李格星

摘要：直觀想象能力是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，本文通過范希爾理論框架，利用編制的問卷，對(duì)七年級(jí)學(xué)生直觀想象能力的現(xiàn)狀進(jìn)行研究，并利用得出的數(shù)據(jù)對(duì)教學(xué)給出建議。

關(guān)鍵詞：直觀想象；七年級(jí)；范希爾理論

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）01-0100-02

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》修訂稿提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析這六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引起教育界的廣泛關(guān)注。同時(shí)基于核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課堂也應(yīng)該進(jìn)行改變，作為可以不斷豐富、發(fā)展的概念或理論，課標(biāo)給出了基本框架和發(fā)展方向，作為一線教師要在具體教學(xué)中融入自己的一些思考。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的核心素養(yǎng)水平，實(shí)現(xiàn)新課程的要求？如何評(píng)價(jià)學(xué)生的核心素養(yǎng)水平？還需要我們的不斷思考和探索。直觀想象是學(xué)生理解分析問題，進(jìn)行推理一種重要方法。故本文選取“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過范希爾理論框架，利用自制的直觀想象能力調(diào)查問卷，對(duì)七年級(jí)學(xué)生的直觀想象能力現(xiàn)狀進(jìn)行研究，以為學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)提供建議。

“圖形的全等”是之前學(xué)習(xí)過的“圖形的變化”的基礎(chǔ)，本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)主要是讓學(xué)生對(duì)全等圖形有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。在此之前學(xué)生只是簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)了線段、角等零碎的幾何知識(shí)，本節(jié)是學(xué)生開始接觸完整的幾何圖形，并為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形相關(guān)知識(shí)打下基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的關(guān)鍵時(shí)期。所以本文選擇圖形的全等為載體。

范希爾幾何思維水平理論是用于分析研究對(duì)象的幾何思維水平的一個(gè)理論，主要包括5個(gè)水平，簡(jiǎn)單概括如下。

0水平：視覺（visually）?？梢灾啦⒚枋鰩缀螆D形，對(duì)圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類。

1水平：分析（analysis）。根據(jù)幾何圖形的概念，對(duì)幾何圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的劃分，能夠根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的猜想，具備簡(jiǎn)單的邏輯推理能力。

2水平：非形式化的演繹（informal deduction）。對(duì)圖形概念有深刻的理解，能夠根據(jù)圖形的性質(zhì)推出一些結(jié)論，具備一定的推理能力。

3水平：形式化的演繹（formal deduction）。具有較強(qiáng)的推理能力，理解定理、公理的意義，對(duì)一個(gè)結(jié)論能用不同的方法證明。

4水平：嚴(yán)密性（rigor）。處于這個(gè)層次的學(xué)生能夠進(jìn)行嚴(yán)格的幾何推理，能夠理解不同幾何系統(tǒng)的差異 [1]。

二、研究方法

為了了解當(dāng)前初一學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象能力現(xiàn)狀以及數(shù)學(xué)直觀想象運(yùn)用能力方面的主要問題，找到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的策略，筆者編制了一份關(guān)于初一學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象能力的數(shù)學(xué)調(diào)查測(cè)試卷（見附錄一）。從山東省青島市某初中初一年級(jí)進(jìn)行分層抽樣，選擇十位學(xué)生，進(jìn)行訪談?wù){(diào)查。

三、研究結(jié)果及分析

問題1呈現(xiàn)出三組幾何圖形，這三組圖形分別對(duì)應(yīng)三種情況：全等圖形、大小不同的圖形和形狀不同的圖形。然后讓學(xué)生找其中完全一樣的圖形，也就是疊在一起能夠完全重合的圖形。

結(jié)果顯示，8位同學(xué)可以準(zhǔn)確找出其中的全等圖形，有兩位學(xué)生，認(rèn)為形狀相同或者大小相同也算是圖形全等。說明學(xué)生在0水平的基礎(chǔ)上得到全等圖形的定義后，即能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，并不能據(jù)此分析出全等圖形的性質(zhì)，即“全等圖形形狀和大小都相同”，仍然達(dá)不到1水平。

問題2呈現(xiàn)經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后的三角形，找出其中的對(duì)應(yīng)元素。

結(jié)果顯示，只有5位同學(xué)可以準(zhǔn)確無誤地找出三組三角形中的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。有兩位同學(xué)可以找到經(jīng)平移變化后的三角形的對(duì)應(yīng)元素，對(duì)于旋轉(zhuǎn)、翻折過的三角形的對(duì)應(yīng)元素只能靠猜的方式得到一部分。說明學(xué)生無法在頭腦中想象圖像變換的軌跡，不能進(jìn)行非形式化的演繹，達(dá)不到2水平。有1位同學(xué)提出可以剪下圖形直接操作找到對(duì)應(yīng)元素，能通過具體操作但還是達(dá)不到想象的水平。剩下的兩位同學(xué)對(duì)于找對(duì)應(yīng)元素完全沒有思路，甚至不會(huì)考慮圖形的旋轉(zhuǎn)、平移。這部分學(xué)生對(duì)直觀想象幾乎沒有概念。

問題3請(qǐng)學(xué)生歸納總結(jié)找出對(duì)應(yīng)元素的方法，進(jìn)行方法提煉。

訪談結(jié)果顯示，只有兩位同學(xué)可以根據(jù)問題2以及書上的題目歸納出找到全等圖形的對(duì)應(yīng)元素的五種方法。有3位同學(xué)可以找出有公共邊、有公共角、有對(duì)頂角的圖形中的對(duì)應(yīng)元素，剩下的兩種可以用語(yǔ)言說出最大的邊是對(duì)應(yīng)邊、最大的角是對(duì)應(yīng)角等初步的思路。有1位同學(xué)可以就題論題的找出對(duì)應(yīng)元素，零碎地找到方法，無法進(jìn)行全面的歸納。剩下的4位同學(xué)，無法進(jìn)行歸納。說明只有少部分的學(xué)生可以達(dá)到3水平，大部分的學(xué)生不能進(jìn)行嚴(yán)密的推理及形式化的演繹。

這整個(gè)問卷的設(shè)計(jì)在幾何思維水平上以0水平為起點(diǎn)，并逐步的向上延伸最后達(dá)到3水平。在幾何思維水平的設(shè)計(jì)上符合學(xué)生幾何思維發(fā)展的次序性。

四、結(jié)論與教學(xué)建議

根據(jù)對(duì)訪談結(jié)果的分析，有如下教學(xué)建議。

（一）充分了解學(xué)生所處的思維水平

根據(jù)范希爾理論，幾何部分的學(xué)習(xí)要注意不同水平之間的連貫性，不斷積累反思，達(dá)到質(zhì)變。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，有效的教學(xué)必須以學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基準(zhǔn)，生長(zhǎng)出新的知識(shí)。因此在實(shí)際的教學(xué)之前，應(yīng)該了解學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕仡檹?fù)習(xí)，做好兩個(gè)思維水平之間的過渡。同時(shí)盡可能地采用因人而異的方法，使每個(gè)學(xué)生都能獲得思維水平的發(fā)展。例如，圖形的全等是后續(xù)學(xué)習(xí)三角形全等判定的基礎(chǔ)，教師可以在學(xué)習(xí)三角形全等判定之前了解學(xué)生的思維水平，教學(xué)中所呈現(xiàn)的問題及教學(xué)方法不超過所處的思維水平，又能有一些提高，實(shí)現(xiàn)有意義的教學(xué)。

（二）引導(dǎo)學(xué)生以多種形式進(jìn)行探究

學(xué)生在課堂上通過動(dòng)手操作、直觀感知形成的直接經(jīng)驗(yàn)是培養(yǎng)空間想象能力的必要基礎(chǔ)，同時(shí)也是感受、理解幾何直觀的有力支撐。在圖形與幾何部分的教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，使學(xué)生的感性操作上升到理性的認(rèn)識(shí)。例如，問題2中有一位同學(xué)提出可以通過剪出圖形再找對(duì)應(yīng)元素的方法，教師可以抓住時(shí)機(jī)，與學(xué)生一起動(dòng)手操作后，引導(dǎo)學(xué)生將這種操作在頭腦中形成過程，進(jìn)行形式化的演繹，從而逐漸喚醒、培養(yǎng)學(xué)生的想象能力。同時(shí)，這種動(dòng)手操作參與課堂的方式也符合初一學(xué)生活潑好動(dòng)的性格特點(diǎn)，使課堂富有生機(jī)。

（三）重視現(xiàn)代信息技術(shù)在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力中的應(yīng)用

美國(guó)學(xué)者Clements和Battista聲稱對(duì)于四年級(jí)學(xué)生，使用LOGO軟件的幾何教學(xué)，可以顯著提高學(xué)生的幾何思維水平；同時(shí)，學(xué)者Tutak在研究中指出，使用教學(xué)材料和動(dòng)態(tài)幾何軟件教學(xué)對(duì)學(xué)生的幾何思維都有影響，但動(dòng)態(tài)幾何軟件相對(duì)更好一些[2]；幾何教學(xué)的目的是發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間直覺能力，并且強(qiáng)調(diào)，幾何學(xué)習(xí)應(yīng)通過教學(xué)活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)用實(shí)物模型、繪畫和軟件為工具設(shè)計(jì)相應(yīng)的活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維[3]。

例如，在問題2中翻折、平移都可以通過幾何畫板進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生分析圖形變化的軌跡，鍛煉空間思維能力，把握?qǐng)D形的性質(zhì)和特征。因此，應(yīng)充分挖掘動(dòng)態(tài)軟件對(duì)直觀想象能力培養(yǎng)的有利因素，讓學(xué)生通過對(duì)生動(dòng)、直觀的視覺化數(shù)學(xué)素材的觀察和理解，發(fā)展直觀想象能力。

以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)是目前教育界普遍關(guān)注的話題，在中學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，仍需要數(shù)學(xué)教育工作者和一線教師的共同努力。

參考文獻(xiàn)：

[1]祁明衡.范希爾理論下的初中生幾何思維現(xiàn)狀研究[D].首都師范大學(xué)，2013.

[2]Clements D，Battista M.The effects of logo on children' sconceptualizations of angle and polygons[J].Journal for Research in Mathematics Education，1990，（5）：356-371.

[3]曾友良，贠朝棟.范希爾理論的幾何思維水平研究綜述及啟示[J].當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2017，9（5）：14.