葉端權(quán)

【摘要】幾何學是一門研究幾何圖形的學科，能正確“讀圖”既是學生的一項基本功，也是學生解決幾何問題的重要一環(huán)，但在做練習時，一些學生讀圖往往過于直觀，沒有洞察到圖形的本質(zhì)，從而容易被圖形所誤導。本文主要以一道證明題為例，談談在教學中，教師應如何讓學生學會破解圖形誤導的方法。

【關鍵詞】證明題;圖形誤導;圖形變式

題目是一份試卷的第18題，原題是這樣的：18.已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CB⊥BA，連結(jié)AC交⊙O于D，DE切⊙O于D，交BC于E，求證：BE=EC。

題目很短，也很清晰，理解起來應該不難，拿到題目，筆者的想法是這樣的：

想法一：DE是⊙O的切線，很自然想到作輔助線：連結(jié)OD（如圖1），此時四邊形BODE很像正方形，如果能證明這一點，那么，由正方形對角線平分一組對角容易得出∠EBD=∠EDB=450，而AB是⊙O的直徑，那么∠BDC也是直角，則△BDC是一個等腰直角三角形，且∠CDE=∠EDB=450，由等腰三角形“三線合一”之性質(zhì)，馬上可以得出要證的結(jié)論?，F(xiàn)在剩下的問題是如何證明四邊形BODE是正方形，由題不難得出這個四邊形有一組鄰邊相等：OB=OD，有兩個角是直角∠CBA=∠ODE=900，但要證明四邊形BODE是正方形還缺一個條件，如果能再找多一個角是直角，那問題就全部解決，可是如何找呢？

想法二：D點會是線段AC的中點嗎？如果是，BD就成了Rt△ABC斜邊上的中線，那么BD=CD=AD，進而容易得出△CDE，△EDB.△OBD，△OAD等都是等腰直角三角形，這樣BE=ED=CE，問題也好解決，可是如何能證明D是AC中點呢？

兩種想法都走進了死胡同，反思兩種想法，有一個共同點：“看圖形四邊形BODE很像正方形”或“D像AC的中點”，下面的論證都是由這兩個結(jié)論成立出發(fā)來做的，可是就偏偏是這兩個出發(fā)點本身就已經(jīng)有了問題，所以當然不可能證明出來。可以說，這兩種想法都是被圖形“誤導—了。

四邊形BODE很像正方形，可它真是正方形嗎？D像AC的中點，可它真是AC中點嗎？我們不妨通過“圖形變式”來看看：事實上，題中只要求CB⊥BA.卻沒有要求CB有多長，既然題中沒有這個要求，那么，如果CB長一點，對結(jié)論“BE=EC”應該沒有影響。我們想像一下，如果把CB變長一點（如圖2），這時，顯然四邊形BODE就不再像正方形，D也不再像AC中點，兩種想法出發(fā)點已經(jīng)錯了，當然不可能證明出來。

那應該如何證明呢，通過圖形變式，要證明BE=EC，因為CB⊥⊙O的直徑AB，所以其實CB也是⊙O的切線，由切線長定理容易得出BE=DE，如果能證明CE也等于DE，那問題就解決了，因為CE、DE在同一個三角形△CDE內(nèi)，自然優(yōu)先想能否通過“等角對等邊”來證明，即要證明∠C=∠1，因為∠1+∠2=900，由DE是⊙O的切線知∠2+∠3=900，也就是說∠1=∠3，如果能證∠3=∠C，那問題就解決了，顯然這兩個角不在同一個三角形內(nèi)，也不在兩個看上去全等的三角形內(nèi)，所以一下了還不能直接得出。再觀察圖形，由OB=OD，容易得出∠3=∠4，那是否有∠4=∠C呢？由△ABD和△ABC這兩個直角三角形可以得出，∠4和∠C同是∠A的余角，應相等，于是思路就全線貫通了。

其分析圖如下：

反思這個題目的解題過程，讀圖時被圖形所誤導成了學生思路進入死胡同的主要原因，而利用“圖形變式”來破解“圖形誤導”成了解題的關鍵。作為教師，我們應如何讓學生學會破解“圖形誤導”的方法呢？

1.讀圖討于盲觀，沒有洞察到圖形的本質(zhì)屬性，這是“圖形誤導”的主因

我們這里所說的“圖形誤導”，通俗來說，是指在沒有理據(jù)支撐的情況下，憑感覺看圖形像什么就得出的錯誤的結(jié)論。比如上題，“四邊形BODE很像正方形”“D點是線段AC的中點”這兩個結(jié)論都是因“圖形誤導”而得出的錯誤結(jié)論，這也是兩種想法最終都走進死胡同的原因。一旦出發(fā)點錯了，再往下想也是徒勞。由此可見，“圖形誤導”對解題來說往往是致命的。

那么為什么會出現(xiàn)“圖形誤導”的情況呢？這與學生讀圖時過于直觀，沒有洞察到圖形的本質(zhì)是分不開的。例如上題中，因為四邊形BODE很像正方形，并且已經(jīng)有一組鄰邊相等：OB=OD，有兩個角是直角：∠CBA=∠ODE=900，這就更堅定了四邊形BODE是正方形的觀點。但從本質(zhì)上來講，題目只要求CB⊥BA.卻沒有要求CB有多長，既然這樣，那么，如果CB長一點或者短一點，對結(jié)論“BE=EC”應該沒有影響。那么把CB變長，整個圖形的形狀就發(fā)生了變化，原來看上去理所當然的“四邊形BODE很像正方形”“D點是線段AC的中點”就顯然不成立了。

在讀圖時，先憑著直觀印象去思考，這本身并沒有什么問題，這也是常用的方法，但當想法不通時，就要懂得退回來，并對圖形進行變式思考，這一點顯得很有必要。

2.“圖形變式”是破解“圖形誤導”的有效方法，其要點在于“形”變“神”不變

所謂的“形”變是指圖形的形狀發(fā)生改變，而“神”不變是指其本質(zhì)（條件）不能變。還是以上題為例，題目只要求CB上BA，卻沒有要求CB有多長，所以CB長度是可以改變的，但CB⊥BA這個條件是不能改變的，所以，在進行圖形變式時，我們可以把CB變長（或變短），這時整個圖形的形狀就發(fā)生了變化，但是它的本質(zhì)條件CB⊥BA并沒有改變，而正是因為通過這樣一個變形，我們再也不會認為“四邊形BODE是正方形”或“D點是線段AC的中點”了，這對于我們重新思考問題，直到找到正確的解題方法來說顯得尤為重要。