□ 莊旦丹

“用數(shù)對確定位置”是人教版五年級上冊第二單元的內(nèi)容，筆者遺憾地發(fā)現(xiàn)，教學(xué)過程中就“數(shù)對”教“數(shù)對”的現(xiàn)象較為普遍，可以稱為“只探其花”。卻忽視了最為重要的兩大問題，一是用數(shù)對確定位置之魂（上位思想），二是用數(shù)對確定位置之意（價值作用），可以稱為“拔其根”。如何才能有效地突破這兩個難點呢？本文試著從以下三方面對本課做一個系統(tǒng)的梳理與思考。

一、有效解析教材，了解知識的“邏輯之根”

（一）橫向比較“拓視野”

表1“確定位置”各版本教材編排統(tǒng)計表

從表1中我們可以發(fā)現(xiàn)蘇教版、北師大版在一、二年級的三個學(xué)期較為集中地設(shè)置了“位置和方向”的相關(guān)內(nèi)容，三、四年級幾乎忽略了這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。而人教版幾乎在每個年級都安排了“位置和方向”，并把用“數(shù)對”和“方向、距離”確定位置這兩個較難的知識點安排到了五、六年級。根據(jù)皮亞杰的實驗表明，兒童只有到了11至12歲后的思維的形式運算中，方能建立真正規(guī)范的參照系，使他能真正比較距離和位置，所以人教版的知識編排較為合理。

（二）縱向延伸“注啟承”

小學(xué)數(shù)學(xué)教師在做好小學(xué)階段知識啟承的同時，更要為“中”“小”知識銜接做好鋪墊與滲透。所以我們在對教材進行分析時還應(yīng)該加強縱向延伸，重視知識的啟承轉(zhuǎn)合。

圖1 八年級上冊“圖形與坐標(biāo)”結(jié)構(gòu)框圖

通過圖1我們可以發(fā)現(xiàn)以下三點：①用數(shù)對表示位置，并在方格紙上用數(shù)對確定位置→用有序?qū)崝?shù)對表示平面上的點的位置。②能根據(jù)方向和距離確定物體的位置→用方向和距離表示平面上點的位置。③在方格紙上補全簡單的軸對稱圖形及按水平、垂直方向平移→平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的軸對稱變化和平移運動?？梢姷诙W(xué)段“圖形與位置”的基礎(chǔ)知識和基本技能是否學(xué)得扎實、有效，將直接影響下一階段的學(xué)習(xí)。所以，筆者認(rèn)為，“確定位置”的知識“邏輯之根”就是不同維度中數(shù)與點的一一對應(yīng)關(guān)系。

二、悉心研讀學(xué)生，把握學(xué)生的“認(rèn)知之根”

除了對教材的深度分析，還需要充分了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗，并且對其進行客觀的分析。為此，筆者對任教的2個班級學(xué)生進行了前測。

表2“用數(shù)對確定位置”前測第二題答題情況統(tǒng)計表

數(shù)據(jù)解讀分析：從前測數(shù)據(jù)中可以看出，約30%的學(xué)生是利用前后、左右和上下描述實際情境中物體的位置，約60%的同學(xué)是利用“第幾排第幾個”來描述位置的，只有8%甚至更少的同學(xué)了解一點列與行的知識。

表3“用數(shù)對確定位置”前測第三題答題情況統(tǒng)計表

數(shù)據(jù)解讀分析：從表3的數(shù)據(jù)中，我們發(fā)現(xiàn)在平面上用兩個數(shù)確定一個點的位置，其實學(xué)生都會。只是更多的學(xué)生是依據(jù)原有的經(jīng)驗，先看行再看列而已，說明對于這個知識點，學(xué)生了解得不具體，概念不準(zhǔn)確。

表4“用數(shù)對確定位置”前測第四題答題情況統(tǒng)計表

數(shù)據(jù)解讀分析：從表4的數(shù)據(jù)中可以看出，受前測第三題的啟發(fā)，學(xué)生知道可以用兩個數(shù)字確定一個點的位置，但究其原因，大多數(shù)學(xué)生詞不達意，不正確和空著的人數(shù)占前測人數(shù)的近一半，說明學(xué)生對于第四個問題還存在著困惑，對于用數(shù)對表示位置的必要性不理解。

通過對前測情況的分析，我們基本可以把握學(xué)生的“認(rèn)知之根”：前期的知識基礎(chǔ)（幾和第幾）與生活經(jīng)驗。筆者認(rèn)為，在教學(xué)中可以用一一對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，抓住它們的共通點，利用類比遷移，整體布局。

三、深入反思教學(xué)，培育“核心問題”的“實施之根”

核心問題在課堂眾多的問題中有著特殊的地位。通過它，學(xué)生能理解所學(xué)知識的要點，并促成其對知識的深刻理解。因此我們在教學(xué)中要培育學(xué)生的“核心問題”的“實施之根”，具體見圖2。

圖2 核心問題教學(xué)實施流程圖

（一）抓住數(shù)對的數(shù)學(xué)本質(zhì)，循序漸進

【教學(xué)片段一】核心概念動態(tài)呈現(xiàn)

1.談話引入

核心問題1：這里有一排小朋友，你能說出小軍的位置嗎？

核心問題2：如果人再多一些，單用一個數(shù)字還能表示出小軍的位置嗎？

小結(jié)：觀察角度不同，就有不同的表達方法。

2.聯(lián)系實際，自主探索

（1）統(tǒng)一確定位置的方法——認(rèn)識列、行，出示小軍的自我介紹（見圖3）。

圖3

核心問題3：小軍的自我介紹中，你讀懂了什么信息？

重點強調(diào)行、列的概念以及確定的規(guī)則。

（2）用數(shù)對確定位置。

①了解點子圖中確定小軍位置的方法（見圖4）。

圖4

②30秒快速寫位置引出數(shù)對（見圖5）。

圖5

詢問有沒有全部記下來的同學(xué)，把快速記錄方法進行投影，并比較。

③介紹數(shù)對的含義和讀寫法。

核心問題4：什么是數(shù)對？怎樣用數(shù)對表示出剩下的點？

④建立平面坐標(biāo)圖。

課件把點子圖變成方格圖（見圖6）。

圖6

核心問題5：方格圖跟剛才的點子圖比起來，你發(fā)現(xiàn)了什么？（見圖6）

相同點：列都是從左往右數(shù)，行都是從前往后數(shù)。

不同點：有了0。

在本課例1的教學(xué)中，筆者通過四個層次的設(shè)計，讓學(xué)生逐步感悟、掌握用數(shù)對表示位置的方法。第一層次，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生隨意表示位置方法，感受在二維空間上確定位置存在的必要性；第二層次，依托原型，明確列、行的含義，以及確定第幾列第幾行的一般規(guī)則；第三層次，逐步抽象，過渡到用數(shù)對的方法確定點子圖上交叉點的位置；第四層次，應(yīng)用方格圖，在形式不斷抽象、方法不斷簡化的過程中初步感受坐標(biāo)思想的本質(zhì)。

（二）關(guān)注思想的逐層滲透，層層深入

【教學(xué)片段二】借助“數(shù)形結(jié)合”，深化數(shù)對規(guī)律

核心問題6：方格里的這些數(shù)對又有些什么特點呢？（見圖7）

圖7

問題串：

（1）觀察數(shù)對（3,3），這兩個3表示的意義一樣嗎？

（2）觀察（1,5）和（5,1）這兩個數(shù)對，數(shù)對中都有1和5，為什么它們表示的位置卻不同？

（3）如果一個點的位置在（4,1）西邊，你覺得會在哪里？這些數(shù)對有什么特點？

可以用一個數(shù)對表示出這一行上的任意一點嗎？（x,1）

（4）如果F點的位置在（4,1）和（4,3）的中間，用數(shù)對怎么表示？觀察這3個位置，有什么特點？第4列上的任意一點該怎么表示？（4，y）

（5）能不能用一個數(shù)對表示出方格圖上任意一點？板書：（x,y）

用（x，y）表示任意一點，你覺得可以嗎？

（6）了解數(shù)對在生活中的應(yīng)用（見圖8）。

圖8

在例2的教學(xué)中，筆者通過四個層次予以不斷深化，滲透坐標(biāo)系中原點和方向的意識。第一層次，在教學(xué)中多處滲透先列后行的意識，如從左往右，從前往后出示箭頭，這其實就是指明了關(guān)鍵要素之一“方向”。第二層次，筆者明確地點出關(guān)鍵要素之二“原點”（0,0）的重要性，因為對于確定位置而言，原點即參照點恰恰是第一位的。第三層次，讓學(xué)生對同一張方格圖展開研究，利用寫出不同的數(shù)對進行比較、辨析，深度感知“任意兩個有序的數(shù)都可以表示平面上的任意一點”。第四層次，從用數(shù)對表示位置的方法回歸生活實際，了解一維的圍棋、二維的國際象棋以及三維的地球經(jīng)緯線。所以本節(jié)課教師對于模型思想的構(gòu)建絕不是固化的，而是一個具有生長性的生態(tài)過程。

（三）整合有效的教學(xué)資源，步步為營

【教學(xué)片段三】借助類比，遷移知識

師：隊列中有4個小朋友A（3,4）、B（5,4）、C（1,2）、D（6,2），如果把他們依次連接，請你在腦海里想象一下，會形成一個什么圖形？（見圖9）

圖9

核心問題7：請移動1個點，使它變成平行四邊形。

A怎么移？B為什么這么移？（利用平行四邊形對邊相等的特性）

核心問題8：一個點的移動，它的行、列產(chǎn)生了怎樣的變化？（行不變都是4，列發(fā)生了變化）

核心問題9：如果把這個梯形向上平移4格，不畫，你能說出數(shù)對嗎？有什么特點？（列數(shù)不變，行數(shù)加4）

小結(jié)：向右平移列變行不變，向上平移行變列不變。

這里的圖形變形練習(xí)部分，從梯形變形為平行四邊形，再到平移梯形，每層練習(xí)環(huán)環(huán)相扣，一脈相承，在逐步升級的練習(xí)過程中，學(xué)生通過想一想、數(shù)一數(shù)或者算一算的方法，找到了平移后頂點的位置，并準(zhǔn)確地用數(shù)對表示，學(xué)生的研究思維也在逐步升級，使得整個探究過程變成了學(xué)生主動建構(gòu)的快樂的學(xué)習(xí)過程。

關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，給學(xué)生一個有“根”的數(shù)學(xué)，以“核心問題”的方式讓數(shù)學(xué)思想、方法、精神根植于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使得學(xué)生有機會通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得新的數(shù)學(xué)知識、技能、方法及思想，從而發(fā)展成為一個“具有數(shù)學(xué)思想和精神”的人。