內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 王滟林

內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 熊 露

內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

反證法既是證明數(shù)學(xué)命題（猜想）的常用方法，也是解決數(shù)學(xué)探索性問題的通性通法，還具有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的功能.雖然“反證法是數(shù)學(xué)重要的基本方法”得到了數(shù)學(xué)家們的普遍認(rèn)同，但從近年來中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際來看，一些教育專家并未充分認(rèn)識到反證法的教育價值，大有弱化或淡化反證法的趨向.

一、反證法的教育價值

反證法的教育價值包括文化價值、思維訓(xùn)練價值、方法論價值與應(yīng)用價值等.

（一）反證法的文化價值

1.反證法的產(chǎn)生

反證法的形成經(jīng)過了漫長的時間.反證法的思想啟蒙可以追溯到古希臘.古希臘的數(shù)學(xué)在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響下，人們認(rèn)為宇宙圖式是由整數(shù)和幾何圖形構(gòu)成的.但隨著等問題的出現(xiàn)，希臘人開始重新審視數(shù)學(xué)，放棄了以數(shù)為基礎(chǔ)的幾何.這一次數(shù)學(xué)危機(jī)使希臘人意識到不能只依靠圖形和直觀來認(rèn)識和看待數(shù)學(xué)，而是需要更多的理論推理與邏輯.此階段的希臘數(shù)學(xué)倡導(dǎo)以證明為主，他們追求邏輯嚴(yán)密的數(shù)學(xué)，或者說他們要求數(shù)學(xué)具有邏輯的嚴(yán)密性.所謂數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性是指：不是要近似的數(shù)學(xué)，而是要對數(shù)學(xué)命題給出嚴(yán)格的證明以保證命題的準(zhǔn)確性，邏輯的嚴(yán)密性不能只依靠直觀，需有嚴(yán)密的邏輯推理作論證.其表現(xiàn)形式是：邏輯嚴(yán)密，演繹的體系.希臘人除了重視邏輯和演繹證明，也搞數(shù)值計算（尤其是希臘后期）.希臘人認(rèn)為數(shù)值計算是一種理論證明后的運(yùn)用，這一觀點(diǎn)到現(xiàn)在來看也是正確的.古希臘人的“數(shù)學(xué)證明不要近似，不靠直觀，而是靠嚴(yán)密的邏輯推理”的理念，對2000多年來的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響，直到今天其影響仍然存在.

邏輯學(xué)是研究思維規(guī)律的科學(xué).古希臘人2000多年前就非常重視邏輯學(xué)的研究與應(yīng)用，并由此而產(chǎn)生了歐幾里得的《幾何原本》.西方邏輯學(xué)始于柏拉圖，并在亞里士多德時期極盛.柏拉圖認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)從簡單明了的絕對假設(shè)開始，通過一系列的邏輯推理來得出所求結(jié)論.柏拉圖的假設(shè)法具有重要的歷史意義，并且在邏輯方法上是亞里士多德的先驅(qū).H·伊夫斯在《數(shù)學(xué)史概論》中寫道：“…薩謝利讀歐幾里得的《原本》，簡直讓其得力的歸謬法迷住了，…在薩謝利的《邏輯證明》一書中，有創(chuàng)建的是：把歸謬法應(yīng)用于歐幾里得平行公設(shè)的研究.”這里面的歸謬法雖然不是完全意義上的反證法，但是一種排除錯誤情況的方法.雖然沒有形成反證法，但這種論證方法（歸謬法）為反證法的發(fā)展奠定了思想基礎(chǔ).

2.反證法的發(fā)展

反證法最早由古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家埃利亞派的芝諾發(fā)明，其含義是“歸于不可能的（reclucito ad impossible）方法”.芝諾被亞里士多德譽(yù)為辯證法的發(fā)明人.公元前330年，歐幾里得在證明“兩線相交，只有一個交點(diǎn)”時運(yùn)用了反證法.歐幾里得在編寫《幾何原本》時也運(yùn)用了反證法.在公元前400年，歐多克斯運(yùn)用反證法證明了“圓錐、棱錐的體積是等底、等高的圓柱、棱柱體積的三分之一”.1589年意大利物理學(xué)家伽利略應(yīng)用反證法推翻了維系近兩千年之久的古希臘哲學(xué)家亞里士多德關(guān)于“不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比”的斷言.

（二）反證法的思維訓(xùn)練價值

作為一種常用的數(shù)學(xué)證明方法，反證法是通過證明論題的否定命題的不真實(shí)，從而肯定原論題真實(shí)的證明方法.反證法不僅具有廣泛的應(yīng)用價值，而且具有良好的思維訓(xùn)練價值，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器”.反證法的思維訓(xùn)練價值體現(xiàn)在以下幾方面：一是弄清反證法的理論體系，需要系統(tǒng)學(xué)習(xí)、理解內(nèi)化、遷移應(yīng)用，這都必須要動腦筋；二是反證法在各種數(shù)學(xué)問題情境下的廣泛應(yīng)用為學(xué)生鍛煉數(shù)學(xué)思維提供了用武之地，因此可以說，反證法是鍛煉數(shù)學(xué)思維的體操；三是反證法有固定的解題模式（三步：反設(shè)—?dú)w謬—結(jié)論），讓學(xué)生“有章”可循，可以有效地鍛煉學(xué)生的邏輯思維；四是反證法可以鍛煉逆向思維，由于反證法的第一步“反設(shè)”（或“假設(shè)”），實(shí)質(zhì)是對論題（命題的結(jié)論）進(jìn)行否定，這就涉及逆向思維，在證明了“論題的否定命題的不真實(shí)”后，再否定第一步所做的“反設(shè)”（或“假設(shè)”），這里又要用到逆向思維，也就是說，使用反證法需要兩次用到逆向思維，這對訓(xùn)練中國國民的逆向思維是有好處的，還有應(yīng)注意到逆向思維蘊(yùn)含創(chuàng)新思維的特點(diǎn)；五是反證法的“歸謬”方法從理論上講可以有很多種甚至有無窮多種，這顯然可以訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性；六是介紹“用反證法的思想導(dǎo)致非歐幾何的發(fā)現(xiàn)”這個經(jīng)典故事，讓學(xué)生了解反證法的發(fā)現(xiàn)（數(shù)學(xué)）功能，可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；七是反證法提供了從論題（事物）的反面思考問題和解決問題的一種思維范式，這種思維范式不僅是解決問題的有力工具，而且是具有普適性的思維方法，更是激發(fā)創(chuàng)新思維的重要手段；八是反證法的思維模式暗含質(zhì)疑和批判性思維，這無疑能培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑批判精神，有效地訓(xùn)練學(xué)生的批判性思維.此外，反證法可以解決大量的存在性、探索性問題，這無疑能訓(xùn)練學(xué)生的探索性思維、數(shù)學(xué)抽象思維、邏輯思維、算法思維、數(shù)學(xué)模型思維等.可見，反證法是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的有效載體.

（三）反證法的方法論價值與應(yīng)用價值

數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等一般法則的一門學(xué)問.反證法的方法論價值體現(xiàn)出反證法是一種全息方法，既具有解決一些數(shù)學(xué)疑難問題（如證明題）的功能，又能解決數(shù)學(xué)探索性問題，還具有知識發(fā)現(xiàn)的功能.數(shù)學(xué)命題的證明既是理解數(shù)學(xué)命題的重要方法，又是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).特別是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)普遍害怕數(shù)學(xué)證明.對此，可考慮借助反證法來突破數(shù)學(xué)證明這個教學(xué)難點(diǎn).很多數(shù)學(xué)證明的問題（猜想）用直接證法會比較困難或麻煩，如立體幾何中直線與平面平行的判定定理的證明至今尚未看到直接證法，這時采用反證法是最佳的選擇.

用反證法可以證明許多數(shù)學(xué)命題.有人比較系統(tǒng)地總結(jié)了適合用反證法證明的幾類問題：（1）待證命題的結(jié)論以否定判斷（如“沒有……”、“不……”，等）形式出現(xiàn)；（2）待證命題的結(jié)論屬于“唯一性”的命題；（3）待證命題的結(jié)論是無限的，結(jié)論涉及的對象無法一一列出；（4）一些不等式命題的證明；（5）待證命題的逆命題是正確的；（6）待證命題的結(jié)論以“至少”或“至多”等形式出現(xiàn)；（7）幾何學(xué)中的一些判斷定理（如直線與平面平行的判斷定理，平面與平面平行的判斷定理等）；（8）某些命題直接證明比較困難或麻煩等.

反證法（的思想）是解決數(shù)學(xué)探索性問題的通性通法，但這個理論在教學(xué)中并未得到應(yīng)有的重視.數(shù)學(xué)探索性問題是培養(yǎng)和考查學(xué)生數(shù)學(xué)探究意識、探究能力和創(chuàng)新意識的典型問題.數(shù)學(xué)探索性問題的范式：“是否存在…，使得…？如果存在，求出…；如果不存在，請說明理由.”解答這類探索性問題一般可以考慮使用反證法.

反證法具有知識發(fā)現(xiàn)的功能，一個最著名的例子就是數(shù)學(xué)家用反證法的思想發(fā)現(xiàn)了非歐幾何.數(shù)學(xué)家在2000多年里總是想方設(shè)法去直接證明歐幾里得幾何的第五公設(shè)（平行公理）的正確性，但均以失敗告終，由此數(shù)學(xué)家對第五公設(shè)（平行公理）的可證明性產(chǎn)生了懷疑，一些數(shù)學(xué)家就產(chǎn)生了“第五公設(shè)不可以證明”的想法，最終由數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基、波爾約等各自利用反證法的思想發(fā)現(xiàn)并提出了非歐幾何.非歐幾何的誕生充分體現(xiàn)了反證法的思想價值.

反證法是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不可替代的數(shù)學(xué)基本方法之一.如在數(shù)學(xué)系的三門基礎(chǔ)課程《數(shù)學(xué)分析》《高等代數(shù)》《解析幾何》中，反證法有數(shù)十次的應(yīng)用.以張禾瑞主編的《高等代數(shù)（第五版）》為例，該書中運(yùn)用反證法去證明的定理不少于15個、例題不少于4道、課后習(xí)題不少于10余次.這在一定程度上說明了反證法對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要性和必要性.反證法對學(xué)習(xí)其他所有的高等數(shù)學(xué)課程幾乎都是必要的.因此，從學(xué)生終身學(xué)習(xí)的角度看，反證法是學(xué)生終身學(xué)習(xí)應(yīng)具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、反證法的教學(xué)難點(diǎn)分析與教學(xué)建議

（一）反證法的教學(xué)難點(diǎn)分析

反證法是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn).認(rèn)準(zhǔn)難點(diǎn)方可因“難”施教.我國反證法教學(xué)困難的原因是多方面的.

我國反證法的教學(xué)困難之一在于受古代數(shù)學(xué)文化及思維習(xí)慣（慣性思維）的消極影響.中國古代數(shù)學(xué)長期對演繹證明不重視，加之中國古代的邏輯學(xué)不完備.致使中國沒有將演繹推理更近一步地向反證法發(fā)展.從嚴(yán)格意義上講，中國古代并沒有真正運(yùn)用過反證法，即是說，中國古代數(shù)學(xué)文化的基因中缺少反證法這個“精良的武器”.又因反證法可培養(yǎng)人的理性思維，因此，我國適當(dāng)加強(qiáng)反證法的教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維是有益的、必要的.

對反證法的科學(xué)性、正確性的認(rèn)識，依賴于反證法的邏輯基礎(chǔ).反證法的邏輯根據(jù)是：“p→q”≡“?（p∧?q）”（注：此公式可用真值表來證明）.這個公式表明，蘊(yùn)涵式“p→q”與“?（p∧?q）”同真同假，即欲證明“p→q”為真，當(dāng)且僅當(dāng)“?（p∧?q）”為真.借助于基本邏輯聯(lián)結(jié)詞“蘊(yùn)涵”，反證法的步驟可解釋如下：第一步，否定（“若p，則q”）：p∧?q；第二步，推理：p∧?q?矛盾（“?”表示“推出”）；第三步，否定（p∧?q）：“p∧?q”假，則“?（p∧?q）”真，又由于“p→q”≡“?（p∧?q）”，故“若p，則q真”.可見，反證法的本質(zhì)是通過證明該“論題的否定為假”，從而斷言該“命題為真”.因此，“論題的否定”、“正確的推理”、“（構(gòu)造）矛盾”是反證法的三個要素.即使把這些理論都教給學(xué)生，恐怕很多學(xué)生也難以全部理解.況且，我國高中學(xué)生沒有學(xué)習(xí)基本邏輯聯(lián)結(jié)詞“蘊(yùn)涵（若p，則q；或p→q）”，導(dǎo)致教師沒有辦法給學(xué)生講清楚反證法的邏輯依據(jù)，從而，學(xué)生也就沒有辦法真正理解反證法的理論與方法.也可以說，我國高中學(xué)生對反證法是“只知其然但不知其所以然”，學(xué)生處于半懂不懂的狀態(tài).這可能是我國反證法教學(xué)的一個先天性缺陷（問題），也是反證法難教難學(xué)的一個根本原因.其實(shí)教材可以以“閱讀材料”的方式把反證法的邏輯基礎(chǔ)講清楚，讓學(xué)有余力的學(xué)生自主學(xué)習(xí).

反證法的邏輯依據(jù)具有理論深刻、概念抽象、符號繁多、認(rèn)知加工困難等特點(diǎn)，并且與學(xué)生潛意識及日常生活經(jīng)驗(yàn)有較大距離，學(xué)生難以建立學(xué)習(xí)反證法的最近發(fā)展區(qū)，教師也難以采用最近發(fā)展區(qū)理論施教，這就容易造成反證法的難教難學(xué).因此，只有通過有意識的訓(xùn)練，學(xué)生才能掌握反證法.

反證法理論本身既屬于陳述性知識又屬于程序性知識，在解決具體問題時還要用到認(rèn)知策略知識.因此，反證法是多種知識的綜合體現(xiàn).這也是造成難教難學(xué)的重要原因.

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，不少學(xué)生只是基本理解反證法的一般步驟，但有相當(dāng)一部分學(xué)生對使用反證法的時機(jī)把握不準(zhǔn).學(xué)生在運(yùn)用反證法時容易出現(xiàn)下面的問題：一是反證法的理論依據(jù)弄不明白；二是什么樣的命題可使用反證法；三是對反證法中的“反設(shè)”不理解；四是反證法中的“歸謬”方法出現(xiàn)障礙或困難，從理論上講，反證法的歸謬方式有無窮多種，學(xué)生很難理解.

我國許多學(xué)生不善于應(yīng)用反證法與教材編寫、考試要求、老師水平有密切關(guān)系.由于高中教材淡化了反證法的內(nèi)容并減少了典型例題，在考試中對反證法知識點(diǎn)的考查較少，因此，教師對反證法的教學(xué)也淡化了，直接導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)時間和內(nèi)容都相對不足，從而導(dǎo)致學(xué)生缺乏應(yīng)用反證法解題的思維活動經(jīng)驗(yàn).

（二）教學(xué)建議

打好反證法教學(xué)的基礎(chǔ)，具體體現(xiàn)在以下幾個方面：一是系統(tǒng)介紹基本邏輯聯(lián)結(jié)詞“蘊(yùn)涵”，了解反證法的邏輯依據(jù)；二是掌握反證法解題的一般步驟；三是解題時要正確分清題設(shè)和結(jié)論，找準(zhǔn)命題的結(jié)論，強(qiáng)調(diào)反證法中的“反”字，并能對結(jié)論（即論題）寫出正確的否定；四是讓學(xué)生了解反證法使用的范圍，如解某個問題若感到條件“不足”或無從下手時，不妨考慮使用反證法；五是適當(dāng)講點(diǎn)反證法的故事（文化），一些歷史素材可作為教學(xué)素材，以提升課堂的文化品味；六是恰當(dāng)運(yùn)用陳述性知識、程序性知識、認(rèn)知策略知識的教學(xué)原理，靈活選擇教學(xué)方法有針對性地施教和學(xué)習(xí)；七是輔以典型案例，教師做好問題分析、解題書寫等示范；八是適當(dāng)增加教學(xué)時間，把教學(xué)進(jìn)度慢下來，讓學(xué)生充分消化知識，掌握方法，感悟思想.

三、結(jié)束語

有助于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想的數(shù)學(xué)是好的數(shù)學(xué).反證法的思想深刻，方法普適，思維價值好，應(yīng)用范圍廣，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識.因此，反證法是好的數(shù)學(xué)，理應(yīng)予以重視.但進(jìn)入21世紀(jì)后，隨著課程改革的推進(jìn)，對反證法的教學(xué)要求有降低趨勢，最近10多年來涉及反證法的高考考題越來越少，有時甚至干脆不考，并且在新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，“反證法”這三個字甚至沒有直接出現(xiàn)在“必修課程”“選擇性必修課程”之中，這是不太正常的事.對此，許多一線中學(xué)教師和大學(xué)教授都頗為擔(dān)憂.因此，我們建議在下一次修訂課標(biāo)時，將反證法納入必修課程，但教材和高考都應(yīng)控制題目數(shù)量和難度，讓更多學(xué)生能夠?qū)W好反證法、掌握好反證法，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ).