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(南通中學,江蘇 南通 226001)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程[1]．在立體幾何模塊中，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)主要是通過研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系，運用直觀感知、操作確認、推理論證等方法認識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念，發(fā)展學生的幾何直觀和空間想象能力，同時增強學生運用圖形和空間想象思考問題的意識[2]．

高中立體幾何是提升直觀想象核心素養(yǎng)的重要載體，課堂教學是落實核心素養(yǎng)的主要陣地．本文以蘇教版《數(shù)學(必修2)》第一章“立體幾何初步”中的“棱柱、棱錐和棱臺”課堂教學為例，談談如何基于提升學生的直觀想象素養(yǎng)來進行立體幾何教學．

1 教學設計

“棱柱、棱錐和棱臺”作為立體幾何的起始課，其重要性不言而喻，可以說學生的空間觀念和運動變化的觀點就是依賴本課初步形成的.教材中要求學生先后觀察兩組幾何體，然后探究發(fā)現(xiàn)各組的共同點，進而得出棱柱和棱錐的概念，最后導出棱臺的概念.教材本意是突出由直觀感知到抽象概括的過程以及由靜態(tài)到動態(tài)的思想，符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，但在具體操作過程中困難重重，舉步維艱.其一，學生對空間幾何體的認識是靜態(tài)的、淺顯的，很難過渡到用運動的觀點來思考問題；其二，在研究棱柱的特點時，學生難以用數(shù)學語言來描述.因此，筆者計劃保留教材設計的思想方法，而對其教學過程進行調(diào)整.

筆者計劃先從生活引入，通過觀察學校正門，感受生活中的空間幾何體，揭露本課的課題；接著從校門支柱中抽象出學生熟悉的幾何體——長方體，再從生活中尋找長方體——書，通過書與頁的關系探討兩種長方體的形成過程，然后推廣到一類幾何體中，并得出棱柱的概念，研究棱柱的相關知識；最后結(jié)合生活情景——削鉛筆和折斷筆尖，并對其數(shù)學化，抽象出棱錐和棱臺的概念……流程框圖如下：

2 課堂實錄(片段)

環(huán)節(jié)1生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，熟悉中挖掘新知.

師(PPT展示圖片)：相信大家已經(jīng)看到這張圖片了，圖片的內(nèi)容大家應該也非常熟悉，就是咱們學校的東門，但是不知道同學們有沒有仔細觀察過這張圖片.其實這張圖片中蘊含了不少的空間圖形，比如說，東門前石獅子的底座、東門的整個頂部、科學樓的頂部、東門的兩個支柱等等.我們生活在三維空間里，處處可見空間圖形，可以說，空間圖形與我們的生活息息相關.今天我們就來研究一組簡單的空間幾何體：棱柱、棱錐和棱臺.

師：東門的兩個支柱可以看成是什么幾何體？

生1：長方體.

師：生活中常常能見到長方體，同學們能舉些例子嗎？

生2：紙箱、文具盒、門……

師：對的，那這本書也能看成一個長方體嗎？

生3：可以.

師：如果將這本書看成一個長方體，那書中的每一頁都可以看成什么圖形？

生4：長方形.

師：這些長方形之間有什么關系呢？

生(眾)：面積相等，完全相同，全等……

師：這個長方體可以看成是如何形成的？

生5：一些全等長方形疊加而成.

(從熟悉的情境引入，通過對生活中常見的事物進行分析，引導學生意識到空間幾何體就在身邊.教師適當引導，學生積極觀察，得到長方體的靜態(tài)形成過程，為長方體的動態(tài)形成過程作鋪墊.)

環(huán)節(jié)2從靜態(tài)到動態(tài)，從特殊到一般.

師：剛剛我們從靜態(tài)的角度用多個長方形疊加形成了長方體，現(xiàn)在大家能否只用最上方的一個長方形通過運動的方式形成這個長方體呢？

生6：由一個長方形沿某一方向平移得到(如圖1).

圖1

(教師發(fā)問，引導學生發(fā)現(xiàn)書與第一頁的關系，得到長方體的動態(tài)形成過程.)

師：類似地，大屏幕上的這4個幾何體(如圖2)，可以用同樣的方式得到嗎？

圖2

生7：可以呀.

師：能具體說說嗎？

生8：平行四邊形沿某一方向平移得到……

師：現(xiàn)在我們通過動畫再來感受一下它們的生成過程.

(動畫1：棱柱的生成過程.)

師：如何用數(shù)學語言來描述這一類幾何體的形成過程呢？

生9：由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體就稱為棱柱.

(得到棱柱的概念，介紹棱柱的常用名稱和分類.)

活動1棱柱有什么特點呢？

活動2如何畫一個四棱柱呢？

環(huán)節(jié)3回歸生活情境，再探數(shù)學新知.

師：現(xiàn)在我們不僅認識了棱柱，還會畫棱柱.其實，咱們小學一年級就接觸過棱柱，今天我還帶了一個過來.這樣的鉛筆都用過嗎？它可以看成是一個什么幾何體？

生10：六棱柱.

(回歸生活情境，從生活中尋找數(shù)學的意義，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系.)

師：同學們肯定也都削過鉛筆，現(xiàn)在請同學們設想，如果在理想的情況下，沿著鉛筆的每個面用小刀去削它，那么會形成一個怎樣的幾何體呢？

生11：錐體.

師(PPT展示圖片)：削鉛筆只改變了鉛筆的一部分，其他不變，那我們就來著重研究筆尖這部分.削之后，變成了這樣一個幾何體，從運動的觀點來看，這個新幾何體可以由六棱柱如何得到？

生12：一個底面收縮為一個點.

師：很好，那我們通過動畫再來感受一下.

(動畫2：六棱柱形成六棱錐.)

師(PPT展示圖片)：確實可以得到這個幾何體.不過剛剛是個特殊的例子，對于這3個棱柱(即圖2中的前3個圖形)，是否也可以進行同樣的變換呢？我們一起來看看.

(動畫3：棱錐的生成過程.)

師：如何用數(shù)學語言描述這一類幾何體的形成過程？

(由特殊到一般，生成棱錐的概念；類比棱柱，探究棱錐中的相關知識.)

師：削鉛筆可以近似看成是棱柱形成棱錐的動態(tài)過程，那我想問問大家，你們在削鉛筆的時候會把筆尖削得特別尖銳嗎？為什么？

生13：不會，容易斷.

師(手勢比劃)：如果鉛筆的筆尖斷裂，這個棱錐又會變成什么樣的幾何體呢？

(動畫4：棱臺的生成過程.)

師：如何用數(shù)學語言描述這一類新幾何體的形成過程？

(得到棱臺的概念，類比棱柱和棱錐，得到棱臺的一些常用名稱.)

活動3判斷下列幾何體是否為棱臺(圖略)？

活動4如何畫一個三棱臺？

(介紹多面體的概念和一些生活實例.)

環(huán)節(jié)4回顧課堂知識，總結(jié)思想方法.

師：請同學們總結(jié)一下，這堂課我們有哪些收獲呢？

生14：1)課堂內(nèi)容：……;2)思想方法：類比的方法、運動的觀點、數(shù)學的眼光.

3 教學反思

3.1 關于課堂的4個環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1的重點是突出生活與數(shù)學的聯(lián)系，包含兩個步驟:第一是聯(lián)系生活實際，從生活實際中抽象出熟悉的幾何體——長方體；第二是從書本出發(fā)，通過對書和頁的觀察，引導學生思考得到長方體的靜態(tài)形成過程.這一環(huán)節(jié)主要讓學生理解數(shù)學源于生活，同時培養(yǎng)了學生用數(shù)學的眼光觀察世界的能力.

環(huán)節(jié)2的重點是棱柱的概念，學生通過思考得到長方體的動態(tài)生成過程，將其推廣到一般的棱柱，進而探究棱柱的概念和相關知識.在學生的意識中，普遍把空間幾何體看作是靜態(tài)的空間圖形，不善于用運動的眼光觀察它們.因此在本環(huán)節(jié)中教師要引導學生用運動的眼光觀察空間圖形，培養(yǎng)學生的空間想象能力.

環(huán)節(jié)3的重點是棱錐和棱臺的概念，先是通過學生思考生活情境——削鉛筆，得到棱錐的概念和相關知識；接著思考另一生活情境——筆尖斷裂，得到棱臺的概念和相關知識.本環(huán)節(jié)突出強調(diào)生活與數(shù)學的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界的能力，同時運用數(shù)學化和理想化的方法培養(yǎng)學生抽象的思維.

環(huán)節(jié)4的重點是總結(jié)課堂思想方法，提升教學的效果.

3.2 關于課堂中的4個活動

活動1探究了棱柱的特點，其中圖形以及圖形的加工、變換能力在培養(yǎng)與發(fā)展空間想象能力的過程中起了關鍵作用.當學生已逐步擺脫直觀模型的束縛，轉(zhuǎn)而對圖形進行認識時，應適當增加圖形運動變化的訓練，力求在圖形變式與運動過程中認識圖形的本質(zhì)特征，克服一些由圖形帶來的思維障礙[3].本活動設計的目的是培養(yǎng)學生獨立思考和合作探究的能力，學生在探究棱柱特點的過程中會先在頭腦中形成棱柱的表象，想象棱柱的生成過程，逐步把握棱柱的本質(zhì)特征.

活動2和活動4分別是畫四棱柱、三棱臺.幾何概念的內(nèi)部表征形式以表象為主，表象在一定程度上起到了連接概念與圖形、圖形與模型的作用.要使學生擺脫對直觀模型的依賴，必須進行畫圖訓練.在培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的過程中，空間觀念是基礎.活動2和活動4通過繪圖的方式，學生既能在大腦中形成空間幾何體的表象，又能實現(xiàn)由“模型”到“圖形”的過渡.

活動3是辨析棱臺.許多幾何概念都可以用圖形直觀表示，概念的內(nèi)涵雖然是確定的，但圖形表示則是多種多樣的.因此，在學習幾何概念時，除了要弄懂概念的內(nèi)涵外，還應該利用概念的各種“圖形變式”去界定概念的外延[4].一般情況下，一個圖形只是某幾何概念外延集合中的一個特定對象，而學生在形成概念時，總把引入概念時所用的圖形與該概念建立牢固的聯(lián)結(jié)，形成某種圖形經(jīng)驗.這種圖形經(jīng)驗有時會把圖形中的非本質(zhì)屬性也作為概念內(nèi)涵的一部分而產(chǎn)生消極影響.比如，在由長方體引入棱柱時，圖形中長方體的面數(shù)等都是與“棱柱”這個概念無關的背景因素，學生容易在無意中縮小概念的外延.因此，本活動就通過多個實例、多種類型的空間幾何體來幫助學生掌握“棱柱”概念的準確內(nèi)涵.

3.3 立體幾何教學中提升直觀想象素養(yǎng)的思考

立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結(jié)構特征，從而進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，重點提升直觀想象的核心素養(yǎng).

1)從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，讓數(shù)學回歸于生活.

數(shù)學源于生活，又高于生活.空間幾何體多是從生活實物中抽象而出，一般的幾何概念都有一個直觀的幾何模型，幾何屬于具體化的數(shù)學世界.可以說，在所有的高中數(shù)學章節(jié)中，立體幾何是與生活聯(lián)系最緊密的.要從具體的現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)學知識，既要善于從學生的生活世界里尋找貼切的素材組織數(shù)學學習活動，也要有意識地引導學生開展教學思考以進行必要的數(shù)學抽象，建構起形式化的數(shù)學知識[5].

數(shù)學在本質(zhì)上是一門形式化的科學，它所研究的大都是經(jīng)過多級抽象的形式概念，當學生獲得數(shù)學形式概念之后，為了強化對概念的理解，并在問題解決(特別是與現(xiàn)實背景相關的問題解決)過程中應用概念，還應經(jīng)歷一個重新尋找意義的過程.因此，在學完新的數(shù)學概念后，必須在生活中尋找新知識的意義，讓數(shù)學回歸于生活.

弗萊登塔爾認為:數(shù)學作為人類的一種活動，它的主要特征就是數(shù)學化，數(shù)學學習的過程就是數(shù)學化的過程，也就是學會用數(shù)學的觀點考察現(xiàn)實，運用數(shù)學的方法解決問題[6].在體會數(shù)學源于生活又回歸于生活的過程中，可以培養(yǎng)用數(shù)學眼光觀察世界和用數(shù)學思維思考世界的能力；在用數(shù)學眼光觀察三維世界的過程中，學生又可以不斷提高自身的直觀想象素養(yǎng).

2)重視學生主體地位，遵循學生認知發(fā)展.

作為教育對象的學生，既因其是一個自然人而具有自然屬性，又因其是一個社會人而具有社會性和主體性[7].學生的主體活動是學生發(fā)展的源泉，因此在教育活動中，教師應該注意調(diào)動學生的自覺性和積極性，積極引導他們主動參與教育活動，發(fā)揮學生在教育活動中的主體作用.教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式.

學生在每一個階段的認知發(fā)展具有一般的特點和規(guī)律，進行數(shù)學教學設計必須首先了解、尊重和符合這些特點和規(guī)律.教師應當幫助學生，但不能幫助太多也不能太少，這樣才能使學生有一個合理的工作量，獲得盡可能多的獨立工作經(jīng)驗[8].在學習立體幾何模塊時，要遵循從靜態(tài)到動態(tài)、從特殊到一般、從舊知到新知的教學規(guī)律，不斷完善學生概念的心理表象，培養(yǎng)學生的空間觀念和空間想象能力.

3)發(fā)揮信息技術優(yōu)勢，充分展示空間圖形.

數(shù)學的學習重點在于概念、定理、法則、公式等知識的理解和應用，而這些知識往往又具有高度的概括性和抽象性，這也正是學生感到數(shù)學難學的原因之一.適當?shù)瘮?shù)學抽象性，將抽象與具體結(jié)合是解決困難的有效方法之一.立體幾何的教學困難主要在于學生難以在頭腦中形成相應的空間圖形，也難以在頭腦中對空間圖形進行各種操作，如平移、旋轉(zhuǎn)、切割、黏合、拓展等.因此，充分發(fā)揮信息技術的優(yōu)勢，適當利用軟件展示空間圖形的變換和操作，可以為理解和掌握圖形幾何特點提供直觀，從而極大地降低理解的難度.

數(shù)學核心素養(yǎng)作為新課程改革深化的重大突破成果，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn).正如美國數(shù)學家柯朗所言:數(shù)學的基本要素是邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性，這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力構成了數(shù)學科學的生命、用途和它的崇高價值[9].然而，數(shù)學核心素養(yǎng)是在掌握數(shù)學知識的基礎上逐步形成的，貫穿教育的始終，并非一蹴而就，也不能投機取巧.數(shù)學教師在教學中要充分意識到其重要性和艱巨性，在教學中不斷探索、努力實踐、總結(jié)經(jīng)驗，豐富其理論，掌握其精髓.