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        取勢、明道、優(yōu)術(shù)
        ——對圖形面積一線等分問題的思考

        2019-02-20 05:28:10胡柳青
        數(shù)理化解題研究 2019年5期
        關(guān)鍵詞:四邊形梯形直線

        胡柳青

        (浙江省桐廬縣分水初中教育集團(tuán) 311500)

        章建躍博士提出了數(shù)學(xué)教育的“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”,意指教師要順應(yīng)數(shù)學(xué)教改的潮流,懂得數(shù)學(xué)育人的原則,掌握提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的規(guī)律,提高教育教學(xué)能力,優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法.在數(shù)學(xué)教育中,無論是概念的形成,定理、公式、結(jié)論的推導(dǎo),還是過程、方法的探索都離不開解題教學(xué),毫不夸張地講,“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”.綜觀當(dāng)前數(shù)學(xué)解題教學(xué),“教師示范講解,學(xué)生模仿練習(xí)”依舊是課堂的“主旋律”,“題海戰(zhàn)術(shù)” 依舊是應(yīng)對考試的“法寶”.為何數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革風(fēng)起云涌,而數(shù)學(xué)解題教學(xué)卻還在“墨守成規(guī)”.我們不禁要思考:數(shù)學(xué)解題教學(xué)該如何“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”?下面是筆者在“圖形面積一線等分問題”解題教學(xué)中的一點嘗試,不當(dāng)之處,歡迎廣大同仁斧正.

        一、如何取勢

        數(shù)學(xué)習(xí)題是由課本的有關(guān)知識、信息、符號,通過遷移、發(fā)散和綜合而來的,相關(guān)問題的知識源就是解決此類問題的最佳策略和致勝法寶.因此在解決具體問題時,我們首先要明確這是哪類問題,然后追溯與此類問題相關(guān)知識點有哪些,最后綜合條件選定解決本題所適用的知識點,因此,相關(guān)問題的知識源就是解決此類問題的突破口.圖形面積一線等分問題常見解決策略:1.過中心對稱圖形的對稱中心的任一條直線把它面積兩等分;2.三角形一邊上的中線把它分成面積相等的兩個三角形; 3.經(jīng)過梯形上、下底中點的直線把梯形分成面積相等的兩個梯形; 4.直接運用圖形面積公式計算處理.由此,解題的方向即可明確.

        二、如何明道

        方向已經(jīng)確定,接下來就應(yīng)該是如何去解決問題,掌握解決問題的方法.教學(xué)中要以知識溯源為主線,以“怎樣做、怎么想、怎么拓”為三步曲進(jìn)行專題復(fù)習(xí),一題多解,多解歸一,讓學(xué)生知其然,然后知其所以然,從而起到事半功倍之效.

        三、如何優(yōu)術(shù)

        “以題會類”的習(xí)題教學(xué)最高境界,是著重培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合學(xué)力.通過上題的解析,為學(xué)生今后處理“圖形面積一線等分問題”提供了一個分析范本,極大地提升他們解決此類問題的能力.但解題不能只是目的,不能只為解題而解題,而要從解題中提煉出方法、思維,哪么,從上述的解題過程中我們還能有些什么思考呢?

        思考一:解題的關(guān)鍵點在哪里,通法又是什么?

        還可以繼續(xù)思考,在CM間是否存在某個點L,使得過LN的直線等分梯形OCDB的面積?如圖7-1,7-2,7-3,7-4,可得直線旋轉(zhuǎn)后所變化的圖形面積不可能為等積變化,由此可知點L不存在.同樣的,如圖8,如果點M不變,直線繞點M旋轉(zhuǎn),則可得直線平分梯形面積的比值在不斷變化,也可得出直線的極限位置時,n的極端值,不再一一贅述.

        思考三:三角形的面積如何等分,一般四邊形的面積又如何等分?解法3中利用三角形中線平分三角形的面積這一知識進(jìn)行求解,繼續(xù)思考能否過直線外一點來平分三角形的面積?上述圖形是直角梯形,有一邊是平行的,為構(gòu)造面積相等的三角形提供了便利,那么,如果是一般四邊形,又能如何平分.由此可得出下述求解方法.

        如圖10,聯(lián)結(jié)AC,過點B作AC的平行線BE,交DC的延長線于點E,連接AE,交BC于點O,則S△ABC=S△AEC,得S△AOB=S△COE.取DE的中點F,連接AF,得S△ADF=S△AEF.又S△AEF=S四邊形AOCF+S△COE=S四邊形AOCF+S△AOB=S四邊形ABCF,即S四邊形ABCF=S△ADF.故AF就是四邊形ABCD的面積等分線.過P作直線PN交AB、DC于點G,H,若GF∥AH,則S△AHG=S△AFH,可得S△AGN=S△FHN,由此可得直線PN等分四邊形ABCD.

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