胡蕊,郭利平

(山西大學 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

PT對稱的研究最早是在光波導實現(xiàn)的[8]。波導折射率n(x)=n1(x)+in2(x),其中描述線性材料的基礎折射率的實部n1(x)滿足偶宇稱,n2(x)滿足奇宇稱,用于表征材料的增益和耗散的虛部,因此n(x)=n*(-x).則由折射率決定的勢函數(shù)滿足[9-13]

U(x)=U*(-x) .

(1)

當光在波導中傳播時,麥克斯韋方程在傍軸近似下的光傳播方程類似于含時薛定諤方程[14-18],另外改變波導的彎曲程度可提供必要的驅動外場[19-20]。當周期勢的實部和虛部的周期相同,且實部振幅大于虛部振幅時,系統(tǒng)的哈密頓量處于PT對稱區(qū)域;當實部振幅小于虛部振幅時,PT對稱發(fā)生破缺;兩個振幅相等時是奇異點。當周期勢的實部和虛部周期不同時,其對PT對稱區(qū)間以及能譜的影響是本文研究的重點。

1 理論模型

我們研究波長為λ的單色光在(X,Z)平面光波導陣列中的傳輸情況。其中光波導陣列是沿X方向且等間距排列,其間距為a。如果波導沿Z方向是彎曲的,且彎曲程度都一致用X0(Z)=Asin(ωZ)來描述,其中A是波導管彎曲程度的振幅,ω是其頻率。

Fig.1 Waveguide array schematic diagram圖1 波導陣列示意圖

描述電場振幅ψ的有效傳播方程為[19]

(2)

其中?=λ/2π,ns是基質折射率,x=X-X0(Z),U(x)=ns-n(x),n(x)是波導陣列的有效折射率且周期為a,即n(x)=n(x+a).利用規(guī)范變換

(3)

(點表示對Z求導),方程(2)變?yōu)閇19]

i??ZΨ=H0Ψ-F(Z)xΨ,

(4)

其中

(5)

周期驅動力

F(Z)=nsAω2sin(ωZ),

(6)

本文著重研究周期勢的實部和虛部周期不同時對PT對稱及能譜的影響?？紤]勢函數(shù)為

U(x)=U1cos(2kx)+iU2sin(4kx),

(7)

(8)

(9)

i?z|aq(z)〉=H0|aq(z)〉,

(10)

其哈密頓量可以寫成下面的形式

(11)

我們可以發(fā)現(xiàn)H0?≠H0,雖然每個矩陣元是實數(shù),但(11)式是非厄米的哈密頓量。文獻[18]研究的哈密頓量非對角元只出現(xiàn)在近鄰對角線上,而(11)式中則出現(xiàn)了次近鄰項。通過101個波導數(shù)值計算發(fā)現(xiàn):文獻[18]中研究的結果V1=V2是奇異點發(fā)生的條件(如圖2(a)三角符號所示,虛線是數(shù)值擬合函數(shù))。在圖2(a)中當V2

結果表明由于勢函數(shù)實部和虛部的周期不同，PT對稱區(qū)域縮小了。通過擬合發(fā)現(xiàn)V1和V2滿足以下關系:

(12)

另一方面,我們考慮周期勢函數(shù)形式為

U(x)=U1cos(2kx)+iU2sin(6kx),

(13)

(14)

Fig.2 (a) Relation diagram of V1 and V2 at Exceptional points in [20].(b) Relation diagram of V1 and V2 at Exceptional points from Eq (11).圖2 (a)文獻[20]中奇異點V1和V2的關系圖;(b)方程(11)奇異點V1和V2的關系圖

Fig.3 Energy bands of the system as a function of Bloch-momentum and (b) describe thereal and imaginary part of the three lowest bands when respectively. And (c) and (d) show the cases when (a)、(b)當時描述了三個最低能帶的實部和虛部;(c)、(d)分別表示的情況。圖3 系統(tǒng)的能帶是布洛赫動量的函數(shù)

將(14)式寫成演化方程(10)的形式,其哈密頓量可表示為

(15)

在本文中近軸彎曲導致的交替驅動力(6)作用下準動量隨時間的演化為

q(Z)=q0-nsAωcos(ωZ),

(16)

我們主要集中觀察在PT對稱區(qū)間對應的最低兩能帶能級免交叉點處的動力學問題。根據(jù)Landau-Zener隧穿概率公式[21]

(17)

其中,Δ為免交叉點處的能隙,v為能量變化的速率。以勢函數(shù)(7)下的能譜為例進行研究,根據(jù)數(shù)值結果(12),在PT對稱區(qū)間中每取定一組V1,V2的值就會有唯一的Δ和v與之對應,從而利用(17)式計算出Landau-Zener隧穿的隧穿概率。如圖4所示可觀察到由于V2遠小于V1,隧穿概率隨著V1增大而減小,不隨V2的變化而變化。

Fig.4 Landau-Zener tunneling probability as a function of V1 with different V2.圖4 V2取不同值時，Landau-Zener隧穿概率隨V1的變化

2 結論