周雅

摘?要：數(shù)學(xué)中解決問題常常有多種方法，教師的課堂也因為學(xué)生思維的多元化顯得生動精彩，但是思維的發(fā)展往往伴隨著刪繁就簡、由形象向抽象等過程，因此豐富精彩的課堂思維更需要教師的精心設(shè)計與引導(dǎo)，一步步發(fā)展學(xué)生的思維能力。本文以《解決問題的策略——一一列舉》真實教學(xué)片斷為例，生動展示如何尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，步步引導(dǎo)學(xué)生從思維“多樣化”到方法“最優(yōu)化”的過程，提煉其中有利于學(xué)生思維發(fā)展的小細(xì)節(jié)，以提高學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：一一列舉;方法;多元化;最優(yōu)化

中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ????文章編號：1992-7711（2019）23-057-2

《解決問題的策略（一一列舉）》一課，是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的內(nèi)容。所謂一一列舉，即把事情發(fā)生的各種可能逐個羅列，并用某種形式進(jìn)行整理，從而得到問題的答案。生活中有許多實際問題，列式計算往往比較困難，如果聯(lián)系生活經(jīng)驗，用一一列舉的方法能比較容易地得到解決。因此，一一列舉是解決問題的常用策略之一。而且在一一列舉的時候要有序地思考，做到不重復(fù)、不遺漏，這對發(fā)展思維也很有價值。實際教學(xué)中，教師應(yīng)基于《課標(biāo)》理念，充分理解教材，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，積極發(fā)揮課堂中學(xué)生的主體性，精心設(shè)計并生動實施教學(xué)過程，處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，使學(xué)生充分經(jīng)歷“獲得一一列舉”這一解題策略的思維過程，使學(xué)生既學(xué)習(xí)知識，也發(fā)展思維，全面實現(xiàn)了教學(xué)的目標(biāo)。

一、基于發(fā)散思維，感悟“算法多樣化”

教學(xué)片段1：

【分析問題，感悟策略】

出示問題：王大伯用22根1米長的木條圍一個長方形花圃（木條不能折斷），怎樣圍面積最大？（學(xué)生自主讀題）

師：你是怎樣理解這些條件以及問題的？

生1：長和寬都是整米數(shù);

生2：長方形的周長是22米，長+寬=11（米）。

師：問題是怎樣圍面積最大，說明了什么？

生：既然面積要最大，說明不止一種情況，有許多種可能的圍法。

引導(dǎo)：只有列找出所有可能的情況，才能選出面積最大的長方形。

師：下面就請同學(xué)們選擇自己喜歡的方法來探究一下到底有多少種符合條件的長方形。先獨立嘗試再小組交流。

本部分思維的多元化表現(xiàn)為以下：首先，對于一部分學(xué)生來說，直觀形象更符合他們的思維發(fā)展，因此選擇直接畫圖操作的方法，通過畫圖列舉，直接觀察面積大小關(guān)系;也有部分學(xué)生的思維發(fā)展已經(jīng)超過具體形象階段，向抽象思維靠近，他們會選擇抓住題目中數(shù)量之間的關(guān)系來直接列算式計算列舉;還有同學(xué)使用老師提供的表格工具直接列表列舉。其次，學(xué)生在列舉的過程中，又存在不同的列舉順序，有從中間開始列舉、逐漸向兩邊擴(kuò)散，也有按順序一一列舉的，本質(zhì)上這些方法都是平等的，給學(xué)生創(chuàng)造了充分自由的思維環(huán)境。

在本節(jié)課的這一個環(huán)節(jié)，教師允許學(xué)生選擇自己喜歡或者適應(yīng)的方式來探究列舉出可能的結(jié)果并在小組交流展示，鼓勵并尊重不同學(xué)生的不同思考方法，多角度思考問題有利于培養(yǎng)思維開闊性，讓各個階段的孩子獲得過程性體驗，初步感受列舉策略的多樣性和層次性。

二、優(yōu)化思維品質(zhì)，提煉“算法最優(yōu)化”

教學(xué)片段2：

【自主比較，建構(gòu)策略】

師：剛剛同學(xué)們選擇了不同的方法列舉了許多符合條件的長方形，老師想請問一下，畫圖列舉和列表列舉，哪個方法更好？表達(dá)的更準(zhǔn)確？

教師分別出示三種列舉方法，請學(xué)生自主評價。

生1：我覺得畫圖好，畫圖能直接看出面積大小;

生2：我不同意他的說法，如果只相差一兩個方格，有時候憑眼睛不一定能看得出來;

生3：我覺得列表列舉更好，因為畫圖有點麻煩;

生4：我覺得計算也不錯，好算。

生5：列算式確實看上去簡便，但是對于我們解決實際問題好像有些數(shù)字和符號是多余的，我覺得還是列表更清楚。

師：確實，在像這樣可能的情況比較多的時候，我們采用列表的方式能更簡潔清楚表達(dá)出可能的情況，即“用數(shù)字說話”。

接著教師出示收集的4種表格（A.遺漏?B.重復(fù)?C.完整但無序?D.有序）。

師：老師收集了幾份同學(xué)們以表格呈現(xiàn)的可能的情況，請大家比較一下，你覺得像這樣的列舉方式好不好？

學(xué)生評價：（1）有的沒有列舉完全，有遺漏;

（2）有的列舉的沒有順序，不是很清楚。

（3）有的按照順序列舉了，但是有重復(fù)的。

師：那你覺得怎樣做可以比較容易的避免這些錯誤？

預(yù)設(shè)：按順序?qū)懗鏊锌赡艿慕Y(jié)果。

（教師出示正確有序的表格。）

完善表格：請完善好自己的表格。

追問：填表時是從幾米開始的？為什么？為什么列舉到長6寬5就停止了？

生：因為長+寬=11，長最大是10;接下來就重復(fù)了。

師：其實在解決這類情況比較多的問題時，我們采用有序列舉的方法往往能更容易的找出所有的情況，從而更好的解決問題，這種策略就叫一一列舉。

本案例中即體現(xiàn)為在方法多元化的基礎(chǔ)上進(jìn)行算法最優(yōu)化的選擇。在這一片段，給學(xué)生創(chuàng)造了兩次優(yōu)化提升的機會：一是表達(dá)方式的優(yōu)化，畫圖和列表都是可以解決問題的方法，畫圖呈現(xiàn)是一種直觀體驗，但是表格能夠更準(zhǔn)確的通過計算得出最終的結(jié)果，是一種更有利于學(xué)生發(fā)展的思維工具。通過學(xué)生自主表達(dá)與評價，得出“列表列舉更好的結(jié)論”;二是列舉順序的優(yōu)化，選取了4種典型的不同列舉順序，學(xué)生在對比評價中，自然得出了“一一列舉”的關(guān)鍵：有序能更好的保證不遺漏不重復(fù)的列舉出所有情況。緊接著又通過追問，即讓學(xué)生思考感悟：本題列舉思考‘序的起點在哪里？‘序到哪里終止？如何表達(dá)出的‘序？”，用列表的方法表達(dá)更容易將有序化落實，而畫圖和計算則容易產(chǎn)生干擾。利用表格找準(zhǔn)“序”的起點和終點，是培養(yǎng)學(xué)生思維縝密性的內(nèi)在邏輯起點，用合適的方式把有序思考的過程表達(dá)出來是思維縝密性的外在表現(xiàn)形式，也是有序思考、一一列舉的思維起點。

到此，算法最優(yōu)化在學(xué)生比較、否定、選擇等一系列思考過程中體現(xiàn)出來了，是學(xué)生自主思辨的產(chǎn)物，同樣符合以學(xué)生為主體的新課程的基本理念。

三、知識再現(xiàn)，完善策略理解

學(xué)生經(jīng)歷上述感悟和自主建構(gòu)之后，需要在教師的引導(dǎo)下進(jìn)一步完善對策略的理解。

教學(xué)片段3：

【豐富體驗，加深認(rèn)識】

師：我們已經(jīng)用一一列舉的策略解決了實際問題，并且發(fā)現(xiàn)了其中蘊含的規(guī)律。那現(xiàn)在回憶一下，在以前的學(xué)習(xí)中，我們有沒有用過這樣一一列舉的策略呢？

生1：比如給你1、2、3和小數(shù)點，問能夠組成多少種不同的兩位小數(shù)，我們也用過一一列舉的策略。

生2：一年級的時候我們學(xué)過的數(shù)的分與合。

通過這個問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生陷入到回憶以前學(xué)過的知識漩渦中去，體會到在以前的學(xué)習(xí)過程中，雖然課本和教師沒有有意識地提出策略的名稱，但是學(xué)生已經(jīng)在不由自主地使用一一列舉的策略。此時讓學(xué)生在回顧之前的知識，是讓學(xué)生從邏輯情感上體會到其實我們在各個階段都有運用一一列舉的策略來解決問題，進(jìn)一步深化對一一列舉策略的思想認(rèn)知。

四、感悟核心思想，把握策略本質(zhì)

本案例中學(xué)生經(jīng)歷從“各顯神通”的方法選擇到之后的自主對比篩選，選擇最優(yōu)化列表來一一列舉，到后來的回顧反思完善策略，都是遵循兒童思維認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律的完整體現(xiàn)，目的是引導(dǎo)學(xué)生向邏輯思維進(jìn)一步發(fā)展，訓(xùn)練相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，最終形成學(xué)生的思維能力。

兒童思維的特點、過程、方法以及品質(zhì)，是兒童思維發(fā)展規(guī)律的重要內(nèi)容。學(xué)生是靈動的生命體，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)尊重學(xué)生的思維水平，遵循兒童思維認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律，并努力給他們創(chuàng)造有延伸的課堂。

（作者單位：南京市天景山小學(xué)，江蘇 南京211100）