江蘇省丹陽(yáng)市呂叔湘中學(xué) 趙如國(guó)
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)歷來(lái)都是高考命題的重點(diǎn),“能力立意”是高考數(shù)學(xué)命題的基本思想,在這一思想的指引下,高考命題者往往會(huì)以函數(shù)為載體,整體把握高中數(shù)學(xué)的教學(xué)特點(diǎn),對(duì)學(xué)生綜合性的理解和應(yīng)用能力進(jìn)行考核.考慮到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要地位,命題者經(jīng)常以這部分內(nèi)容為主設(shè)計(jì)綜合題,以檢查學(xué)生的邏輯推理能力、綜合分析能力及數(shù)學(xué)思維能力.鑒于此,教師要專注學(xué)生高三復(fù)習(xí)過(guò)程中在這一模塊的具體情況,并有策略地施加引導(dǎo).
在高三復(fù)習(xí)時(shí),由于整個(gè)高中階段的新課學(xué)習(xí)已經(jīng)結(jié)束,這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生,站在全局的高度,對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位有一個(gè)總體性的認(rèn)識(shí),同時(shí)更要藉此引領(lǐng)學(xué)生把握該知識(shí)模塊與其他模塊之間的聯(lián)系.
為提升學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)的關(guān)注度,教師還要結(jié)合近年來(lái)對(duì)高考試卷的分析,引導(dǎo)學(xué)生明確高考在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分考核的側(cè)重點(diǎn),讓學(xué)生知道復(fù)習(xí)過(guò)程中的著力點(diǎn).一般來(lái)講,學(xué)生在進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí),應(yīng)該要關(guān)注導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,能夠結(jié)合導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的圖像特征進(jìn)行研究,并由此理清函數(shù)的具體性質(zhì).在高考試卷上,此類問(wèn)題往往是以初等函數(shù)為背景來(lái)設(shè)計(jì)題目,甚至?xí)旁趬狠S題的位置.這也就提醒學(xué)生復(fù)習(xí)該模塊內(nèi)容時(shí),要兼顧到基礎(chǔ)性和綜合性兩個(gè)方面,要求學(xué)生對(duì)基本概念進(jìn)行準(zhǔn)確的把握和理解,并提醒他們注意知識(shí)和方法的融會(huì)貫通,還要能夠聯(lián)系所學(xué)內(nèi)容解決最基礎(chǔ)的實(shí)際性問(wèn)題.具體來(lái)講,學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)要注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題.
(1)重視函數(shù)的圖像和基本性質(zhì),包括定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值和周期性等,尤其是指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合各類型函數(shù)的典型情形分析其函數(shù)的基本特征.
(2)重視函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容相互整合的綜合性問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等展開(kāi)分析和處理,同時(shí)也要指導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)作為基本工具,藉此來(lái)研究函數(shù)的基本性質(zhì),以及相關(guān)問(wèn)題的證明.
(3)重視實(shí)際性問(wèn)題的處理,引導(dǎo)學(xué)生充分利用建模思維,從實(shí)際問(wèn)題情境中提煉出數(shù)學(xué)模型,并充分應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本理論和方法,完成問(wèn)題的分析和研究.
在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí),我們要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)某項(xiàng)內(nèi)容的重要性,不僅要強(qiáng)調(diào)“重要”二字,更要讓學(xué)生明確:重要在什么地方,要復(fù)習(xí)哪些內(nèi)容,具體該做哪些事兒.這樣才能讓學(xué)生的各項(xiàng)工作更有針對(duì)性,才能實(shí)現(xiàn)有條不紊地推進(jìn).
函數(shù)的概念性非常強(qiáng),它的性質(zhì)是數(shù)學(xué)問(wèn)題處理的重要工具,定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等歷來(lái)都是高考命題的重點(diǎn),幾乎可以說(shuō)是每年必考,學(xué)生必須要靈活而深刻地掌握.圖像是函數(shù)的重要組成,能對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行有效的刻畫,因此在復(fù)習(xí)過(guò)程中,教師要指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)形結(jié)合思想為基礎(chǔ),深刻把握函數(shù)及圖像的關(guān)系.
在復(fù)習(xí)過(guò)程中,教師還要充分意識(shí)到,二次函數(shù)的最值討論、零點(diǎn)分布等都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ),這要求學(xué)生能夠反復(fù)過(guò)關(guān),同時(shí)還要求學(xué)生能夠結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì)來(lái)描繪圖像,并領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想.在研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值問(wèn)題時(shí),導(dǎo)數(shù)是最有效的一項(xiàng)工具,教師要幫助學(xué)生形成使用導(dǎo)數(shù)巧妙分析問(wèn)題的相關(guān)意識(shí)和思維習(xí)慣.
例題展現(xiàn):現(xiàn)有函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2,試分析:
(1)當(dāng)k=1時(shí),該函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn);
(2)如果該函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,確定k的取值范圍.
思路分析:(1)若k=1,則f(x)=(x-1)ex-x2,則f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2).令f′(x)=x(ex-2)>0,可以解得x>ln2或x<0;再令f′(x)=x(ex-2)<0,則有0<x<ln2,所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(ln2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,ln2).
(2)對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),f ′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k),如果該函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi),f′(x)=x(ex-2k)≥0恒成立,可以得出ex-2k≥0,即ex≥2k恒成立.由于ex≥1,所以2k≤1,因此有當(dāng)時(shí),f′(x)=x(ex-2k)≥0,當(dāng)x取0時(shí),上述不等式取等號(hào).則本題所要確定的實(shí)數(shù)k的取值范圍為
綜觀近幾年的高考試題,我們發(fā)現(xiàn)很多函數(shù)的問(wèn)題可以從導(dǎo)數(shù)的角度展開(kāi)分析,并最終獲得求解.為適應(yīng)這一需要,教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中,應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生更進(jìn)一步地研究和認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù),并結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求,有效展開(kāi)復(fù)習(xí),尤其要避免學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中將導(dǎo)數(shù)和函數(shù)割裂開(kāi)來(lái)的行為.
教師在復(fù)習(xí)過(guò)程中要積極滲透導(dǎo)數(shù)的知識(shí),并引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)性質(zhì),以及圖像的變化特點(diǎn)出發(fā),居高臨下地對(duì)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行整合,積極發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.此外,教師應(yīng)該要關(guān)注導(dǎo)數(shù)的幾何意義和內(nèi)涵,并由此引導(dǎo)學(xué)生探索相關(guān)內(nèi)容與幾何的關(guān)系,從而加深他們的理解.
學(xué)生還要積極從導(dǎo)數(shù)的角度出發(fā),引領(lǐng)學(xué)生破解函數(shù)圖像的基本特點(diǎn),同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生分析方程的相關(guān)性質(zhì).經(jīng)過(guò)分析,學(xué)生能夠明確繪制某些函數(shù)的圖像時(shí),直接處理難度較大,但是先從導(dǎo)數(shù)的角度出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探明性質(zhì)、作出草圖,最后就能夠輕松完成任務(wù).
此外,學(xué)生在研究導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)因?yàn)楦拍罾斫馄疃霈F(xiàn)錯(cuò)誤,因此教師必須要引導(dǎo)學(xué)生探明其實(shí)質(zhì),并有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化訓(xùn)練,幫助學(xué)生形成充分的理解和認(rèn)識(shí).
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)都是重要的數(shù)學(xué)模型,很多問(wèn)題也都是理想化的,如果引導(dǎo)學(xué)生過(guò)分側(cè)重理想化的模型分析,則容易限制學(xué)生思維的發(fā)展,他們的認(rèn)識(shí)能力也很難因此而得到發(fā)展.同時(shí),數(shù)學(xué)教師應(yīng)該意識(shí)到當(dāng)前很多高考題也習(xí)慣將數(shù)學(xué)理論和實(shí)際場(chǎng)景聯(lián)系起來(lái),并由此引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)建模處理,藉此來(lái)提升他們的能力和思維.
例題展示:某地需要建造一座橋,現(xiàn)在已經(jīng)將兩側(cè)的橋墩建好,且已知橋墩距離為m米,余下的工程僅僅對(duì)應(yīng)著現(xiàn)有橋墩之間的路面工程和中間橋墩的建造.經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè),橋墩的建造費(fèi)用是256萬(wàn)元/個(gè),每?jī)蓚€(gè)橋墩之間距離為x米的路面建造費(fèi)用為x萬(wàn)元.假設(shè)這些橋墩都可以視為點(diǎn),而且之間的距離也都是相等的,現(xiàn)在忽略其他因素,將剩下工程所需費(fèi)用記作y萬(wàn)元.試分析:
(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如果m等于640,則應(yīng)該建造多少個(gè)橋墩,可以使得y的取值最???
思路分析:(1)先假設(shè)需要新建橋墩數(shù)為n個(gè),即(n+1)x=m,因此有,進(jìn)一步可以寫出函數(shù)式y(tǒng)=
綜上所述,在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生站在全局的高度,審視高中數(shù)學(xué)的知識(shí)框架和方法特點(diǎn),有效指導(dǎo)他們完成對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí),由此提升他們的復(fù)習(xí)質(zhì)量.