馮 青 黃儀平

（建甌市第二中學(xué)，福建 南平 353100）

數(shù)學(xué)抽象就是排除事物的所有物理特性，從而得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。它包括從數(shù)與數(shù)的關(guān)系、圖與圖的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念以及概念間的相互關(guān)系，從事物具體背景中抽象出一般的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)給以表征。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)抽象就是從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題。［1］

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》把數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的第一要素，提升了數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值和地位。加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)，有利于形成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，有利于理性理解數(shù)學(xué)概念、命題、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，有利于領(lǐng)會(huì)相關(guān)學(xué)科的本質(zhì)特征。所以，教師要善于引導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，促使思維發(fā)展，達(dá)成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

一、構(gòu)建直觀圖形，啟發(fā)數(shù)學(xué)抽象

發(fā)現(xiàn)真理和認(rèn)識(shí)真理，往往是從生動(dòng)的直觀到抽象的思維，再由抽象的思維到實(shí)踐的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要盡量借助圖形的直觀作用，引起學(xué)生豐富的聯(lián)想，促進(jìn)形象思維和邏輯思維的有效結(jié)合，變抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，達(dá)到快捷探求問(wèn)題答案和本質(zhì)的目的。

例如，在教學(xué)“終邊相同角的表示”時(shí)，首先讓學(xué)生探究給定一條射線為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？然后教師借助幾何畫(huà)板畫(huà)圖，認(rèn)真觀察幾個(gè)與-30°終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系，再進(jìn)行運(yùn)算發(fā)現(xiàn)這些角的共同特征，得到終邊與-30°角相同的角的表達(dá)式；最后再將-30°推廣到一般角α。這里通過(guò)由特殊到一般的弱抽象過(guò)程，不斷啟發(fā)學(xué)生形成抽象思維。［2］

二、構(gòu)建動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)數(shù)學(xué)抽象

動(dòng)態(tài)演示就是將數(shù)學(xué)知識(shí)及方法用教具和多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，形成具體形象的感性認(rèn)識(shí)，從而領(lǐng)會(huì)知識(shí)和方法。動(dòng)態(tài)演示能有效地化抽象為具體、創(chuàng)枯燥為有趣、變死板為靈動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生易學(xué)、會(huì)學(xué)、樂(lè)學(xué)。特別是多媒體的動(dòng)畫(huà)效果能展現(xiàn)許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)過(guò)程，再現(xiàn)知識(shí)的形成發(fā)展過(guò)程，使教學(xué)中較為抽象、難懂的知識(shí)變成容易理解和掌握，是傳統(tǒng)教學(xué)手段所無(wú)法獲得的。［3］教學(xué)過(guò)程中，我們要善于利用動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生形成直觀感知，并逐步達(dá)成數(shù)學(xué)抽象。

例如，在導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中，可先用幾何畫(huà)板演示函數(shù)圖象上兩點(diǎn)的割線及斜率（變化率），再將割線的兩個(gè)交點(diǎn)逐漸趨向一點(diǎn)，最后成為曲線的切線，學(xué)生在動(dòng)態(tài)演示中直觀體會(huì)平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系。接著，教師再通過(guò)具體實(shí)例的平均速度抽象出瞬時(shí)速度，從而抽象出導(dǎo)數(shù)概念，順利地完成模式建構(gòu)形式化抽象過(guò)程，自然引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象。

三、構(gòu)建實(shí)踐情境，滲透數(shù)學(xué)抽象

實(shí)踐情境是在課堂上營(yíng)造出可供學(xué)生動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗(yàn)時(shí)能夠?qū)⒗碚撀?lián)系實(shí)踐并應(yīng)用于實(shí)踐。在教學(xué)過(guò)程中適時(shí)讓學(xué)生實(shí)踐操作，不僅能有效地解決數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性與學(xué)生思維形象性的矛盾，也能對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的動(dòng)手能力、完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著積極的意義。教師要巧妙利用學(xué)生“好玩、好動(dòng)、好奇”的心理，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真進(jìn)行實(shí)踐操作，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變成活靈活現(xiàn)的生活情境，從而抽象出數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)滲透到學(xué)生的頭腦里。［4］

例如，在橢圓的概念教學(xué)中，教師先提出問(wèn)題：初中我們已經(jīng)知道到一個(gè)定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，那么到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？然后把準(zhǔn)備好的一段繩子發(fā)到每一桌，讓同桌中一個(gè)同學(xué)將繩子的兩端固定在紙上的兩個(gè)定點(diǎn)處，另一個(gè)同學(xué)用筆尖將繩子拉直，使筆尖在紙上慢慢轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察最后能畫(huà)出什么樣的圖形。我們發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)能迅速畫(huà)出橢圓，還有部分同學(xué)不會(huì)畫(huà)。教師此時(shí)可適當(dāng)引導(dǎo)，讓他們思考、討論、分析畫(huà)不出橢圓的原因。最后同學(xué)們一致認(rèn)為只有當(dāng)繩子的長(zhǎng)度大于兩定點(diǎn)間的距離的時(shí)候才能畫(huà)出橢圓。接著，讓學(xué)生總結(jié)橢圓上的點(diǎn)有什么特征？它是如何形成的？在此形成過(guò)程中哪些量是不變的？學(xué)生在實(shí)踐操作的基礎(chǔ)上容易抽象概括出橢圓的定義：即平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力得到增強(qiáng)。

四、構(gòu)建生活背景，形成數(shù)學(xué)抽象

生活背景是指構(gòu)建一個(gè)大多數(shù)學(xué)生所處的生活環(huán)境，使學(xué)生能身臨其境地思考生活中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)又高于生活，數(shù)學(xué)和生活是無(wú)法分離的。［5］在教學(xué)過(guò)程中，要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，精心設(shè)計(jì)學(xué)生感興趣的生活素材，以喜聞樂(lè)見(jiàn)的形式展示給學(xué)生，才能更好地啟發(fā)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如，在三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的教學(xué)中，可選擇波浪、潮汐、四季變化等生活實(shí)例，使學(xué)生感受生活中的周期現(xiàn)象，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要模型，從而抽象出周期的概念。

五、構(gòu)建自主探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象

自主探究是指學(xué)生在學(xué)習(xí)情境中獨(dú)立觀察、閱讀，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自行用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行解釋，獲得答案的過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)針對(duì)教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)?shù)亻_(kāi)展自主探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的思維過(guò)程，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象。

例如，在函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué)中，可讓學(xué)生嘗試探究函數(shù)單調(diào)性定義的產(chǎn)生過(guò)程。

問(wèn)題1 用描點(diǎn)法畫(huà)出下列函數(shù)的草圖，說(shuō)明函數(shù)y隨x的增大而怎樣變化？

教師巡視、提問(wèn)，學(xué)生動(dòng)手、討論。

問(wèn)題2 如何根據(jù)“數(shù)”的變化，對(duì)“函數(shù)值y隨x的增大而增大（或減?。钡奶卣鹘o予定量刻畫(huà)呢？

問(wèn)題3 函數(shù)y=x2在［0，+∞）上是增函數(shù)，你能用一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行說(shuō)明嗎？（見(jiàn)圖1）

圖1

生：當(dāng)x=0時(shí)，y=0；當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=9……

師：這樣的數(shù)據(jù)能列得完嗎？有什么辦法能解決這個(gè)問(wèn)題？

學(xué)生先思考、討論，再嘗試定義，最后形成概念。

通過(guò)設(shè)置三個(gè)問(wèn)題和教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)概念作出形式化的定義。

學(xué)生通過(guò)獨(dú)立的探究、同伴的交流，理解、明晰了概念的產(chǎn)生過(guò)程，抽象出函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格化定義。

六、構(gòu)建小組討論，完善數(shù)學(xué)抽象

小組討論是把班級(jí)學(xué)生劃分為若干個(gè)小組（最好是相鄰?fù)瑢W(xué)組合），將課堂上難以獨(dú)立完成的問(wèn)題交給小組進(jìn)行交流、討論，形成較為完整統(tǒng)一的結(jié)論。小組討論不僅能推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)力和團(tuán)隊(duì)合作力的提升，而且能逐步完善數(shù)學(xué)抽象，達(dá)到增強(qiáng)素養(yǎng)的目的。因此，教師要積極開(kāi)展小組討論，使課堂教學(xué)變得更加鮮活、有效。

例如，在函數(shù) y=Asin（wx+φ）（A＞0，（w＞0）的圖象教學(xué)中，教師可給出問(wèn)題組：

問(wèn)題1 y=sin（x+1）與y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

問(wèn)題2 y=3sinx與y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

問(wèn)題3 y=sin2x與y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

問(wèn)題4 y=sin（2x+1）與y=sin2x的圖象有什么關(guān)系？

教師要求學(xué)生按照原定的小組進(jìn)行討論，再由各小組上臺(tái)匯報(bào)，教師適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行點(diǎn)評(píng)、鼓勵(lì)。接著，教師用幾何畫(huà)板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，驗(yàn)證結(jié)論，從而抽象出函數(shù)的各種變換法則。小組討論能讓學(xué)生充分交流不同的思路與看法，減少個(gè)體存在的思維局限，形成科學(xué)的思維素養(yǎng)，逐步完善數(shù)學(xué)抽象。

總之，在教學(xué)過(guò)程中，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，合理地構(gòu)建各種活動(dòng)情境，使學(xué)生在教學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)會(huì)事物的本質(zhì)，從而理解數(shù)學(xué)概念和法則、建構(gòu)數(shù)學(xué)命題和模型、掌握數(shù)學(xué)思想與方法、明確數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系，循序漸進(jìn)地提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。