王琦峰，孫海寧

（浙江萬(wàn)里學(xué)院，浙江 寧波 315100）

0 引言

自Zadeh（1965）[1]提出模糊理論以來(lái)，因其能較好地處理模糊信息的優(yōu)勢(shì)而被廣泛應(yīng)用在控制系統(tǒng)、機(jī)器學(xué)習(xí)、多屬性決策等多個(gè)領(lǐng)域。Atanassov（1986）[2]在傳統(tǒng)模糊理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，提出了直覺(jué)模糊集的概念。直覺(jué)模糊集同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個(gè)方面的信息，能更好地描述客觀事物的模糊性，因此有關(guān)直覺(jué)模糊理論的研究日益增多。目前在直覺(jué)模糊環(huán)境下，采用直覺(jué)模糊數(shù)表征其相似度的研究相對(duì)較少，為了更準(zhǔn)確地刻畫(huà)決策問(wèn)題的模糊特性，本文提出一種新的直覺(jué)模糊相似度計(jì)算方法，并將其與GIFOWA算子相結(jié)合，提出廣義直覺(jué)模糊有序加權(quán)擴(kuò)展相似度（GIFOWES）算子，研究了其性質(zhì)以及各種特殊形式，并提出了基于此算子的群決策方法，通過(guò)實(shí)際案例證明方法的有效性。

1 基礎(chǔ)理論

本文主要介紹直覺(jué)模糊集的相關(guān)理論知識(shí)，包括直覺(jué)模糊集的概念、運(yùn)算法則以及相關(guān)算子。

定義1[2]：集合X下的直覺(jué)模糊集：

其中μA(x)為隸屬度，νA(x)為非隸屬度，πA為猶豫度，πA=1-μA-νA。 (μA，νA)被稱(chēng)為直覺(jué)模糊數(shù)，每個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)可簡(jiǎn)單地寫(xiě)成，μα，να∈[0，1]且0≤μα+να≤1。

為了比較兩個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)之間的大小關(guān)系，Xu和Yager（2006）[3]分別定義了得分函數(shù)S(α)=μα-να和精確函數(shù)H(α)=μα+να。對(duì)于兩個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)之間的比較可采用如下形式：

設(shè)α=(μα，να)，β=(μβ，νβ)為兩個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)。

（1）若S(α)＞S(β)，則α＞β；

（2）若S(α)=S(β)，則：①若H(α)=H(β)，則α=β；②若H(α)＞H(β)，則α＞β；③若H(α)＜H(β)，則α＜β。

對(duì)于任意三個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)，α=(μα，να)，α1=(μα1，να1)和α2=(μα2，να2)，其運(yùn)算公式[4]如下：

定義2[5]：設(shè)Aj=(μj，νj)(j=1，2，...，n)是直覺(jué)模糊集。GIFOWA算子為一個(gè)n維映射，GIFOWA：Ωn→Ω。

其中，w=(w1，w2，...，wn)是位置權(quán)重；λ＞0 為參數(shù)；Bk=(μk，νk)(k=1，2，...，n) 為Aj=(μj，νj)(j=1，2，...，n) 的第k大的元素。

2 廣義直覺(jué)模糊有序加權(quán)擴(kuò)展相似度算子

由于直覺(jué)模糊數(shù)自身包含隸屬度、非隸屬度和猶豫度，反映了一定的猶豫程度，其相似度也應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)出一定的模糊性。而傳統(tǒng)的直覺(jué)模糊相似度公式計(jì)算結(jié)果都是精確數(shù)，未能體現(xiàn)這一模糊性，針對(duì)這一不足，張洪美等（2007）[6]提出一種新的相似度概念，定義如下：

定義3[6]：s:Ω2→Ω，其中Ω為X上所有直覺(jué)模糊集的集合，且設(shè) Ai∈Ω(i=1，2，..，n)，若 s(A1，A2)滿足條件：

（1）s(A1，A2)是直覺(jué)模糊數(shù)；

（2）s(A1，A2)=(1，0)當(dāng)且僅當(dāng) A1=A2；

（3）s(A1，A2)=s(A2，A1)；

（4）如果 A1? A2? A3,則s(A1，A3)? s(A1，A2)且s(A1，A3)?s(A2，A3)；

則稱(chēng)s(A1，A2)為A1和A2的直覺(jué)模糊相似度。

近年來(lái)，很多學(xué)者提出了直覺(jué)模糊集和區(qū)間值模糊集本質(zhì)上是模糊集的一種廣義形式，只是兩種表達(dá)方式不同[7]。因此，直覺(jué)模糊集和區(qū)間值模糊集的很多方法理論存在聯(lián)系。

對(duì)于任意直覺(jué)模糊數(shù)，α=(μα，να)，則其猶豫度為πα=1-μα-να，因此直覺(jué)模糊數(shù) α ，它的隸屬度下界為μα，上界為πα+μα。因此，直覺(jué)模糊數(shù)α可以表示為[μα，μα+πα]，也可以表示為[μα，1-να][8]。因此本文從區(qū)間值模糊數(shù)的角度構(gòu)建相似度。

定理1：設(shè)A1，A2為兩個(gè)直覺(jué)模糊集，令：

其中，α≥0，β≥0，α+β=1。存在α*，β*，使得maxh=h*，即：

同樣存在 α*，β*，使得 minh=h*，即：

根據(jù)上述公式，提出直覺(jué)模糊數(shù)相似度公式為：

下面證明上述相似度公式，符合相似度的四個(gè)條件。

（1）先證明s(A1，A2)為直覺(jué)模糊數(shù)形式

因?yàn)棣?β=1，則有：

因?yàn)椋?/p>

則0≤h*≤1。

（2）snew(A1，A2)=(1，0) 當(dāng)且僅當(dāng) A1=A2；

必要性

由s(A1，A2)=(1，0)可知,h*=h*=1,則μ1j=μ2j,則ν1j=ν2j,所以A1=A2。

充分性

由 A1=A2，可知 μ1j=μ2j，ν1j=ν2j，則 h*=h*=1，故s(A1，A2)=(1，0)。

（3）顯然成立。

（4）如 果 A1?A2?A3，μ1j≤μ2j≤μ1j，ν1j≥ν2j≥ν2j,(1-ν1j)≤(1-ν2j)≤(1-ν2j)。

因?yàn)椋?/p>

所以：

同理：

同理 s(A1，A3)? s(A2，A3)。

例1：設(shè) α=(0.5，0.5)，β=(0.4，0.2)，利用上述相似度計(jì)算方法計(jì)算其相似度。

h*=0.82;h*=0.54

snew(α1，α2)=(0.54，0.18)

在一些實(shí)際的經(jīng)濟(jì)管理決策問(wèn)題中，不同的元素的重要性可能不完全一樣，因此需要賦予不同的權(quán)重.假設(shè)集合中元素 μj的權(quán)重為 wj(j=1，2，...，n)，要求滿足歸一化條件，即。將式（6）中融入元素的權(quán)重，可得到直覺(jué)模糊集A1，A2的加權(quán)相似度。

其中，α≥0，β≥0，α+β=1。

設(shè)h*=maxh，h*=minh

定義4：設(shè) A=(a1，a2，...，an)B=(b1，b2，...，bn)為兩個(gè)直覺(jué)模糊集，GIFOWES算子是一個(gè)n維映射，GIFOWES：Ωn→Ω：

其中 w=(w1，w2，...，wn)為相關(guān)聯(lián)(位置)權(quán)重，wj∈[0，1]，=1σ(1)，σ(2)，...，σ(n)是 (1，2，...，n)的一個(gè)置換，對(duì)于任意的j，滿足為參數(shù)，且 λ∈R，λ≠0。

例2：A=(a1，a2，a3，a4)={(0.3,0.2),(0.7,0.1),(0.5,0.4),(0.3,0.5)},B=(b1，b2， b3，b4)={(0.5,0.1),(0.6,0.2),(0.9,0.1),(0.7,0.3)} 為兩個(gè)直覺(jué)模糊集，相關(guān)聯(lián)權(quán)重 wj=（0.2，0.3，0.2，0.3）。利用GIFOWES(A,B)計(jì)算它們之間的相似度。

首先，利用新直覺(jué)模糊相似度計(jì)算對(duì)應(yīng)直覺(jué)模糊數(shù)的相似度，如下：

對(duì)上述結(jié)果按得分函數(shù)大小進(jìn)行排序得：

設(shè) λ=1時(shí)，GIFOWES(A，B)=(0.6362，0.2627)。

下面介紹GIFOWES的相關(guān)性質(zhì):

定理2（交換性）：A=(a1，a2，a3，a4)B=(b1，b2，b3，b4)兩個(gè)直覺(jué)模糊集。

GIFOWES(A，B)=GIFOWES(B，A)

定理 3（單調(diào)性）：A=(a1，a2，a3，a4),B=(b1，b2，b3，b4),C=(c1，c2，c3，c4) 兩 個(gè) 直 覺(jué) 模 糊 集 。 如 果 對(duì) 于 任 意(j=1，2，...，n)snew((aj，bj))≥snew((aj，cj))則有:

GIFOWES(A，B)≥GIFOWES(A，C)

定理4（冪等性）：A=(a1，a2，a3，a4)B=(b1，b2，b3，b4)兩個(gè)直覺(jué)模糊集。如果對(duì)任意的snew((aj，bj))的相似度相等snew((aj，bj))=s0，則有：

定理5（有界性）：A=(a1，a2，a3，a4)B=(b1，b2，b3，b4)兩個(gè)直覺(jué)模糊集。如果最大相似度majx snew(aj， bj)=smax， 最小相似度mjin snew(aj，bj)=smin，則有：

在GIFOWES中，通過(guò)改變公式中的參數(shù)λ和權(quán)重向量，可以得到不同形式的GIFOWES算子，例如：

（1）當(dāng)λ=1，GIFOWES退化為直覺(jué)模糊有序加權(quán)擴(kuò)展算術(shù)相似度（IFOWES）算子：

（2）當(dāng)λ=2，GIFOWES退化為直覺(jué)模糊有序加權(quán)擴(kuò)展二次相似度（IFOWQES）算子：

（3）當(dāng)λ→0，GIFOWES轉(zhuǎn)化為直覺(jué)模糊有序加權(quán)幾擴(kuò)展何相似度（IFOWGES）算子：

從權(quán)重角度，可以得到GIFOWES的其他特殊形式，如：

（1）當(dāng) w1=1，wj=0(j≠1)時(shí)，可以得到直覺(jué)模糊最大相似測(cè)度（GIFMAXES）算子；

（2）當(dāng) wn=1，wj=0(j≠n)時(shí)，可以得到直覺(jué)模糊最小相似測(cè)度（GIFMINES）算子；

（3）更一般，當(dāng) wk=1，wj=0(j≠k)時(shí)，可以得到位置直覺(jué)模糊相似度（Step-GIFOWES）算子；

（4）當(dāng) w1=wn=0，wj=1/(n-2)，(j≠1，n)時(shí)，可以得到奧林匹克直覺(jué)模糊相似（Olympic-GIFOWES）算子。

3 基于廣義直覺(jué)模糊有序加權(quán)擴(kuò)展相似度算子的群決策方法

考慮直覺(jué)模糊環(huán)境下的多屬性（指標(biāo)）綜合決策問(wèn)題，設(shè) A={A1，A2，...，Am}為方案集，e={e1，e2，...，et}為評(píng)價(jià)專(zhuān)家集，G={G1，G2，...，Gn}為屬性（指標(biāo)）集，ω=(ω1，ω2，...，ωn)為各屬性的權(quán)重，w=(w1，w2，...wt)為相關(guān)聯(lián)（位置）權(quán)重。專(zhuān)家ek∈e對(duì)方案Ai∈A關(guān)于指標(biāo)Gj∈G進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而構(gòu)成直覺(jué)模糊評(píng)價(jià)矩陣為直覺(jué)模糊數(shù)?；贕IFOWES算子的群決策步驟如下：

步驟1：專(zhuān)家根據(jù)評(píng)價(jià)矩陣，給出期望的理想方案。如表1所示。

表1 理想方案

步驟2：利用式（10）和式（11）計(jì)算各個(gè)專(zhuān)家評(píng)價(jià)矩陣與理想方案之間的相似度，形成相似度矩陣sm。

其中sik=snew(ri(k)，R*)表示專(zhuān)家ek對(duì)Ai評(píng)價(jià)的數(shù)組ri(k)=(μij(k)，νij(k))1×n(i=1，2，..，m) 與 其理想方案R*=(r1*，r2*，...rn*)之間的相似度。

步驟3：利用GIFOWES算子集結(jié)各個(gè)專(zhuān)家關(guān)于Ai的相似度。候選方案Ai的最終相似度Ri。

步驟4：根據(jù)Ri的大小進(jìn)行排序，得到各方案的優(yōu)劣排序。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于直覺(jué)模糊相似度的概念，提出一種新的直覺(jué)模糊相似度的計(jì)算方法。在直覺(jué)模糊環(huán)境下，采用直覺(jué)模糊數(shù)表示其相似度，較好地表現(xiàn)原始信息的模糊性不確定性，并在此基礎(chǔ)上定義了廣義直覺(jué)模糊有序加權(quán)擴(kuò)展相似度（GIFOWES）算子，對(duì)其相關(guān)性質(zhì)和各種特殊形式進(jìn)行了研究。并基于此算子提出一種直覺(jué)模糊多屬性決策方法，該方法不僅降低決策信息在集結(jié)過(guò)程的失真程度，而且為相似度的集結(jié)方法的研究提供一條有效途徑。