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        從曲邊梯形面積到曲邊梯形周長(zhǎng)

        2018-01-23 21:00:57李宇軒
        未來(lái)英才 2017年24期
        關(guān)鍵詞:定積分周長(zhǎng)

        李宇軒

        摘要:定積分常被用于求解曲邊梯形的面積,但是常與面積同時(shí)稱(chēng)道的周長(zhǎng)應(yīng)該如何求解呢?本文通過(guò)定積分求解面積中無(wú)限細(xì)分的思想,對(duì)周長(zhǎng)中的曲邊運(yùn)用同樣的思維方式,進(jìn)行無(wú)限細(xì)分,計(jì)算出每一小段的長(zhǎng)度,再對(duì)曲線長(zhǎng)度積分,從而得出曲邊梯形的周長(zhǎng)公式。

        關(guān)鍵詞:定積分;曲邊梯形;周長(zhǎng)

        一、前言

        定積分可以用來(lái)計(jì)算平面直角坐標(biāo)系Oxy中,由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值(一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值)。而對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的曲線來(lái)說(shuō),其圍成的曲邊梯形的周長(zhǎng)和面積都值得研究與思考。本文將研究利用定積分來(lái)求解曲邊梯形周長(zhǎng)的方法。

        二、定積分

        1、定積分的數(shù)學(xué)定義。如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)xi將區(qū)間[a,b]分為n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ζi(i=1,2,3,…,n),作和式f(ζi)+…+(ζn),當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),上述和式無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)A,這個(gè)常數(shù)叫做y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作

        其中,a與b叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式.

        2、定積分的幾何意義。在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積(一種確定的實(shí)數(shù)值)被稱(chēng)為定積分的幾何意義。

        三、定積分求曲邊梯形的周長(zhǎng)

        首先我們整理一下定積分求曲邊梯形面積的方法,然后通過(guò)相同的思路對(duì)曲邊梯形的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。

        1、定積分求曲邊梯形面積。

        如圖,我們需要計(jì)算的是曲邊梯形的面積S。

        (2)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈,[a,b]∈D,且f(x)在[a,b]上是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。

        四、結(jié)語(yǔ)

        通過(guò)定積分求解曲邊梯形面積無(wú)限細(xì)分的思想,我們同樣地可以去思考求解曲邊體型的周長(zhǎng),得知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及軸圍成的曲邊梯形的周長(zhǎng)為:

        參考文獻(xiàn)

        [1] 伍勝健.《數(shù)學(xué)分析》(第二冊(cè))[M].北京大學(xué)出版社,2010:1-9.

        [2] 袁長(zhǎng)江,王雯.“曲邊梯形的面積”的教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2008,(10):19-22.endprint

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