劉希 李玉英

摘要：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要特點(diǎn)，更是解決問(wèn)題時(shí)常用的方法。它包含“以形助教”、“以數(shù)解形”和“數(shù)形互譯”三個(gè)方面。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解決問(wèn)題；小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2018）28-0128-01

1.數(shù)形結(jié)合思想的概念

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。數(shù)形結(jié)合思想是一種可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化的常用的數(shù)學(xué)思想方法，具體地說(shuō)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.數(shù)形結(jié)合的三種應(yīng)用方式

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方式主要有三種類型：以數(shù)化形、以形變數(shù)和數(shù)形結(jié)合。

2.1 以數(shù)化形。由于“數(shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)的關(guān)系，“數(shù)”比較抽象，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多具體的思維。在低年級(jí)教學(xué)中，我們常常會(huì)把數(shù)的認(rèn)識(shí)與計(jì)算通過(guò)形（學(xué)具）的演示，讓學(xué)生初步建立起數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)數(shù)、學(xué)習(xí)數(shù)的加減乘除法；而高年級(jí)有些數(shù)量也較復(fù)雜，我們難以把握，于是就可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)——“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問(wèn)題。畫線段圖的方法是每一個(gè)數(shù)學(xué)老師都把它當(dāng)作學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本技能加以訓(xùn)練的，大家都知道，在教學(xué)應(yīng)用題時(shí)，?？梢越柚蜗蟮漠嬀€段圖的方法，將問(wèn)題迎刃而解。特別是行程問(wèn)題的應(yīng)用題，老師們總是不忘借助線段圖進(jìn)行講解。

2.2 以形變數(shù)。雖然形有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計(jì)算，特別是對(duì)于較復(fù)雜的“形”，不但要正確的把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算，最典型的就是二年級(jí)教材中的“點(diǎn)圖與數(shù)”，那正方形點(diǎn)圖所表示的就是每行與每列的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)都相同，寫成算式是兩個(gè)相同的因數(shù)，于是它們的乘積就是平方數(shù)；由此在高年級(jí)拓展三角形數(shù)時(shí)有這么個(gè)小故事：古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的點(diǎn)子或小石子，根據(jù)點(diǎn)子或小石子排列的形狀把整數(shù)進(jìn)行分類，如：1、3、6、10、……這些數(shù)叫做三角形數(shù)。

2.3 形數(shù)互變。形數(shù)互變是指在有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中不僅僅是簡(jiǎn)單的以數(shù)變形或以形變數(shù)，而是需要形數(shù)互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀。解決這類問(wèn)題往往需要從已知和結(jié)論同時(shí)出發(fā)，認(rèn)真分析找出內(nèi)在的形數(shù)互變。一般方法是看形思數(shù)、見(jiàn)數(shù)想形。實(shí)質(zhì)就是以數(shù)化形、以形變數(shù)的結(jié)合。例如，“近似數(shù)”一課中，讓學(xué)生掌握用“四舍五入法”求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。通常我們會(huì)直接告訴學(xué)生“四舍五入法”這一概念，然后通過(guò)大量的練習(xí)強(qiáng)化求近似數(shù)的方法。那么我們不妨反思：學(xué)生做對(duì)了是否表明學(xué)生已經(jīng)很好地理解了“四舍五入法”的含義呢？是否有部分學(xué)生的解題活動(dòng)完全建立在對(duì)概念的機(jī)械模仿上呢？事實(shí)上，這種機(jī)械模仿的情況是客觀存在的。如何幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解“四要舍、五要入”的意義呢？我們可以想到把直觀的數(shù)軸引進(jìn)這節(jié)課，在數(shù)軸上找最近的路，把四舍五入放到數(shù)軸上展開(kāi)學(xué)習(xí)，利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生建立一個(gè)形象的數(shù)學(xué)模型，從而加深了學(xué)生對(duì)“四舍五入法”的理解。又如在解決問(wèn)題過(guò)程中，經(jīng)常要用到“數(shù)”與“形”互譯的數(shù)形結(jié)合思想，即把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成圖形，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對(duì)圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步譯成算式，以達(dá)到問(wèn)題的解決。最常用的如“雞兔同籠”一課：雞兔同籠，有10個(gè)頭、28條腿，雞、兔各幾只？本課的解決問(wèn)題教學(xué)策略書上采用列表嘗試法。如果采用數(shù)形互譯的畫圖法解，二年級(jí)的學(xué)生都能解答，并且可以從畫圖法引出數(shù)量關(guān)系，列式解答。有幾個(gè)頭就畫幾個(gè)圓（表示動(dòng)物的頭），然后每個(gè)頭下加兩條腿（表示雞有兩條腿），剩余幾條腿就再添在小動(dòng)物身上，每個(gè)添2條（原來(lái)的雞就變成了兔）。這樣從圖上可知兔有4只，雞有6只。引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系：首先假設(shè)10只全是雞，每只雞身上長(zhǎng)2條腿，共10×2=20（條）腿，還剩余28-20=8（條）腿，雞身上再長(zhǎng)2條腿變成兔子，直到8條腿長(zhǎng)完為止。這樣就得到兔子有8÷（4-2）=4（只），雞有10-4=6（只）。而對(duì)高年級(jí)學(xué)生借助于畫示意圖來(lái)分析數(shù)量之間的關(guān)系，是我們經(jīng)常使用的辦法。由此不難看出：“數(shù)”“形”互譯的過(guò)程，既是問(wèn)題解決的過(guò)程，又是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同運(yùn)用、互相促進(jìn)、共同發(fā)展的過(guò)程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡(jiǎn)明扼要且巧妙。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無(wú)形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利的、高效的學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、知識(shí)應(yīng)用能力的增強(qiáng)，使教學(xué)收到事半功倍之效。

數(shù)形結(jié)合是小學(xué)階段的一個(gè)重要手段，而這一手段對(duì)學(xué)生們今后在初、高中的學(xué)習(xí)構(gòu)建空間思維起著關(guān)鍵作用。相信只要不斷激發(fā)學(xué)生的興趣，啟迪學(xué)生的動(dòng)機(jī)，就能夠有效地增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。巧妙地滲透、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，既能為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開(kāi)辟一片廣闊的天地，又能為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 夏志新.“數(shù)形結(jié)合”就是妙[J].新課程改革與實(shí)踐，2010.