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        題根(計數(shù)原理)

        2018-11-23 01:39:34倪偉
        新高考·高二數(shù)學(xué) 2018年4期
        關(guān)鍵詞:題根同色異色

        倪偉

        題 (1)如圖1,將一個四棱錐P-ABCD的每個頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩端異色,若只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù).

        (2)甲、乙、丙3人互相傳1只籃球,開始球在甲手中,經(jīng)過5次傳球后,球還在甲手中,求不同的傳球方法總數(shù).

        一、尋根

        這兩道題目的共同點(diǎn)在于都是計數(shù)問題,計數(shù)問題最根本的解決方法是一一數(shù)之(枚舉法)和綜合利用計數(shù)原理(分類與分步計數(shù)原理).對于題(2),方法種數(shù)不多,可以使用枚舉法,但是為了更好地解決一類問題,我們常常需要建立一些數(shù)學(xué)模型.

        如若題(1)中去掉“四棱錐”的這一包裝,題即變?yōu)椋河?種顏色給P,A,B,C,D5個點(diǎn)染色,每個點(diǎn)染一種顏色,相鄰兩點(diǎn)不同色.五點(diǎn)中,除A與C、B與D不相鄰,其余都相鄰,求不同的染法種數(shù).在解決該問題時,我們可以聯(lián)想計數(shù)問題中的一道經(jīng)典染色問題(見題根).

        題(2)是一個傳球問題,和題(1)能否聯(lián)系起來呢?亦即是要找到題中的“點(diǎn)”和“顏色”,若我們將甲、乙、丙看作“點(diǎn)”,傳球方式看成在染色,發(fā)現(xiàn)難以轉(zhuǎn)化,因?yàn)闊o法理解相鄰異色.而本題中隱藏條件“自己不能傳給自己”疑似和“相鄰兩點(diǎn)不同色”相關(guān),因此我們可以試著將傳給誰看成染什么色,把5次傳球看作5個“點(diǎn)”,問題即轉(zhuǎn)化為:用紅、黃、藍(lán)三種顏色給P,A,B,C,D5個點(diǎn)染色,每個點(diǎn)染一種顏色,相鄰兩點(diǎn)不同色,其中點(diǎn)D只能染紅色,P,A,B,C,D圍成一圈,依次相鄰,如圖2所示,因此我們可以發(fā)現(xiàn)這兩道題都可以看成同一類問題——染色問題.

        二、題根

        題根:如圖3,用5種不同的顏色給圖中4個區(qū)域染色,每個區(qū)域染一種顏色,要使相鄰區(qū)域不同色,求不同的染色方法種數(shù).

        分析一:首先我們要搞清本題需要完成的一件事——將4塊區(qū)域染好顏色.

        這件事我們分四步完成:

        第一步:我們?nèi)?號區(qū)域,共有5種方法;

        第二步:染2號區(qū)域,只能從余下的顏色中選一種,共有4種方法;

        第三步:染3號區(qū)域,由于其和2號相鄰,因此也有4種方法;

        第四步:染4號區(qū)域,4號和1號與3號均相鄰,而3號與1號可能同色,也可能異色,因此我們需要重新對3號區(qū)域的染色分析.完成這件事我們將其分為兩類:第一類是當(dāng)3號與1號同色,則染3號區(qū)域只有1種方法,此時染4號區(qū)域,共有4種方法;第二類是當(dāng)3號與1號異色,則染3號有3種方法,此時染4號區(qū)域,共有3種方法.

        因此共計有5×4×(1×4+3×3)=260種方法.

        分析二:上述方法,是按區(qū)域進(jìn)行分步染色,我們也可以理解為這樣完成一件事——先選好顏色,再染色.通過觀察,1號區(qū)域和3號區(qū)域、2號區(qū)域和4號區(qū)域不相鄰,這兩組區(qū)域可以同色,也可以異色,因此4塊區(qū)域用到2、3或4種不同的顏色.

        完成這件事我們可以分三類:

        于是我們可以將該問題一般化:

        用m種不同的顏色給圖4中n個區(qū)域染色,每個區(qū)域染一種顏色,要使相鄰區(qū)域不同色,求不同的染色方法種數(shù).

        我們試著按區(qū)域進(jìn)行分步染色,1號區(qū)域有m種方法,2號區(qū)域有(m-1)種方法,3號區(qū)域有(m-1)種方法……(n-1)號區(qū)域有(m-1)種方法,最后染n號區(qū)域時,需要考慮1號和(n-1)號是否同色,而它們是否同色,還需思考1號和(n-2)號是否同色……如果直接去分類,就很困難了.但我們換個角度,暫不考慮n號區(qū)域受1號區(qū)域影響,直接染n號區(qū)域時,出現(xiàn)兩類:一類是1號區(qū)域和n號區(qū)域異色,這是我們需要的情況;另一類是1號區(qū)域和n號區(qū)域同色,這是我們不需要的,而這種情況中,我們將1號區(qū)域和n號區(qū)域看成整體,就相當(dāng)于用m種不同的顏色給(n-1)個區(qū)域染色,即用遞推關(guān)系去解決問題.

        通過將問題一般化,我們就得到了一個涂色問題的模型,亦即該類問題的“題根”.三、解答(1)第一步,先將P點(diǎn)染色,共有5種方法;第二步,再染其他4個點(diǎn),相當(dāng)于題根故本題共有5×84=420種方法.

        (2)方法一:枚舉法(畫出樹狀圖,如圖5所示).其右10種.

        計數(shù)問題中有很多經(jīng)典的模型,可以看作“題根”,在解決一些新的問題時,我們試著將問題轉(zhuǎn)化為與題根相關(guān)的問題,會達(dá)到事半功倍的效果.

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