【關(guān)鍵詞】分類(lèi)思想;初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思考

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2019）91-0071-02

【作者簡(jiǎn)介】薛瑾，江蘇省蘇州市教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中心（江蘇蘇州，215004）副主任，一級(jí)教師。

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，就是要教會(huì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考。在這里，“教會(huì)思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅給學(xué)生傳授知識(shí)，而且更應(yīng)注重提升學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，形成良好的思維習(xí)慣，達(dá)成“教是為了不教”這一高層次目標(biāo)。在初三復(fù)習(xí)階段，教會(huì)學(xué)生有目的、有意識(shí)地思考，是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的關(guān)鍵。

本文以利用分類(lèi)討論思想解題為例，以把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)為教學(xué)“支架”，淺談教會(huì)學(xué)生思考的具體做法。

1.合理分類(lèi)，通過(guò)變式教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考。

把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，首先要讓學(xué)生學(xué)會(huì)在分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)確定的情況下進(jìn)行合理分類(lèi)。同時(shí)，通過(guò)變式教學(xué)，讓學(xué)生在經(jīng)歷“回顧”與“檢驗(yàn)”過(guò)程中學(xué)會(huì)思考。

例1：某等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為4cm和6cm，則它的周長(zhǎng)為（? ）。

A.10cm B.14cm C.16cm D.14cm或16cm

“分類(lèi)討論”思想是指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，根據(jù)問(wèn)題中所出現(xiàn)的多種情況和可能性，而分別研究的一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)中，教師關(guān)鍵是要教會(huì)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)分類(lèi)依據(jù)、確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)施不重復(fù)不遺漏的分類(lèi)。在本題中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)回顧等腰三角形相關(guān)知識(shí)，根據(jù)“等腰三角形有三條邊，分別為兩腰和一底邊”，教師可以設(shè)問(wèn)：題目中給出“兩條邊長(zhǎng)分別為4cm和6cm”這一條件，能確定誰(shuí)是底邊長(zhǎng)、誰(shuí)是腰長(zhǎng)嗎？這一設(shè)問(wèn)旨在讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)已知條件中的不確定元素，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決過(guò)程中的兩種可能性：（1）腰長(zhǎng)4cm、底邊長(zhǎng)6cm;（2）腰長(zhǎng)6cm、底邊長(zhǎng)4cm。于是問(wèn)題便迎刃而解。

為了更好地發(fā)揮例題的教學(xué)功能，讓學(xué)生真正地學(xué)會(huì)思考，解決本題之后，教師可以進(jìn)一步進(jìn)行“變式教學(xué)”，即把題中的條件改為“兩邊長(zhǎng)為3cm和6cm”，讓學(xué)生獨(dú)立去“求此時(shí)三角形的周長(zhǎng)”。這里看似只改變了一個(gè)數(shù)據(jù)，其實(shí)對(duì)學(xué)生的解題能力要求更高，可以更好地訓(xùn)練和提升學(xué)生的思考力。

2.選定標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)動(dòng)態(tài)探究讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考。

把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，還有一層意思就是在標(biāo)準(zhǔn)多元的情況下需要先行選定標(biāo)準(zhǔn)，不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)不同的分類(lèi)方法。

例2：在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O。

（1）如圖1，分別連接AF、CE。求證：四邊形AFCE為菱形，并求線段AF的長(zhǎng)。

（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A、點(diǎn)Q自C→D→E→C，一點(diǎn)停則另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，①若點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值。②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（ab≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式。

在題（2）①的教學(xué)中，動(dòng)點(diǎn)P、Q以不同速度沿著不同路徑運(yùn)動(dòng)，問(wèn)題研究起來(lái)比較復(fù)雜。若將其分成若干種情況逐一研究，就能解決整個(gè)問(wèn)題。為此，教師可以設(shè)計(jì)不同的“鋪墊性問(wèn)題”，讓學(xué)生分類(lèi)探究，使其充分經(jīng)歷和體驗(yàn)思考的過(guò)程。

首先，“抓住一點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)上突破。通過(guò)對(duì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的分類(lèi)探究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“以點(diǎn)P依次出現(xiàn)在不同路徑上的時(shí)間范圍進(jìn)行分類(lèi)研究”的思路。

其次，“兩點(diǎn)齊抓”，實(shí)現(xiàn)面上突破。研究?jī)蓚€(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的情況，“點(diǎn)P? 0秒時(shí)在點(diǎn)A處→1秒時(shí)在點(diǎn)F處→1.6秒時(shí)在點(diǎn)B處→2.4秒時(shí)回到點(diǎn)A處，點(diǎn)Q 0秒時(shí)在點(diǎn)C處→1秒時(shí)在點(diǎn)D處→1.75秒時(shí)在點(diǎn)E處→3秒時(shí)回到點(diǎn)C處”，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合雙動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的條件，找到“0

上述引導(dǎo)學(xué)生分析的過(guò)程，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。在這一過(guò)程中，教師要盡可能多地讓學(xué)生自己去體驗(yàn)、去發(fā)現(xiàn)，落實(shí)教會(huì)學(xué)生思考的目標(biāo)。

題（2）②是對(duì)平行四邊形存在性問(wèn)題的研究，不同的判定方法，會(huì)產(chǎn)生不同的分類(lèi)思路。因此，教師可以基于學(xué)生提出的判定思路，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、猜想嘗試運(yùn)用不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行探究。

比如，當(dāng)學(xué)生提出“一組對(duì)邊平行且相等”的思路時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)P、Q必須在互相平行的路徑上”的結(jié)論，從而得到“當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上”“當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上”“當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上”三種分類(lèi)情況。又如，當(dāng)學(xué)生提出“對(duì)角線互相平分”的思路時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住“線段PQ必經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)”這一前提，并通過(guò)對(duì)角線所在直線的旋轉(zhuǎn)得到“對(duì)角線交AF和CE”“對(duì)角線交邊BF和DE”“對(duì)角線交AB和CD”三種分類(lèi)情況，問(wèn)題便能得到解決。

雅斯貝爾斯在《什么是教育》一書(shū)中，多次闡明“自明性”這一觀點(diǎn)。他認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何東西的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn)、去領(lǐng)悟。這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中，要努力地讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，教會(huì)他們有目的、有意識(shí)地思考，增強(qiáng)“自明性”，才能不斷提升問(wèn)題解決的能力。