問題的提出

計(jì)算教學(xué)是一個(gè)比較抽象、理性的過程，尤其是筆算教學(xué)，過程繁瑣、復(fù)雜，稍不注意，錯(cuò)誤頻出，對(duì)于以形象思維為主的小學(xué)生來說，感覺寡淡無味似乎不可避免。而在老師們看來，計(jì)算教學(xué)是一種“死知識(shí)”，有規(guī)定的法則和順序，有統(tǒng)一的格式和要求，不容易出彩頭。簡(jiǎn)單的，根本就沒講頭；復(fù)雜的，很難講清楚，講起來也沒意思。所以課堂教學(xué)研討會(huì)、課堂教學(xué)競(jìng)賽，老師們幾乎都不愿意選上計(jì)算課。

面對(duì)教學(xué)實(shí)踐中普遍存在的問題，讓老師和學(xué)生均覺興味索然的計(jì)算教學(xué)，如何才能變得生動(dòng)豐富，煥發(fā)生命的活力，使學(xué)生從心底里喜歡？

我們的思考

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用。

人的內(nèi)心深處有一種根深蒂固的需要：總想自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者。在兒童的精神世界中，這種需求尤為強(qiáng)烈。要讓孩子們?cè)谟?jì)算教學(xué)中興趣盎然，深度學(xué)習(xí)，必須給孩子們提供成為發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者的表現(xiàn)機(jī)會(huì)。

因此，我們認(rèn)為，只有將計(jì)算教學(xué)與問題解決緊密聯(lián)系起來，將“如何計(jì)算”作為一個(gè)迫切需要解決的實(shí)際問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)和思考的境地，吸引學(xué)生自發(fā)地主動(dòng)地積極地調(diào)動(dòng)所有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性地去解決問題，孩子們才可能成為真正意義上的發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者。

我們的探索

小學(xué)數(shù)學(xué)教材上的計(jì)算教學(xué)可以分為起始課和后續(xù)課兩大類。起始課是單元知識(shí)學(xué)習(xí)的第一節(jié)課，是引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)單元新知識(shí)學(xué)習(xí)的觸手。計(jì)算教學(xué)起始課對(duì)學(xué)生而言，往往可能是完全陌生的，所能做的事不過是理解并接受已經(jīng)形成定論的全新算法罷了，難怪老師們?cè)谟?jì)算教學(xué)起始課上不約而同地采取全盤講解的方式。因此，我們的重點(diǎn)放在起始課的教學(xué)上。

要讓孩子們成為計(jì)算法則的發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者，教師所要做的就是把學(xué)生帶入計(jì)算法則發(fā)生的情境中去，將靜態(tài)的知識(shí)結(jié)論轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的探索對(duì)象，讓孩子們以濃縮的時(shí)空，親歷計(jì)算法則的再生產(chǎn)過程，親歷前人“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的全過程，完成對(duì)計(jì)算法則認(rèn)知意義上的重演，從而深刻理解隱藏在算法背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，我們選取了幾個(gè)具有代表性的計(jì)算教學(xué)起始課內(nèi)容進(jìn)行研究，以形成引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效策略。

一、創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)學(xué)生探究興趣

從小學(xué)生的年齡、心理特征上分析，生動(dòng)、有趣、恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們調(diào)動(dòng)高昂的情緒來參與學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程得以真實(shí)展開，學(xué)習(xí)自然發(fā)生。

例如，人教版三年級(jí)下冊(cè)“有趣的乘法計(jì)算”教學(xué)，這是孩子們第一次研究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的巧算方法。為了迅速激發(fā)孩子們的研究興趣，我們?cè)O(shè)計(jì)了“人機(jī)大戰(zhàn)”的競(jìng)賽情境拉開序幕。

師：同學(xué)們，你們知道嗎？我可是數(shù)學(xué)界有名的神算子，今天我想現(xiàn)場(chǎng)和同學(xué)們來一場(chǎng)兩位數(shù)乘兩位數(shù)大比拼。你們用計(jì)算器計(jì)算，而我直接口算。比賽規(guī)則是：屏幕會(huì)隨機(jī)滾動(dòng)出示題目，你們一起喊停，看到題目我們同時(shí)算，誰最先算出正確答案并大聲報(bào)出得數(shù)，就獲勝。一共比賽三局。（挑選兩名操作計(jì)算器熟練的學(xué)生操作計(jì)算器）

師：選手準(zhǔn)備好了嗎？小裁判們準(zhǔn)備好了嗎？看屏幕，PK賽正式開始?。ㄆ聊粷L動(dòng)依次出題）

第一局：89×11，第二局：84×86，第三局：36×11。

師：耶！三局都是我勝啦！謝謝同學(xué)們的掌聲！我怎么算這么快呢？其實(shí)我是有秘訣的。想知道嗎？（生齊：想）

師：今天，我們就一起來研究乘法計(jì)算中的秘密。（板書課題：有趣的乘法計(jì)算）

教師口算與學(xué)生用計(jì)算器算同臺(tái)比拼，以屏幕隨機(jī)滾動(dòng)并抽取乘法算式的方式凸顯賽制的公平，以教師的屢屢獲勝讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心和想要探究獲勝秘訣的熱切欲望，這樣的情境引人入勝。

二、經(jīng)歷算法構(gòu)建過程，實(shí)現(xiàn)算理與算法內(nèi)在統(tǒng)一

理解算理和掌握算法一直以來都是計(jì)算教學(xué)的兩個(gè)核心目標(biāo)。算理是計(jì)算的理論依據(jù)，其內(nèi)涵包括數(shù)和運(yùn)算的意義，運(yùn)算的規(guī)律和性質(zhì)，解決“為什么這樣算”的問題。算法是計(jì)算的方法，其內(nèi)涵是由已知推出未知的程序，解決“怎樣算”的問題。算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性與正確性。算法為計(jì)算提供規(guī)范快捷的操作方法，促進(jìn)了計(jì)算速度的提高，是解決一類問題的處方。如何將理解算理和掌握算法雙雙落地？我們以三年級(jí)下冊(cè)筆算除法的起始課“除數(shù)是一位數(shù)的除法”一課為例。

1.自己想辦法算，展現(xiàn)多樣化的算法。

師：咱們?cè)瓉韺W(xué)過表內(nèi)除法的簡(jiǎn)單計(jì)算。而這個(gè)除法算式（指黑板上的算式48÷2）用乘法口訣表已經(jīng)不能直接算出來了，怎么辦呢？老師給你們準(zhǔn)備了一些小棒，你們可以借助小棒分一分，也可以畫一畫，還可以用算式表達(dá)。只要能讓大家一眼就能看明白你是怎么算的就可以了?，F(xiàn)在，請(qǐng)你們自己想辦法算吧。

學(xué)生開始嘗試獨(dú)立解決。教師巡視指導(dǎo)。

師：看來很多同學(xué)都已經(jīng)解決了這個(gè)問題。誰愿意來分享自己的解決方法？

這節(jié)課是第一次學(xué)習(xí)表外筆算除法，也是真正意義上的筆算除法學(xué)習(xí)。教師沒有急于教給學(xué)生正確的算法，而是放慢腳步，采用開放的教學(xué)方式，將除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法“如何計(jì)算”作為一個(gè)迫切需要解決的實(shí)際問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生用自己喜歡的方法來嘗試計(jì)算。教師唯一的要求就是“讓大家一眼就能看明白你是怎么算的”，逼著孩子們自己面對(duì)一個(gè)陌生的情境，搜腸刮肚調(diào)動(dòng)所有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題。

孩子們自主探究后，呈現(xiàn)了多樣的算法：有借助小棒擺一擺的、有口算的、有列不同豎式算的。4種解決方案都是孩子們以自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為背景進(jìn)行推理或遷移的成果，都是孩子們深度思考之后的個(gè)性呈現(xiàn)。

2.對(duì)照比較，構(gòu)建一般性算法。

師：我們班的同學(xué)真聰明，解決除數(shù)是一位數(shù)的計(jì)算問題，一下子想出了4種方法。無論是擺小棒還是口算，還是列豎式計(jì)算，我們都是先算十位再算個(gè)位，計(jì)算的順序都是一致的。這4種計(jì)算方法，你最喜歡哪一種，為什么？

學(xué)生有的喜歡分小棒的方法，認(rèn)為很簡(jiǎn)單；有的覺得分小棒的方法雖然簡(jiǎn)單，容易看明白，但是如果被除數(shù)變大了，分小棒的方法不現(xiàn)實(shí)；有的喜歡口算的方法，認(rèn)為算起來非?？欤瑳]有必要列豎式計(jì)算；有的認(rèn)為如果數(shù)不大，口算確實(shí)很方便，如果數(shù)很大，口算根本就算不出來。

師：是啊，看來數(shù)比較大的時(shí)候，擺小棒和口算的辦法確實(shí)不合適，就要用到列豎式計(jì)算了。列豎式計(jì)算時(shí)，被除數(shù)再大也沒事，咱們把除號(hào)畫長一點(diǎn)就行了嘛！黑板上這兩種列豎式計(jì)算的方法，你們喜歡哪種？

學(xué)生有的喜歡第一種，認(rèn)為簡(jiǎn)單；有的喜歡第二種，認(rèn)為算的過程記錄得非常清楚，不易出錯(cuò)。

師：我們一起來把大家的意見綜合一下，簡(jiǎn)單的除法……（生齊：擺小棒或者口算）

師：對(duì)！簡(jiǎn)單的事情簡(jiǎn)單做。復(fù)雜的除法就……（生齊：列豎式計(jì)算）

師：列豎式計(jì)算我們產(chǎn)生了兩種意見。第一種豎式寫法簡(jiǎn)單，但是看不出計(jì)算的過程，第二種豎式寫法麻煩，好處是計(jì)算的過程很清楚。（生齊：對(duì)）

師：既然豎式應(yīng)該怎么寫大家各執(zhí)己見，誰也說服不了誰，我一聽也覺得兩種意見都有道理，那現(xiàn)在請(qǐng)你們?cè)賮硗瓿梢坏莱ㄓ?jì)算題，都列豎式計(jì)算。喜歡第一種寫法的就用第一種，喜歡第二種寫法的就用第二種。

此環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生直面一個(gè)全新的“如何計(jì)算”的問題。學(xué)生由于在認(rèn)知水平和思維方式上存在個(gè)體差異，對(duì)于同一個(gè)問題，往往會(huì)有基于個(gè)人理解的不同計(jì)算方法，這也是學(xué)生個(gè)性不同的正常體現(xiàn)。教學(xué)中，教師巧妙利用這種差異，有意識(shí)有層次地引導(dǎo)學(xué)生交流自己的真實(shí)思考，給予學(xué)生基于獨(dú)立思考的觀點(diǎn)與想法激烈碰撞火花四濺的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生一一體驗(yàn)和理解不同方法的思維過程，逐一感悟支撐每種方法背后的算理。所謂見多識(shí)廣，長此堅(jiān)持，解決問題策略的多樣性將不限于群體思維，必將綻放于個(gè)體思維。

在此基礎(chǔ)上，再通過交流評(píng)價(jià)、對(duì)照比較，引導(dǎo)學(xué)生參與對(duì)問題和現(xiàn)象的層層剖析，發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)略各算法的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)，得出“簡(jiǎn)單的除法直接擺小棒和口算，復(fù)雜的除法列豎式計(jì)算”這一理性結(jié)論，形成具體問題具體分析的科學(xué)思路，將學(xué)生的學(xué)習(xí)思考引向探討“除法豎式如何寫”的更深層次。

3.改變問題情境，構(gòu)建合理化算法。

板書：72÷3=

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。

生3：有余數(shù)沒事的，可以把十位上的余數(shù)和個(gè)位上的2合起來看成12，再繼續(xù)除，12除以3等于4，這個(gè)4表示4個(gè)一，所以寫在個(gè)位上，3×4=12，剛好分完，沒有剩余，所以最后寫0，表示算完了。

師：十位上的1為什么要和個(gè)位上的2合起來？

生3：你想如果是擺小棒算，7捆小棒平均分成3份，只要拿出6捆，就可以每份分得2捆。剩下的1捆，繼續(xù)分的時(shí)候，就要解散，變成10根，與原來的2根散的合在一起，一共12根，再繼續(xù)分下去嘛！

生4：我來幫你回答！如果十位上的1不管它了，不跟個(gè)位上的2合起來，那算的題實(shí)際上是62÷3，就不是72÷3了！

生齊：對(duì)！

師：咱們?cè)賮肀容^一下這兩種列豎式計(jì)算除法的寫法，你更喜歡哪一種？

同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭表示喜歡第二種。師：還有同學(xué)堅(jiān)持喜歡第一種豎式寫法的嗎？生1：我還是喜歡第一種，寫起來簡(jiǎn)單，我自己心里能記住。

師：嗯，適合自己的就是最好的方法，非常欣賞你的自信和執(zhí)著！

剛學(xué)習(xí)筆算除法時(shí)，學(xué)生普遍采取“一步算到位”的辦法，也就是上述教學(xué)片段中的第一種豎式寫法。很多老師不解：課堂上說得清清楚楚，要一步一步計(jì)算，為什么還是錯(cuò)誤不斷呢？

究其原因，其實(shí)很好理解。人都是趨利避害的，誰都不喜歡麻煩，因?yàn)榈谝环N豎式寫法書寫簡(jiǎn)便，孩子們出于本能理所當(dāng)然會(huì)選擇最簡(jiǎn)便的寫法。孩子們沒有體會(huì)到第二種豎式寫法的妙處，決計(jì)不會(huì)舍近求遠(yuǎn)。甚至有孩子說：要不是老師規(guī)定要寫豎式，我才懶得寫呢，我口算就能算出來的題，還費(fèi)神寫什么豎式？

沒錯(cuò)，對(duì)于48÷2這種類型的口算除法題來說，兩種不同的豎式寫法，并無明顯的優(yōu)劣。正因?yàn)?8÷2的計(jì)算毫無難度，其作用主要是讓孩子們通過類比，知道表外除法也可以像表內(nèi)除法一樣寫成豎式形式，它是除法豎式即將展現(xiàn)其強(qiáng)大功能的一座不可或缺的橋梁。而72÷3的出現(xiàn)，有效地阻斷了“一步算到位”的可能。

為了讓學(xué)生充分感受除法豎式寫法的合理性，老師抓住時(shí)機(jī)主動(dòng)示弱，請(qǐng)教“十位有余數(shù)了，怎么辦？”“十位上的1為什么要和個(gè)位上的2合起來？”兩個(gè)關(guān)鍵問題，讓孩子們借助分小棒的數(shù)理，遷移到除法豎式的算理明晰，親身體會(huì)到分步記錄除法過程的重要意義在于“一眼就能看明白你是怎么算的”，讓原來喜歡第一種寫法的孩子體會(huì)到“簡(jiǎn)單寫法”的不足，兩相權(quán)衡，轉(zhuǎn)而認(rèn)同合理化的書寫格式。這一過程不正是筆算除法豎式書寫規(guī)范得以形成的軌跡嗎？

4.再改問題情境，形成解決所有除法計(jì)算問題的通法。

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們用自己喜歡的列豎式方法再來算一個(gè)題吧。（板書：348÷3=）

師：都算完了嗎？誰把自己計(jì)算的方法展示一下，不解說，大家能否看明白。

生1上臺(tái)展示自己的豎式計(jì)算。

生2：根本不用解說，大家都能看懂！你是分三步來算的：先算百位，再算十位，十位有余數(shù)，第三步就將余數(shù)與個(gè)位上的數(shù)合起來繼續(xù)除。

師：數(shù)學(xué)是一種思考、表達(dá)和交流的語言，這種列豎式計(jì)算的方法將思考過程表達(dá)得非常清楚。

生3：老師，被除數(shù)是四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)……除以一位數(shù)的除法，用這種列豎式的方法我們?nèi)紩?huì)算了，您都不用再教了！

師：真的？給大家說說，怎么算？

生3：從左邊開始，一位一位地除下來就行了。

師：同意嗎？

生齊：同意！

師（豎起大拇指）：你們好棒！

師（問那個(gè)堅(jiān)持喜歡第一種方法的孩子）：你用自己喜歡的方法把這個(gè)題算出來了嗎？能不能給大家看看你是怎么算的？

生（害羞地）：數(shù)太大了，算不出來了……

師：要是遇到剛才大家講到被除數(shù)是四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)……的情況，會(huì)更復(fù)雜，更不好算了。

生4：是的，我現(xiàn)在覺得還是大家的這種方法好，不管什么情況，都可以算出來。

師：說得太好了！我們終于找到了一種可以解決所有除法計(jì)算問題的好方法：列豎式，一步一步從高位算下來。現(xiàn)在請(qǐng)大家打開書15頁，看看教材上是怎么算的？

整堂課只做了三道題，其中第三題原本是下節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，為了讓那個(gè)很有主見的孩子徹底放棄自己錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，臨時(shí)將其提前到本節(jié)課來了。如果這個(gè)孩子仍舊堅(jiān)持，估計(jì)要出示四位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算題了。三道題，三個(gè)層次，在理解算理的基礎(chǔ)上不斷優(yōu)化算法，步步登高，孩子們?cè)谝徽n三練三研究的慢節(jié)奏嘗試中，充分探究、理解、交流、體驗(yàn)，集中火力突破筆算除法教學(xué)的重難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)和理解知識(shí)內(nèi)涵。每一次嘗試之后，都回過頭反思，在反思中獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，最終達(dá)成共識(shí)，成功建構(gòu)起能夠解決所有除法計(jì)算的豎式寫法。

可見，通過構(gòu)建一個(gè)算理和算法交融的計(jì)算課堂，讓學(xué)生在算法的探究中主動(dòng)思考算理，在理解算理的基礎(chǔ)上形成有理有據(jù)精彩紛呈的算法，在變化的情境中感知算法的局限性和優(yōu)越性，完整地經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)除以一個(gè)不為0的整數(shù)計(jì)算方法的形成過程，最終發(fā)現(xiàn)、研究和探尋到解決一類問題的通法。這才是計(jì)算起始課教學(xué)真正意義上的深度學(xué)習(xí)。

（執(zhí)筆：譚念君、劉歲芝、彭奕、譚潔）