趙麗紅

[摘???要]中考數(shù)學(xué)試題一般以典型代數(shù)模型、幾何模型為依托，熟悉和掌握初中數(shù)學(xué)的一些代數(shù)與幾何模型的使用方法，對(duì)解答中高難度的試題將有很大的幫助.“一線三等角”模型是典型的幾何模型.此模型又可分為銳角一線三等角、直角一線三等角和鈍角一線三等角.“一線三等角”模型一般不單獨(dú)出現(xiàn)，它通常與其他特殊圖形結(jié)合，如等腰三角形、等邊三角形、矩形、正方形，以及與翻折、坐標(biāo)系結(jié)合等，從而考查這些圖形的性質(zhì).

[關(guān)鍵詞]一線三等角模型;幾何模型;初中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]????A????????[文章編號(hào)]????1674-6058（2019）35-0037-02

“一線三等角”是指三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一直線上，其中兩個(gè)角的一邊與該直線重合，第三個(gè)角的兩邊均不與直線重合，這樣會(huì)形成一組全等或相似三角形.根據(jù)等角的度數(shù)，此模型又可分為銳角一線三等角、直角一線三等角和鈍角一線三等角，其基本圖形如圖1所示，它們均有△ACP∽△BPD.

“一線三等角”模型一般不單獨(dú)出現(xiàn)，它通常與其他特殊圖形結(jié)合，如等腰三角形、等邊三角形、矩形、正方形，以及與翻折、坐標(biāo)系結(jié)合等，從而考查這些圖形的性質(zhì).以下就是考試中常出現(xiàn)的試題形式.

一、等腰三角形中的“一線三等角”

因?yàn)榈妊切斡小皟傻捉窍嗟取钡男再|(zhì)，所以“一線三等角”在等腰三角形中出現(xiàn)頻率最高，通常利用三角形外角的性質(zhì)得到另一組等角，然后利用“有兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”得證相似三角形.

[例1]如圖2，在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持∠A=∠EDF，射線DE與邊AC交于點(diǎn)M，射線DF與邊BC交于點(diǎn)N，連接MN.

（1）找出圖中的一對(duì)相似三角形，并證明你的結(jié)論;

（2）如圖3，在上述條件下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)D到線段MN的距離為定值.

解析：（1）[△ADM∽△BND].理由：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠AMD?=∠EDF+∠BDN，∵∠A=∠EDF，?∴∠AMD=∠BDN，∴△ADM∽△BND;

（2）如圖4，作DG⊥MN于G，DH⊥AM于H，由（1）得，△ADM?∽△BND，∴[AMBD=DMDN]，∵AD?=?BD，∴[AMAD=DMDN]，又∠A∠EDF，∴△ADM∽△DNM，∴∠AMD=∠NMD，又∵DG⊥MN，DH⊥AM，∴DG=DH，即在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)D到線段MN的距離為定值.

評(píng)注：對(duì)于等腰三角形中的“一線三等角”，當(dāng)?shù)谌齻€(gè)角的頂點(diǎn)恰好在底邊中點(diǎn)時(shí)，圖中中間的三角形與兩邊的兩個(gè)三角形也相似，可稱之為“中點(diǎn)型一線三等角”.

二、等邊三角形中的“一線三等角”

等邊三角形的“一線三等角中，更多關(guān)注的是全等三角形，且第三等角位置變化時(shí)，研究有關(guān)線段不變的數(shù)量與位置關(guān)系.

[例2]如圖5所示，已知：△ABC為等邊三角形，D為直線BC上一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE.

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：BD=CE，AB∥CE;

（2）若點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，上述結(jié)論是否成立？若成立，補(bǔ)畫圖形并證明，若不成立，說(shuō)明理由.

解析：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC?=?BC，AD?=?AE，∠BAC?=∠DAE?=?60°.∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，[AB=AC?，∠BAD=∠CAEAD=AE?，]，

∴△ABD?≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，∴∠ECF=60°，∴∠ECF=∠B，∴AB∥CE;

（2）補(bǔ)畫圖形如圖6所示.上述結(jié)論成立.理由如下：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB?=?AC?=?BC，?AD?=?AE，∠BAC?=∠DAE?=?60°.∴∠BAC+∠CAD?=?∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，[AB=AC?，∠BAD=∠CAEAD=AE?，]，

∴△ABD?≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE?=∠B?=?60°，∴∠ECF?=?60°，∴∠ECF=∠B，∴AB∥CE?.

評(píng)注：本題第（2）小題是“一線三等角”的變形，但證明的方法仍與前面相同，甚至第（2）小題證明過(guò)程字母都沒改變，可見證明思路完全相同，這是拓展延伸問(wèn)題慣用的手法.

三、矩形折疊中的“一線三等角”

矩形折疊中的“一線三等角”常表現(xiàn)為“直角一線三等角”，因?yàn)榫匦蔚拿總€(gè)角都是直角，把矩形的一個(gè)角折疊，當(dāng)它的直角頂點(diǎn)落在矩形一邊上時(shí)，就會(huì)形成“一線三等角”的模型，得到兩個(gè)相似三角形，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例求得有關(guān)線段的長(zhǎng).

[例3]如圖7，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=[35a].連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為????????????????.

解析：①?當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如圖8.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD?=?∠B?=?90°，∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在AD邊上，∴∠BAE?=?∠B′AE?=?[12]∠BAD?=?45°，∴AB?=?BE，∴[35]?a=1，∴a?=?[53];

②當(dāng)點(diǎn)B′落在CD邊上時(shí)，如圖9.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a.∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在CD邊上，∴∠B=∠AB′E=90°，AB=AB′=1，EB=EB′=?[35]?a，∴DB′=[B′A2-AD2]=[1-a2]，EC=BC-BE=a-[35]?a=[25]?a.在△ADB′與△B′CE中，[∠B′AD=∠EB′C=90°-∠AB′D，∠D=∠C=90°，]∴△ADB′∽△B′CE，∴[DB'CE]=[AB'B'E]，即[1-a225a]=[135a]，解得a1=[53]，a2=0（舍去）.綜上，所求a的值為[53]或[53].

綜上可知，在解題時(shí)，要學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中提取出基本圖形，靈活地運(yùn)用基本結(jié)論思考拓展，通過(guò)知識(shí)間的串聯(lián)，找出一些通性通法，從而有效解決問(wèn)題.

（特約編輯????安???平）