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，p,s分別為其半周長和面積,ra,rb,rc為旁切圓半徑，由內(nèi)心和旁心的性質(zhì)，I,B,Ia,C四點共圓，且這個圓的直徑為IIa，如圖1所示.由正弦定理：

一方面，由柯西不等式

另一方面

這里應(yīng)用了三角恒等式

這里應(yīng)用了三角恒等式

ra+rb+rc-r

=4R，

即ra+rb+rc=4R+r，

8R(ra+rb+rc)=4R(8R+2r)≤36R2，

這里應(yīng)用了歐拉不等式R≥2r.

綜上我們有

36R2≥8R(ra+rb+rc)

≥(IIa+IIb+IIc)2，

即6R≥IIa+IIb+IIc(當(dāng)且僅當(dāng)三角形△ABC為正三角形時等號成立).

2460在三角形ABC中，記BC=a,CA=b,AB=c，n∈N+且n≥2，0<λ≤1，求證：

(安徽省岳西中學(xué) 儲百六 246600)

證明先證一不等式：當(dāng)x∈0,1時，

x∈0,1，則

所以f′x在0,1上為增函數(shù)；

所以存在x0∈0,1，使得f′x0=0，于是

當(dāng)0

當(dāng)x>x0時，f′x>0；

所以fx在0,x0上為減函數(shù)，

在x0,1上為增函數(shù),

所以當(dāng)x∈[0,1]時，

f(x)≤max{f(0),f(1)}=0，

故①成立.

因為是對稱不等式，不妨設(shè)a≥b≥c>0，

于是由①可得

由此有

又因為

所以

2019年1月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀 斌 龔為民 441700)

2462已知如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E.點M1、M2在OC上，且CM1=OM2.直線AM1、AM2分別交⊙O于點N1、N2.求證：

S△DCN1·S△DCN2=S△DBN1·S△DBN2.

(北京市芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2463設(shè)a,b,c>0,求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

2464△ABC的內(nèi)切圓O分別與邊BC、CA相切于D、E，連AD，AD與圓O又交于P，連BP，CP.求證：BPC=90°的充要條件是AE+AP=PD.

(江蘇無錫市第一中學(xué) 李廣修 214031)

(山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué) 宋志敏 256600)