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        一個三角等式證明及其應用

        2019-03-08 06:53:52楊學枝
        數(shù)學通報 2019年1期

        楊學枝

        (福建省福州第二十四中學 350015)

        本文首先給出一個常見的三角等式,并用多種方法證明,然后舉例說明其應用.

        定理設(shè)α,β,γ是任意實數(shù),則

        cos2α+cos2β+cos2(α+β)-2cosαcosβcos(α+β)=1,

        下面我們給出定理中的等式的十種證法,這十種證法各有特色,富有啟發(fā)性.

        證一應用和差化積及半角公式.

        =1+cos(α+β)[cos(α+β)+cos(α-β)]-2cosαcosβcos(α+β)

        =1+2cosαcosβcos(α+β)-2cosαcosβcos(α+β)=1=右邊,

        故定理獲證.

        證二應用積化和差及倍角公式.

        左邊=cos2α+cos2β+cos2(α+β)-cos(α+β)[cos(α+β)+cos(α-β)]

        =1=右邊,

        故定理獲證.

        證三應用兩角和的公式和誘導公式.

        左邊=cos2(α+β)+cosα[cosα-cosβcos(α+β)]+cosβ[cosβ-cosαcos(α+β)]

        =cos2(α+β)+cosα[cos(α+β-β)-cosβcos(α+β)]+cosβ[cos(α+β-α)-cosαcos(α+β)]

        =cos2(α+β)+sin(α+β)cosαsinβ+sin(α+β)sinαcosβ

        =cos2(α+β)+sin(α+β)(sinαcosβ+cosαsinβ)

        =cos2(α+β)+sin2(α+β)=1=右邊,

        故定理獲證.

        證四應用兩角和的公式和誘導公式.

        由于cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即有

        sinαsinβ=-cos(α+β)+cosαcosβ,

        將上式兩邊平方得到

        sin2αsin2β=cos2(α+β)+cos2αcos2β-2cosαcosβcos(α+β),

        又由于sin2α=1-cos2α,sin2β=1-cos2β,代入上式,并經(jīng)整理即得定理中的等式.

        證五應用sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,證法同上面證四(從略).

        證六先配方,再應用兩角和的公式及誘導公式.

        左邊=[cos(α+β)-cosαcosβ]2+cos2α+cos2β-cos2αcos2β

        =(sinαsinβ)2+cos2α+cos2β-(1-sin2α)(1-sin2β)

        =cos2α+cos2β+sin2α+sin2β-1=2-1

        =1=右邊,

        故定理獲證.

        證七當sinα,sinβ,sin(α+β)有一個為零時,不妨設(shè)sinα=0,則α=kπ(k∈Z),這時有

        原式左邊=cos2α+cos2β+cos2(α+β)-2cosαcosβcos(α+β)

        =1+cos2β+cos2(kπ+β)-2coskπcosβcos(kπ+β)

        =1+cos2β+cos2β-2cos2β=1=右邊,

        原式成立.

        當sinαsinβsin(α+β)≠0時,可利用代數(shù)恒等式及余弦定理證明定理中的等式成立.

        利用恒等式(證明從略)

        x(-x+y+z)2+y(x-y+z)2+

        z(x+y-z)2+(-x+y+z)(x-y+z)·

        (x+y-z)=4xyz.

        若在上式中取x=sin2α,y=sin2β,z=sin2(α+β),xyz≠0,并注意到等式(證明從略)

        -sin2α+sin2β+sin2(α+β)=2sinβsin(α+β)cosα,

        sin2α-sin2β+sin2(α+β)=2sinαsin(α+β)cosβ,

        sin2α+sin2β-sin2(α+β)=-2sinαsinβcos(α+β),

        即得到定理中的等式.

        證八應用兩角和的公式和行列式運算.

        當sinαsinβsin(α+β)=0時,原式成立,可見上面證七.

        當sinαsinβsin(α+β)≠0時,由于

        故有

        展開即得定理中的等式.

        證九應用兩角和的公式以及方程性質(zhì).

        由兩角和公式,有

        設(shè)x=sinα,y=sinβ,z=sin(α+β),則以上方程組即為

        若xyz=0,上面證七中已經(jīng)證明,這時原式成立.

        若xyz≠0,由于上述方程組對于x,y,z是齊次線性方程組,有非零解,因此有

        展開即得定理中等式.

        證十設(shè)平面上一點O,射線OA,OB,OC的長度均為1,OB與OC成角為α,OC與OA成角為β,則OA與OB成角為-(α+β).由于平面上任意三個非零實數(shù)向量都線性相關(guān),即總存在不全為零的兩個實數(shù)λ,u,滿足

        于是有

        由以上關(guān)于λ,u的線性方程組,消去λ,u,便得到行列式

        展開即得定理中等式.

        由定理1即可得到以下推論.

        推論1設(shè)A,B,C是任意實數(shù),且A+B+C=(2k+1)π(k∈Z)則

        cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.

        或?qū)懗上铝行辛惺剑?/p>

        推論2設(shè)α,β,γ是任意實數(shù),且α+β+γ=2kπ(k∈Z)則

        cos2α+cos2β+cos2γ-2cosαcosβcosγ=1.

        或?qū)懗上铝行辛惺剑?/p>

        由推論1中的等式可得到

        2cosAcosBcosC=sin2A+sin2B+sin2C-2,

        再將上式兩邊平方,并應用cos2A=1-sin2A等,經(jīng)整理,可得到以下

        推論3設(shè)A,B,C是任意實數(shù),且A+B+C=kπ(k∈Z)則

        4sin2Asin2Bsin2C

        =2∑sin2Bsin2C-∑sin4A.

        推論3也可以用三角形面積海倫公式推導得到,由于

        16Δ2=2∑b2c2-∑a4

        =4R4(2∑sin2Bsin2C-∑sin4A),

        Δ=2R2sinAsinBsinC,

        由上面兩個三角形面積公式,即可得到推論3中的等式.

        推廣設(shè)α,β,γ∈R,則

        cos2α+cos2β+cos2γ+cos2(α+β+γ)

        =2[1+cosαcosβcosγcos(α+β+γ)+

        sinαsinβsinγsin(α+β+γ)].

        由等式cos(α+β)=cos[(α+β+γ)-γ]得到

        cosαcosβ-cosγcos(α+β+γ)

        =sinαsinβ+sinγsin(α+β+γ),

        將上式兩邊平方,并應用等式

        sin2α=1-cos2α,sin2β=1-cos2β,

        sin2(α+β+γ)=1-cos2(α+β+γ),

        即可得到.

        上述定理及其推論有著廣泛的應用.下面略舉幾例.

        例1設(shè)α,β∈(0,π),滿足

        求cosα,cosβ的值.

        得到

        代入定理中的恒等式

        cos2α+cos2β+cos2(α+β)-2cosαcosβcos(α+β)=1,

        并經(jīng)整理得到

        1500cos3β-2600cos2β+435cosβ+663=0,

        (15cosβ-17)(100cos2β-60cosβ-39)=0,

        由于15cosβ-17≠0,因此

        100cos2β-60cosβ-39=0,

        例2△ABC為逆時針轉(zhuǎn)向,其三個內(nèi)角為A,B,C,若P點為△ABC所在平面上一點,已知PA=R1,PB=R2,PC=R3,求△ABC三邊長.

        解i)當P點為外接圓內(nèi)或外接圓上一點時.

        設(shè)△ABC外接圓半徑為R,則三邊長為BC=a=2RsinA,CA=b=2RsinB,AB=c=2RsinC,射線PB到PC,PC到PA,PA到PB的角(均為逆時針方向)分別為α,β,γ,則有α+β+γ=2kπ(k∈Z).于是,由余弦定理得到

        再利用三角函數(shù)恒等式(前面已證明):若α+β+γ=2kπ(k∈Z),則有

        cos2α+cos2β+cos2γ-2cosαcosβcosγ=1,

        將上面三式代入,便有

        整理得到

        (※)

        sin2C)

        sinBsinCcosA)

        (※※)

        下面說明,當P點為△ABC外接圓內(nèi)或外接圓上一點時,有

        由于△ABC為逆時針轉(zhuǎn)向,△ABC面積為正.從P點分別向三邊BC,CA,AB引垂線,垂足分別為A′,B′,C′ 記△ABC與△A′B′C′的有向面積分別為Δ與Δ′,△A′B′C′三邊長分別為B′C′=a′,C′A′=b′,A′B′=c′,并注意到

        Δ=2R2sinAsinBsinC,

        =Δ′,

        可知, 若P點為△ABC外接圓內(nèi)或外接圓上一點時,△A′B′C′面積Δ′≥0,因此有

        =2Δ-2(Δ-2Δ′)=4Δ′≥0,

        當且僅當P在△ABC外接圓上時Δ′=0[1].

        因此,由式(※※)可求得

        由此得到

        于是,便可求得△ABC三邊

        ii)當P點為△ABC外接圓外一點時,Δ′<0,因此有

        因此,有

        由式(※※),可以得到以下等式:

        以上Δ,Δ′為有向面積.

        例3半徑分別為a,b,c的三個圓E,圓F,圓G,兩兩相外切,求同時與上述三個圓均外切的小圓的半徑r.

        解答見文[2].

        例4若四面體ABCD,由頂點D出發(fā)的三條棱長為DA=a,DB=b,DC=c,底面ABC的面積為Δ,記∠BDC=α,∠CDA=β,∠ADB=γ,四面體ABCD體積為V,則有

        證明設(shè)BC=a′,CA=b′,AB=c′,從D作DH⊥平面ABC,垂足為H,設(shè)HA=R1,HB=R2,HC=R3,射線HB到射線HC,射線HC到射線HA,射線HA到射線HB的角分別為α′,β′,γ′,則α′+β′+γ′=2kπ(k∈Z), 且有

        同理,有

        代入等式

        cos2α′+cos2β′+cos2γ′-2cosα′cosβ′cosγ′

        =1,

        (據(jù)推論2)得到

        =1,

        上式經(jīng)化簡,得到

        16Δ2h2+a2(b2+c2-a′2)2+

        b2(c2+a2-b′2)2+c2(a2+b2-c′2)2

        -(b2+c2-a′2)(c2+a2-b′2)(a2+b2-c′2)

        -4a2b2c2=0,

        由此,可以求得

        b2(c2+a2-b′2)2-c2(a2+b2-c′2)2

        +(b2+c2-a′2)(c2+a2-b′2)(a2+b2-c′2)

        +4a2b2c2]

        -4a2b2c2cos2γ

        +8a2b2c2cosαcosβcosγ+4a2b2c2),

        +2cosαcosβcosγ),

        由此便得到

        許多數(shù)學參考書中對于例4中的四面體體積公式的證明都比較麻煩,這里我們給出了一個初等的證明.

        本文定理還有許多應用,限于篇幅就不累贅了.

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