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        平行投影與三角形相似

        2019-01-25 11:02:50云南省宜良縣第二中學李春紅
        衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2018年19期
        關鍵詞:成正比影長延長線

        云南省宜良縣第二中學 李春紅

        小學學習正比例時,通過測量的方式獲得“在同一時刻,同一地點,物長與影長成正比”.我們把這一事實整理為圖1.圖1中的物長A1C1和物長A2C2所在的直線垂直于地平線l,線段C1B1和C2B2分別為物長A1C1和物長A2C2的影長,A1B1和A2B2為物長頂端與影長末端的連線段.

        1.探究圖1中的Rt△A1B1C1與Rt△A2B2C2是否相似

        2.當物長所在的直線不垂直于地平線l時所得的三角形的與原三角形是否相似.

        我們把圖1繞點B2旋轉到使A2B2與地平線重合再向右平移得到圖2.在圖2中,把Rt△A1B1C1平移到使點B1和點B2重合時得到圖3,在圖3中用一組平行于A2C2的光線照射物長B1C1和物長B2C2,此時,Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對應角是否相等?物長與影長是否成正比?由平移和旋轉是全等變換可知Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對應角相等,物長與影長成正比.同樣,在圖2中,如果把Rt△A1B1C1平移到使點A1和點A2重合時得到圖4,在圖4中用一組平行于B2C2的光線照射物長A1C1和物長A2C2時,由平移和旋轉是全等變換可知這兩個三角形的對應角相等,物長與影長成正比.

        如圖5中,當物長A1B1和物長A2B2所在的直線不垂直于地平線l,用一平行光線照射物長A1B1和物長A2B2,由物長、影長和物長頂端與影子末端的連線段組成兩個銳角三角形,它們分別是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得這兩個銳角三角形的角對應相等.過點B2作B2D2⊥A2C2,垂足為D2,交A1C1于點D1,這條垂線把圖5中的△A1B1C1和△A2B2C2都分成圖兩部份,一部份由Rt△B1C1D1和Rt△B2C2D2所組成,一部份由Rt△B1A1D1和Rt△B2A2D2所組成,可以看出圖5被這條垂線分割開的每一部份都是圖3和圖4中的基本圖形,從而得到m,C2D2=mC1D1,D2A2=mD1A1.

        總結:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線,所截得的三角形的三個角與原三角形的三個角對應相等,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例(即所截得的三角形與原三角形相似).

        3.利用平移和旋轉運動可以由圖8得到圖9

        4.整合:可以由平行進行以下兩個方面的推導

        第一方面:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線,所截得的對應線段成比例.此類比例式中的線段與平行線上的線段無關。

        第二方面:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線,所截得的三角形與原三角形相似。

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