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        蛋糕中的組合數(shù)

        2018-11-23 01:39:34胡博
        新高考·高二數(shù)學(xué) 2018年4期
        關(guān)鍵詞:線線條線交點

        胡博

        引言:把一個蛋糕切1刀最多切成2塊,切2刀最多4塊,那么切3刀呢?

        顯然,這是一條小學(xué)級別的、帶一點腦筋急轉(zhuǎn)彎色彩的數(shù)學(xué)題.但當年,小伙伴們的答案卻是6(如圖1);而我思索了一會,美滋滋地向老師報出自己的答案:7.(如圖2)

        可惜,這依舊是個錯誤答案.但是老師給出的“8”并不能讓我釋懷:誰家蛋糕會橫著切??!

        于是,我很自然地開始思考這樣的問題:如果只限豎著切,那么n刀最多能切成幾塊?小學(xué)的故事到此為止,下面開始用高中的知識來解決這個問題.

        以圖6為例,第4刀切過了圖5中的4塊區(qū)域,并且將每塊切成了新的兩小塊.仔細分析后不難得出,要使塊數(shù)最多,第n刀必須與之前的n-l刀相交,這樣便增加n-l+l=n塊蛋糕,

        可是,這不是數(shù)列問題嗎!說好的組合數(shù)呢!別急,看看上面的四張圖,線段與圓的交點分別是2,4,6,8……奇數(shù)去哪了?

        腦袋比較靈活的同學(xué)可能已經(jīng)反應(yīng)過來了:你這是切蛋糕?。榱吮WC塊數(shù)最多必須每刀都和圓有兩交點??!是的,所以我改了下題目:在圓周上的n個點兩兩連線,最多可以把圓分成幾份?

        這和剛才有什么區(qū)別呢?

        我來畫張圖(如圖7):

        咦?似乎規(guī)律很明顯呢! 1,2,4,8,16,這串數(shù)字再熟悉不過了.似乎這題已經(jīng)被解決了.

        直到我又加了一點:

        別數(shù)了,圖8中一共31塊(中間有一小塊).

        等一等!不應(yīng)該是32嗎?

        七個點時,共57塊,這下徹底和2沒關(guān)系了.

        仿照我們之前切蛋糕的過程,我們用圖9中的線段AB為例分析一下.這一條線與其他6條弦相交(不算首尾).使7個區(qū)域一分為二變成14個.但并不是每條線都是如此,圖中的AC就只切了4條線5塊區(qū)域.

        所以我將區(qū)域分成兩種,以AB為例,起點不算,與其他弦相交6次,每次使1塊區(qū)域分成2塊;除此之外,AB最后還和圓相交,同樣使區(qū)域+1.

        由于最開始(不畫線)時有圓本身,起始值就是1,

        那么,區(qū)域數(shù)就是:1+線線交點十線圓交點÷2.

        線線交點怎么求呢?這些點都是兩個線段在圓內(nèi)相交得到,我們可不可以求出線段數(shù)m,再算出交點數(shù)呢?

        為什么會行不通呢?我們可不可以找出行不通的原因,再反向補全我們的思維漏洞呢?

        如圖10,AB與CD、AD與BC的線段顯然沒有交點,為什么?因為這兩個線段在圓內(nèi)沒有交點.那么O點又是從哪來的呢?是AC與BD兩線的交點.

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