廣東華僑中學 朱國璋

廣東華僑中學 鄭 旭

新修訂的高中數(shù)學課程標準指出：在教學實踐中，啟發(fā)學生學會數(shù)學思考，引導學生會學數(shù)學，會用數(shù)學，樹立以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的教學意識，將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學活動的全過程.數(shù)學解題既是教師數(shù)學教學的重要組成部分，也是評價學生學科核心素養(yǎng)的重要標準之一.因此，教師在數(shù)學解題教學中，特別注重培養(yǎng)和發(fā)展學生推理、建模、分析、運算等核心素養(yǎng)，避免機械記憶，生搬硬套.

我們知道，新高考對學生核心素養(yǎng)的考查將更加突出數(shù)學學科特色，著重考查學生的綜合運用數(shù)學思維方法分析問題、解決問題的能力.為此，筆者認為數(shù)學解題教學要緊緊抓住“讀懂、厘清、解巧”三個關鍵點.

讀懂，是指挖掘題目信息，了解題目考點，結合已有認知，抽象數(shù)學模型，為準確理解題意做準備；厘清，是指運用綜合法和分析法，轉化與化歸題目信息，緊抓數(shù)學概念和性質(zhì)，構建解題思路與算法，為巧解題目做準備；解巧，是指進行充分推演計算，完善解題步驟格式，最后總結反思，內(nèi)化數(shù)學素養(yǎng)，為以后舉一反三做準備.

下面，試以2019年高考全國卷Ⅰ文科數(shù)學的圓錐曲線題為例，加以說明.

例（2019年全國卷Ⅰ第21題）已知點A，B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切.

（1）若點A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

（2）是否存在定點P，使得當點A運動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由.

解法一：已知題目中M，A都是動點，若要求出定點P的坐標，可用設而不求法先表示|MA|-|MP|，又|MA|、|MP|跟點M有關，因此可根據(jù)垂徑定理尋找點M的性質(zhì)，代入設而不求法表示的式子，化簡得到答案.

（1）⊙M的半徑r=2或r=6.過程略.

（2）依題意，設A（x1，y1），B（-x1，-y1），P（x0，y0），圓心M在直線OM：xx1+yy1=0上，若y1≠0，設圓心M則有即

此時|MA|-|MP|=|xM+2|-

取x0=1，y0=0，此時|MA|-|MP|=1是定值.

若y1=0，易得M（0，0），有|MA|-|MP|=2-1=1，滿足題意，

所以存在定點P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值1.

反思：該題作為全國卷Ⅰ文科數(shù)學最后一道壓軸題，具有一定的思維量和計算量.在解題中，通常做法是將|MA|處理成動點M到定直線x=-2的距離，將|MP|處理成動點M到定點P的距離，在讀懂題意的基礎上翻譯成數(shù)學語言，進行轉化，然后直接作差完成解答.但如果繼續(xù)分析解剖，學生還可以發(fā)現(xiàn)題目中的隱藏信息.由分析法知，題目要求探究|MA|-|MP|，就是探究動點M到定直線的距離與其到定點距離的關系.由圓錐曲線的定義，說明動點M的軌跡應該是拋物線，所求定點P為該拋物線的焦點，只要厘清條件隱含考查拋物線的定義和性質(zhì)，就可以寫出第二種解法.

解法二：設M（x，y），由已知得⊙M的半徑為r=|x+2|，|AO|=2.

所以曲線C：y2=4x是以P（1，0）為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，即|MP|=x+1.

所以|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1.

所以存在滿足條件的定點P，即為拋物線y2=4x的焦點（1，0）.

反思：學生如果讀懂|MA|-|MP|和拋物線的定義有聯(lián)系，就可以利用拋物線的性質(zhì)完成解巧.不僅如此，如果學生讀題時能意識到該題考查的是存在性問題，厘清可以先假設結論成立，并將結論當成新條件進行解題，則可以探究出第三種解法.

解法三：由解法二可得，點M的軌跡方程為y2=4x，設M又設存在定點P（xp，yp），使得當點A運動時，|MA|-|MP|=c為定值，

代入原式化簡得4c-4=0，所以c=1，即存在定點P（1，0），使得當點A運動時，|MA|-|MP|為定值1.

反思：相信在上面三個解法的“讀懂、厘清、解巧”過程中，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)能有所提高.但學生的能力培養(yǎng)應不僅限于此，教師可適當進行變式訓練進一步引導學生思考，例如將題目條件變成|MA|+|MP|呢？將條件改變后，又該怎樣解題？

變式探究：已知點A，B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切.

（1）若點A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

（2）是否存在定點P，使得當點A運動時，|MA|+|MP|為定值？并說明理由.

分析：讀題時發(fā)現(xiàn)，條件|MA|+|MP|不再暗示與拋物線定義有關，無法用拋物線性質(zhì)解題，而且嘗試直接表示|MA|+|MP|后，也很難通過觀察配湊找出定點P和定值，所以思考當成探究性問題來處理，利用多項式性質(zhì)完成解題.

解：（1）略.

（2）依題得，點M的軌跡方程為y2=4x.

代入原式化簡得c2-2c+2=0，因為Δ＜0，所以c不存在，即不存在定點P，使得當點A運動時，|MA|+|MP|為定值.

反思：通過變式探究，進一步鞏固學生的數(shù)學核心素養(yǎng).在解巧高考題和變式研究后，教師可引導學生回顧題目信息，回想思路形成，回味思想方法，在一題多解的基礎上舉一反三.

其實，不僅僅是圓錐曲線問題，在數(shù)學所有知識模塊的解題中都需要學生“讀懂、厘清、解巧”.讀懂，就是數(shù)學的轉化輸入；厘清，就是數(shù)學的整合加工；解巧，就是數(shù)學的輸出應用.三個環(huán)節(jié)層層遞進，是正確解題的三板斧.新課改下教師在解題教學中可以引導學生進行針對性地練習，對應這三個環(huán)節(jié)有的放矢，查缺補漏，逐步提高學生解題的正確率.而學生只有讀得懂題意，理得清思路，才能解得巧過程，并在解題過程中逐漸鞏固和提高數(shù)學核心素養(yǎng)，適應新高考的要求.F