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        通過“多維度”提升職高學(xué)生解題的思辨力

        2019-02-12 02:01:20易清良
        職業(yè) 2019年1期
        關(guān)鍵詞:思維方法多維度變式

        易清良

        關(guān)鍵詞:多維度? 思維方法? 變式

        人的智慧是以思維力為核心的智力整體結(jié)構(gòu),而數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),因而數(shù)學(xué)又被稱為“內(nèi)心科學(xué)”。數(shù)學(xué)教學(xué)由傳授知識的單一性作用轉(zhuǎn)向教學(xué)功效的多元化作用,故而數(shù)學(xué)教學(xué)既是數(shù)學(xué)知識的教學(xué),更是數(shù)學(xué)思維方式的教學(xué),在教會職高學(xué)生數(shù)學(xué)知識的同時,更要讓他們知道知識是如何發(fā)生、獲取和應(yīng)用的。

        為了讓更多的學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)并完成知識建構(gòu),逐步理解數(shù)學(xué)思想方法,建立科學(xué)的思維方式,養(yǎng)成對事物進(jìn)行理性思考的習(xí)慣,從根本上提高學(xué)習(xí)能力,教師首先要從職高學(xué)生的實際出發(fā),營造出一個高度和諧的課堂。其次要精心整合教學(xué)素材,打造高效低耗的課堂教學(xué)。這樣,既可以化解職高學(xué)生數(shù)學(xué)水平與教材內(nèi)容不匹配的矛盾,又能促進(jìn)學(xué)生思維的全面提升,讓師生通過數(shù)學(xué)教學(xué)開啟一段啟迪智慧之旅。

        職高學(xué)生是職高教學(xué)的主體。教學(xué)的認(rèn)識活動能否完成,要以學(xué)生認(rèn)識成效為依據(jù)。教必須落實到學(xué)上,要讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人,有學(xué)習(xí)的自主權(quán),使學(xué)生能夠主動地、進(jìn)攻性地學(xué)習(xí)專業(yè)知識,探索新知識,發(fā)展新見解,從而達(dá)到真正自主學(xué)習(xí)的目的。在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,受時間、進(jìn)度、精力所限,許多教師只顧自己講授,不理學(xué)生的接受;只講方法,不管原因;只講結(jié)論,不談過程,導(dǎo)致許多職高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一種恐懼心理和畏難情緒。為了營造出一個高度和諧的課堂氛圍,必須從職高學(xué)生的實際出發(fā),去實實在在地了解他們知道些什么、知道得是否全面、還有哪些方面是模糊不清的。所以,在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時,教師要盡可能關(guān)注學(xué)生的動態(tài),通過心靈溝通去打動和影響學(xué)生;盡量全面揭示數(shù)學(xué)問題的實質(zhì),將枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動有趣;努力創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉、擅長的情境,重視知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程,讓數(shù)學(xué)不再是神秘莫測的學(xué)科,而是可親可近的知識,更多地關(guān)注數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的熏陶以及學(xué)生素養(yǎng)的提高。

        一旦教師掌握了解決數(shù)學(xué)問題的思想方法,就能變化出生動的結(jié)論,數(shù)學(xué)就能顯示出其無窮的魅力。唯有這樣,學(xué)生才能“親其師,信其道,篤其行”。

        一、維度一:重視方法起源,開展投石問路,加快思維進(jìn)度

        作為人類認(rèn)識世界、改造世界的重要工具之一的數(shù)學(xué),它的基礎(chǔ)知識和基本技能是重要的。從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中,教師可以設(shè)置幾個疑問點:問題是怎樣提出的,概念是怎樣形成的,結(jié)論是怎樣探索和猜測到的,以及證明的思路和計算的想法是怎樣形成的。這樣,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,以學(xué)習(xí)主人的心態(tài)了解、參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程、思維的展開過程,改變被動學(xué)習(xí)、機械訓(xùn)練的狀況,發(fā)揮學(xué)生的主體性,以此來加快學(xué)生思維完善的進(jìn)度。

        案例1:函數(shù)y=(x2+ax+1)1/2的定義域為R,求a的取值范圍。

        第一次面對這樣的數(shù)學(xué)題,大部分職高學(xué)生無從下手。

        臺階1:此時教師把問題改成方程x2+ax+1=0,問何時有兩解?何時有一解?何時無解?

        學(xué)生:根據(jù)二次方程根的判別式:△>0時有兩解;△=0時有一解;△<0時無解。

        臺階2:函數(shù)y=x2+ax+1整個圖像都在x軸的上方,試求a的取值范圍。

        學(xué)生1:與x軸無交點。

        學(xué)生2:△>0。

        學(xué)生3:不對,應(yīng)該是△<0。

        教師:△>0時圖像與x軸有幾個交點?△<0時圖像與x軸有幾個交點?

        臺階3:不等式x2+ax+1≥0的解集為R,試求a的取值范圍。

        學(xué)生3:很簡單,△≤0。

        問題:函數(shù)y=(x2+ax+1)1/2的定義域為R,求a的取值范圍。

        學(xué)生1:不等式x2+ax+1≥0的解集為R,所以△≤0。

        學(xué)生2:以上所有的問題的關(guān)鍵是△,就叫判別式法吧。

        評析:學(xué)生無法下手解決的問題,大多數(shù)是因為讀不懂題目,不明白題目所表達(dá)的意圖,那么,試探法無疑是撥開云霧、理清思路的最有效辦法。通過引導(dǎo)學(xué)生去尋找判別式法的發(fā)源地,使學(xué)生身臨其境地體驗它的誕生和應(yīng)用,為今后的靈活運用打下了堅實的基礎(chǔ)。

        數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生在獲得知識的過程中,逐步形成科學(xué)的思維方式,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真求實,追求效率的學(xué)習(xí)態(tài)度和習(xí)慣。這種(判別式法)來源于實踐,又服務(wù)于實踐的辯證唯物主義觀點在課堂中很自然地得到體現(xiàn)。

        二、維度二:依據(jù)教學(xué)內(nèi)容,創(chuàng)設(shè)變式訓(xùn)練,把控思維梯度

        在職高數(shù)學(xué)教學(xué)中,不一定要求教學(xué)內(nèi)容非常嚴(yán)謹(jǐn),但是解題方法是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。課堂教學(xué)的本質(zhì)是提升學(xué)生思維的活躍度。在課堂教學(xué)中,教師適時變動一些教學(xué)內(nèi)容,創(chuàng)設(shè)一些變式練習(xí),讓學(xué)生在變式中思辨:哪些問題是形式在改變,而問題的實質(zhì)沒有變;哪些問題是問題的形式?jīng)]有變化,而問題的實質(zhì)發(fā)生了根本的變化。在變和不變中,引導(dǎo)學(xué)生思辨問題的本質(zhì),參透知識的關(guān)聯(lián)性。

        當(dāng)然,教師創(chuàng)設(shè)問題時,必須依據(jù)學(xué)生的實際情況,把握思維的梯度,臺階不能太高,也不能太低。尤其是不能讓學(xué)生有跳躍感,要適度地提升問題的難度,形成合理的知識遷移。有效地控制教學(xué)的思維梯度,從而拓展學(xué)生的思維深度。

        案例2:在進(jìn)行交、并集的運算講解時,教師首先采用簡單數(shù)集的交并集的求法。如:A={1,2,3},B={3,4,5},求A∩B以及A∪B。學(xué)生們也深刻理解了交集與并集的概念。

        為了提升思維的深度,教師安排了以下問題:

        變式1:集合A=(1,3),B=(2,4),求A∩B以及A∪B;

        變式2:集合A=(1,+∞),B=(2,4),求A∩B以及A∪B;

        變式3:集合A=(1,+∞),B=(2,+∞),求A∩B以及A∪B;

        變式4:集合A=(1,+∞),B=(-∞,4),求A∩B以及A∪B。

        評析:通過以上的變式,可以逐漸加深對概念的理解,問題由淺入深地發(fā)生變化,但解決問題的方法和思路沒變,這就強化了學(xué)生對這一問題的認(rèn)識。通過這類問題的解答,可以幫助學(xué)生樹立信心,增強解題的勇氣,獲得成功的喜悅。

        衡量一堂課的質(zhì)量高低,不僅僅是看教師的教學(xué)方法、教學(xué)形式和教學(xué)手段的展現(xiàn),更主要的還要看課堂思維容量的大小,學(xué)生思維密度和強度如何。也就是說,要看教師對課堂的是如何進(jìn)行精心設(shè)計和科學(xué)安排的;教師對于較難的問題,在進(jìn)行教學(xué)時是否有意識地將其分解,通過解題訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的自信心,讓學(xué)生體驗學(xué)習(xí)成功的快樂,然后再慢慢引申,循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生尋找條件和結(jié)論之間的聯(lián)系,展示知識發(fā)生、發(fā)展的過程。實踐證明,通過這樣的教學(xué),學(xué)生明白了知識的來龍去脈,就會記得牢,用得準(zhǔn),就能實現(xiàn)由懂到會,由會到掌握,由掌握到靈活運用的飛躍。

        三、維度三:優(yōu)化教學(xué)手段,串聯(lián)相近知識,提升思維高度

        波利亞認(rèn)為:“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面,它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué),但也是別的什么東西。由歐幾里得方法提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué),但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)?!本幙椫R網(wǎng)絡(luò),尋找所學(xué)內(nèi)容主線,在主線的引導(dǎo)下,以全新的邏輯鏈和職高學(xué)生的思維鏈將原來知識重新梳理與整合,挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)中要做到串點為線,聚線為面,面中顯點,以點帶面。

        教學(xué)方法對于學(xué)生來說非常重要。因此,在教學(xué)過程中,教師要合理地選用一些教學(xué)手段,把一些相互聯(lián)系的知識點串放在一起,這樣,既可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識,還可以習(xí)得解決問題的方法和形成解決此類問題的思維模式。在知識的差異變化中,分辨自己存在的錯誤。知識在思辨中形成,解決問題的能力在思辨中提升。

        案例3:在三角函數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)束后,為了串聯(lián)相近知識,根據(jù)職高學(xué)生的實際情況,教師編制如下問題。求下列各式的值:

        1.2sin15°cos15°? 2.cos15°cos15°

        3.cos20°cos40°cos80°

        4.sin15°+cos15°? ?5.sin15°+cos15°

        這一組練習(xí)基本采用配湊法,通過乘一個數(shù),除一個數(shù),把三角里面的二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式、兩角和的余弦公式都串聯(lián)在一起,使學(xué)生有了對三角公式的充分理解。

        評析:由于教學(xué)內(nèi)容在編排上有層次性,難度上有梯度性,同時教師在課堂教學(xué)中,留出大量的時間讓學(xué)生參與教學(xué)活動,讓他們動手動腦,主動探索,自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律并歸納結(jié)論。這樣靈活多樣的教學(xué)方法,就能使教學(xué)效果令人滿意。所以,教師要注意把握教學(xué)的主線,做到?jīng)芪挤置?,注重知識間的聯(lián)系,幫助學(xué)生建立一個良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如果說,沒有系統(tǒng)的知識,好比一盤散落的珍珠,無從下手,那么良好結(jié)構(gòu)的知識就像一串精美的珍珠項鏈,排列有序,拿一顆就能戴起整串。

        采用這種利用相近知識點來解答同一道習(xí)題的教學(xué)手段,不僅可以有效地鞏固學(xué)生的知識基礎(chǔ),而且可以強化教學(xué)的強度,即在職高學(xué)生可以接受的程度上適當(dāng)?shù)靥岣呓虒W(xué)的強度,不僅能夠有效地提高學(xué)生的上課積極性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,還可以使學(xué)生在這種強度較高的教學(xué)中提高自身的思維強度。

        四、維度四:分析問題本質(zhì),更新解題方法,提升思維高度

        職高學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時,通常顯得反應(yīng)遲鈍或無助,很大一個原因是對解題方法理解得不夠到位,導(dǎo)致不能靈活運用知識。其實,認(rèn)知是要有一個曲折的過程的,要尊重學(xué)生的認(rèn)知特點,發(fā)揚民主,認(rèn)真傾聽學(xué)生的觀點,關(guān)注學(xué)生思維的火花,同時注意藝術(shù)性地引導(dǎo)啟發(fā),適時介入學(xué)生的探究活動,調(diào)整他們的思維方向,讓學(xué)生不斷加深對知識的理解程度,切實提高思維能力,提升思維高度。

        案例4:方程x2sina+y2cosa=1。

        試討論0°≤a≤360°方程所表示的曲線。

        這樣的問題呈現(xiàn)時,大部分學(xué)生會停留在橢圓的層面上。

        教師:a=210°時,sina=?cosa=?那么方程表示什么曲線。

        學(xué)生:方程不表示任何圖形。

        教師:那我們選一些特殊角來分析。

        讓學(xué)生討論:根據(jù)0°≤a≤360°范圍可選哪些特殊角來代表?學(xué)生討論分析得出以下情況:

        1.a=0°,sina=0、cosa=1,y=±1方程表示兩條直線;

        2.a=30°,sina=、cosa=,方程表示橢圓;

        3.a=90°,sina=1、cosa=0,x=±1方程表示兩條直線;

        4.a=120°,sina=?、cosa=?,方程表示雙曲線;

        ……

        評析:學(xué)生從第一象限到第四象限,從x軸的正半軸到y(tǒng)軸的負(fù)半軸,認(rèn)真分析、歸納。在此過程中知識從直線、橢圓到雙曲線,方法從特殊值法到一般法,思維從具體到抽象。通過這樣的辨析和反思,更新解題方法,使學(xué)生的思維得到很大的提高。

        人們常說,學(xué)一門手藝很重要,但換一種思維更重要。面對紛繁復(fù)雜的世界,我們應(yīng)當(dāng)敢于打破擋在自己面前的這扇門。能夠及時改變自己,用思辨的眼光去看問題,提高自己對問題的解決能力。在夯實職高學(xué)生基礎(chǔ)的同時,不斷刷新思維高度。這樣,數(shù)學(xué)教師也能成為學(xué)生心目中的建筑學(xué)家。

        五、維度五:關(guān)注職高學(xué)生成果,提倡一題多解,拓展職高學(xué)生思維

        注重思維多元化,提倡一題多解,對于同一題目,用不同的方法來解決。在解決問題的過程中,學(xué)生習(xí)得職高數(shù)學(xué)的相關(guān)知識,更是習(xí)得了數(shù)學(xué)的一些方法。形成了自己架構(gòu)的知識網(wǎng)絡(luò),對所學(xué)知識起到了一個融會貫通的作用。提高了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識與駕馭數(shù)學(xué)知識的能力,使知識結(jié)構(gòu)更加完善。一題多解還可以提高學(xué)生自我驗算的能力,一題多解從多角度思考分析,使用多種解法,殊途同歸,答案是相同的。學(xué)生可以用一題多解來判斷原來解法是否正確。另外一題多解還可以提高學(xué)生靈活運用知識、靈活轉(zhuǎn)換角度來解題的能力,讓學(xué)生敞開思維的翅膀,在知識的空間盡情地翱翔,這大大有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

        案例5:有5名學(xué)生站在一起照相,甲、乙兩位同學(xué)不能站在一起,共有多少張不同的照片。

        學(xué)生出現(xiàn)了以下兩種解法。

        解法一:(插空法)由于甲乙不能站一起,先把其他三名學(xué)生排定,再把甲乙排在其他三人的中間。根據(jù)方法可得:3×2×1×4×3=72種。

        解法二:(剔除法)5名學(xué)生,沒有任何要求的排法為:5×4×3×2×1=120種。甲乙兩人站在一起的排法種數(shù)為:2×4×3×2×1=48種??偟呐欧p去不符合要求的排法:120-48=72種。

        評析:教師對以上解法進(jìn)行較詳細(xì)評價,并提升總結(jié)此種類型題目的方法。讓學(xué)生能通過總結(jié),達(dá)到用同一題目引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角、根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇的目的。一題多法的變式訓(xùn)練有助于學(xué)生掌握這種方法的特點,拓展他們在解決放縮問題上的思維角度,將所學(xué)的知識縱向加深,橫向溝通,尋求不同解法,其靈活運用知識能力體現(xiàn)得淋漓盡致。采用這種方法不僅有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識,增強其思辨能力,提升其分析問題和解決問題的能力,更為重要的是通過學(xué)生再研究的過程,可以使他們在體驗的過程中,提升自己,找到超越的快樂、發(fā)現(xiàn)的快樂。

        數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅停留于數(shù)學(xué)知識的獲得和解題技巧的掌握上,更重要的是要注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升、數(shù)學(xué)思想的形成和健全人格的養(yǎng)成。所以,教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中,不僅要注重積極營造寬松、和諧、民主的師生活動氛圍,讓學(xué)生登山則情滿于山,觀海則情溢于海,還要注重內(nèi)容的活潑多樣,思維的層層深入。這就要求教師不能就題論題,而要善于變通,通過對典型問題進(jìn)行詳盡的剖析、變式,多維度揭示問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法,如此才能使學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行充分理解和掌握運用,進(jìn)而提升他們的解題思辨力。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐[M].南寧:廣西教育出版社,2008.

        [2] 陳旭.探尋問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)問題的解法[J].中國數(shù)學(xué)教育,2018(5).

        [3] 胡國生.高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)思維差異的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(10).

        [4] 張濤.引導(dǎo)學(xué)生思考,發(fā)展核心素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(9).

        (作者單位:富陽區(qū)職業(yè)教育中心)

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