金 華

（上海電機(jī)學(xué)院文理教學(xué)部，中國(guó) 上海 201306）

0 引言

等位線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)可以反映靜電場(chǎng)中電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布， 是描述靜電場(chǎng)性質(zhì)的重要的物理圖像。 在大學(xué)物理的教學(xué)中， 一些帶電體激發(fā)的電場(chǎng)的等位線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)通常被舉例來(lái)闡明兩者在空間分布的特點(diǎn)和關(guān)聯(lián)。 一個(gè)典型的例子便是一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷組成的電偶極子模型。 該模型在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域激發(fā)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度能解析表示，并可以進(jìn)行數(shù)值化繪圖[1-2]，但對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)要求較高。 在實(shí)際的教學(xué)中， 一般只要求定性描述電偶極子的等位線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)的分布。 在這種情況下， 本文引入Matlab 軟件中可視化的PDE 工具箱來(lái)模擬該模型的場(chǎng)線(xiàn)， 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建模仿真， 掌握分析帶電體電場(chǎng)分布的能力。

1 數(shù)值建模

根據(jù)靜電場(chǎng)的麥克斯韋方程， 若帶電體或電極激發(fā)的電場(chǎng)中沒(méi)有電荷， 則場(chǎng)域中的電勢(shì)分布可以表示成拉普拉斯方程的形式，即▽2V=0。在x-y 平面下，該偏微分方程可寫(xiě)成，

式中 代表邊界條件。在Matlab 的PDE 工具箱中，可通過(guò)有限元方法數(shù)值計(jì)算（1）式對(duì)應(yīng)的偏微分方程[3]，得到空間各點(diǎn)的電勢(shì)V， 進(jìn)而利用求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。

本文中，將兩個(gè)半徑為0.04（無(wú)長(zhǎng)度單位）、相距0.4、電勢(shì)分別為±5V 的球形電極來(lái)模擬電偶極子。 距離較遠(yuǎn)處視為體系的邊界，電勢(shì)設(shè)為0V。 利用PDE 工具箱求解（1）式的拉普拉斯方程，便可以得到所建立的模型電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度在場(chǎng)域中的分布。

2 Matlab 仿真結(jié)果

確定模型后， 在Matlab 軟件中的仿真模擬過(guò)程大致可以按照如下的步驟進(jìn)行。第一步：在Matlab 軟件的命令窗口打開(kāi)PDE 工具箱，選擇Electrostatics 模式。 第二步：在x-y 平面上，畫(huà)兩個(gè)圓，將它們命名成C1 和C2， 設(shè) 置 半 徑 為0.04， 圓 心 分 別 位 于 （-0.2，0.0）和（0.2，0.0）；畫(huà)一個(gè)橢圓，命名為E1，設(shè)置其中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)處，長(zhǎng)軸為1.5，短軸為1.0，作為模型的外邊界。第三步：在Set formula 編輯框中將分析域表示成E1-C1-C2；分別設(shè)置E1、C1 和C2 的邊界值為0、5 和-5；在PDE Specification 對(duì)話(huà)框中將方程中的電荷密度設(shè)為0。 第三步：將分析域初始網(wǎng)格化，并進(jìn)一步加密和改善網(wǎng)格。 第四步：進(jìn)行運(yùn)算，在Plot Selection 對(duì)話(huà)框中選擇Contour 和Arrows 選項(xiàng)，來(lái)繪制等位線(xiàn)和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。 每一步的具體操作和設(shè)置方法可參考文獻(xiàn)[3]中的說(shuō)明。 最后，仿真模擬的結(jié)果見(jiàn)圖1 所示。

圖1 模擬得到的電偶極子電場(chǎng)的等位線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)

圖1 中，封閉曲線(xiàn)代表等位線(xiàn)，箭頭代表場(chǎng)點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，沿著箭頭可近似表示電場(chǎng)線(xiàn)的取向。 可以看到，等位線(xiàn)在垂直于電偶極子軸的方向上左右對(duì)稱(chēng)分布，等位線(xiàn)的疏密程度代表了電場(chǎng)強(qiáng)度的大?。浑妶?chǎng)線(xiàn)由正電荷出發(fā)，指向負(fù)電荷，或者從正電荷出發(fā)終于無(wú)窮遠(yuǎn)，從無(wú)窮遠(yuǎn)處指向負(fù)電荷；電場(chǎng)強(qiáng)度的方向處處正交于等位線(xiàn)，且指向電勢(shì)降低的方向。 模擬的結(jié)果， 很好地定性描述了電偶極子電場(chǎng)等位線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)的分布。當(dāng)然，圖1 也存在不足之處，例如場(chǎng)域中計(jì)算的電場(chǎng)強(qiáng)度取點(diǎn)較少，模擬的電場(chǎng)線(xiàn)走向不夠精細(xì)； 建模時(shí)選取的較遠(yuǎn)處邊界過(guò)于隨意，可能會(huì)影響數(shù)值模擬結(jié)果，應(yīng)盡可能將邊界取在相對(duì)電偶極子無(wú)窮遠(yuǎn)的地方。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)Matlab 軟件的PDE 工具箱求解拉普拉斯方程， 對(duì)電偶極子激發(fā)的靜電場(chǎng)在兩維平面上進(jìn)行了仿真計(jì)算。 模擬結(jié)果定性再現(xiàn)了電偶極子電場(chǎng)等位線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)在空間的分布。PDE 工具箱建模容易，操作方便，與精確解的數(shù)值化計(jì)算相比較，本文引入的模擬方法更加簡(jiǎn)單，易于學(xué)生上手，且可以推廣到其他帶電體電場(chǎng)的仿真模擬。 若數(shù)值要求不是很高的情況下，該方法可在大學(xué)物理靜電場(chǎng)的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生加以應(yīng)用，來(lái)考察靜電場(chǎng)的分布。