江蘇海門市通源小學(xué) 曹曉丹/執(zhí)教

江蘇海門市能仁小學(xué) 楊慧娟/評析

【課前慎思】

圓對小學(xué)生來說是一次思維的飛躍，從學(xué)習(xí)一維的點、線到學(xué)習(xí)二維的面，一直接觸的都曲為直”仍是一個大挑戰(zhàn)，學(xué)生不知如何轉(zhuǎn)化成他們所熟悉的直線圖形成為本課的一大難點。

曾經(jīng)在課堂上，問題一提出是直線圖形。雖然在學(xué)習(xí)“圓的周長”時，對“化曲為直”的思想有所體會和運用，但對學(xué)生來說，用轉(zhuǎn)化的方法實現(xiàn)圓的“化就有學(xué)生立刻回答道：“平均分成16份，再拼成一個平行四邊形。”這種近似標(biāo)準(zhǔn)答案的回答，讓我非常驚嘆。課后調(diào)查得知，這部分學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)過書本，只是照搬方法而已。如果是這樣，那么課堂上熱鬧的動手操作，只是一群操作工的假探究。

如何讓思維真正發(fā)生？站在兒童的立場去思考，去感受他們的困難。面對學(xué)生們對于“轉(zhuǎn)化圓”的無從下手，我努力尋找與圓的面積貼近的生活原型。如果把從外太空拍攝到的地球照片上的邊線看作近似的圓，那么與之對應(yīng)的地球上拍攝到的地平線部分卻是直的，借助這樣一種曲直關(guān)系，在圓的面積轉(zhuǎn)化中，抽象的“化曲為直”就有了實物經(jīng)驗的支撐，學(xué)生的思維從眼見為實走向想象探秘。

在想象探秘的過程中，學(xué)生靜靜地想，慢慢地試，充分地交流合作，運用不同方法“無限分割”，或折或剪拼或拉伸，把圓“化曲為直，化整為零，積零為整，逐漸逼近精確值”，這種內(nèi)隱的思維在操作探索中得以生長。正所謂：腳不能到達的地方，眼睛可以到達，眼睛不能到達的地方，思想可以到達。

【教學(xué)過程及意圖】

一、估計與猜想

數(shù)學(xué)的世界充滿了神奇與美麗，今天我們來研究被譽為最美的幾何圖形——圓的面積。（板書課題：圓的面積）

學(xué)生觸摸圓的面積，思考圓的面積與什么有關(guān)？

生1：半徑（出示兩條半徑）。

生2：直徑。 生3：周長。

師：古人研究圓時得出的經(jīng)驗是“圓出于方”，出示正方形。這個大正方形的邊長是——？根據(jù)這一大一小正方形，你估計圓的面積大約是多少？（板書：r2的4倍，r3的3倍）

師：雖然看不出一個準(zhǔn)確的倍數(shù)關(guān)系，但根據(jù)研究圓周長的經(jīng)驗，大膽猜測圓的面積是半徑平方的多少倍？

周長是一維空間，與直徑成倍數(shù)關(guān)系，面積是二維空間，與半徑的平方成倍數(shù)關(guān)系，僅利用推導(dǎo)得出圓的面積計算公式，往往會忽視圓面積與半徑平方之間的這種關(guān)系。因此，從學(xué)生已有的經(jīng)驗“半徑?jīng)Q定圓的大小”出發(fā)，以一大一小兩個正方形面積為拐杖，幫助學(xué)生估計圓的面積大小與半徑平方的關(guān)系。雖然沒有精準(zhǔn)的答案，但這樣一個大概的范圍引領(lǐng)我們不斷逼近真相。

二、猜想與驗證

1.初次嘗試，感受困難

師：這個大膽的猜想是否正確呢？需要我們細(xì)心求證。在大腦中搜索一下，以前我們研究一個新圖形的面積時，用過什么好方法？

師：轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想。把未知圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形，平行四邊形、三角形和梯形都通過轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出面積計算公式，但是把圓轉(zhuǎn)化成什么？怎么轉(zhuǎn)化？值得我們思考，在小組里商量一下。

師：先說說做了哪些嘗試，遇到什么困難？

生1：我們組打算轉(zhuǎn)化成正方形（展示折好的圖形），但是折去的這部分還是不好計算。

生2：我們打算轉(zhuǎn)化成三角形（展示折好的扇形），但這個底是彎曲的。

師：以前，我們研究平行四邊形、三角形、梯形時都很輕松地轉(zhuǎn)化了，為什么圓那么困難呢？

生：因為圓的邊是曲的，不好變直。

2.借助原型，激活聯(lián)想

師：這是一個非常有價值的問題，怎樣由曲變直呢？（板書：曲→直）

來看一組照片，這是從外太空拍到的地球的照片，看它的邊是什么形狀？這是從地球上拍到的一段地平線，什么形狀？同樣是地球，為什么曲的變直了？

生：因為我們看到的這段地平線只是圓上的一小部分。

師：的確，圓上足夠小的一段是直的。再看咱們常吃的比薩，四份、八份，找到靈感了嗎？小組里再商量一下。

全班交流轉(zhuǎn)化方法。

生1：我們打算把圓折成很多份的小扇形，這個扇形會是近似的三角形。

生2：我們打算把圓平均分后拼成一個圖形。

3.再次嘗試，尋找聯(lián)系

師：有了想法，我們就來實踐。

小組探究要求

（1）小組議——把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的某種平面圖形。

（2）齊動手——選擇學(xué)具，動手操作。

（3）找聯(lián)系——轉(zhuǎn)化后的圖形與原來的圓有什么關(guān)系。

“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想在前面面積計算的研究過程中已經(jīng)多次體驗，通過回顧方法激活學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗。但僅僅激活還不夠，因為圓是一個曲線圖形，與以往研究的直線圖形有很大差別，這給學(xué)生的自主探究帶來了很大困惑。在困惑之處需要老師適時地點撥引導(dǎo)，通過兩張不同位置拍攝的地球照片比較，分比薩餅的經(jīng)驗，激活學(xué)生潛在的數(shù)學(xué)記憶，感悟到曲與直的關(guān)系。再借助小組合作，在交流中產(chǎn)生思維的火花，大膽嘗試逐步解決難題。

三、操作與推理

學(xué)生展示轉(zhuǎn)化的過程。

生1：我們組把圓平均分成8份，拼成了近似的平行四邊形，只是這個底邊還有點彎。又把圓平均分成16份，再拼，底邊比剛才直了一點。

追問：想要更直怎么辦？請電腦來幫忙分一分，展示平均分成32份、64份。

回頭看看拼的過程，分成8份時，底邊是怎樣的？（用手勢表示）分成16份時？分成32份時？閉上眼睛，想象分成64份、128份，分的份數(shù)越來越多，分成無限份，你腦中拼成新圖形的底邊是什么樣的？太神奇了，眼睛到達不了的地方，思想可以到達。借助想象，我們化曲為直，把圓轉(zhuǎn)化成長方形。

師：轉(zhuǎn)化后，形狀變了，什么沒變？（板書：長方形的面積=圓的面積）

轉(zhuǎn)化成的長方形和圓還有什么聯(lián)系？

生：長方形的長就是圓周長的一半，長方形的寬就是圓的半徑。

師：如果圓的半徑是r，這個長方形的長怎樣表示？寬呢？和同桌說說：根據(jù)長方形的面積計算方法怎樣計算圓的面積。（板書：S=πr2）

交流不一樣的轉(zhuǎn)化推導(dǎo)方法。

生：把圓紙片對折4次，得到很小的扇形，如果繼續(xù)對折，這段弧會越來越直，可以看成三角形。

師：用折的方法，把圓轉(zhuǎn)化成n個三角形。那這一個小三角形的面積怎么求呢？（板書：S=2πr÷n×r÷2×n）

總結(jié)：用折成三角形的方法也推導(dǎo)出S=πr2，真是條條大路通羅馬?；仡^再看看我們猜測圓的面積是半徑平方的π倍，正確嗎？修改為：圓的面積是半徑平方的π倍。

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識及其探索過程理性反思的結(jié)果，是數(shù)學(xué)活動中最為本質(zhì)的內(nèi)核，怎樣讓學(xué)生感受“分割無窮多份時底邊就直了”這樣的極限思想呢？為了讓底邊更直，學(xué)生想盡辦法折、剪、拼。在學(xué)生操作遇到困難，不能繼續(xù)折下去和拼下去的窘境中，進行分析推理和無限想象，這種內(nèi)隱的思維可以走得更遠(yuǎn)，再輔助以手勢，從無形到有形，讓學(xué)生用想象的翅膀觸摸極限思想的神奇。

四、實踐與應(yīng)用

讓我們走進生活來看看圓面積的應(yīng)用。

1.出示例9

指出：先算5的平方。為了計算方便，還可以這樣算，π不取近似值，直接用字母π參與運算。

2.出示圓形桌面

口答圓桌的面積，為了方便夾菜，在中間加了一個玻璃圓盤，這個圓盤的面積是多少？同樣是求圓的面積，解決問題時有什么不一樣的地方？

總結(jié)：求圓的面積一般要知道它的半徑。

3.變式練習(xí)

圖中正方形的面積為25cm2，圓的面積是多少平方厘米？

本片段分層練習(xí)，一是解決生活中圓的面積計算，感知圓的面積計算公式的價值，二是在變式練習(xí)中體會圓的面積與半徑平方的關(guān)系，打破一定得知道半徑才能求圓的面積的思維定式。

五、學(xué)習(xí)回顧

千金難買回頭看，回顧今天的學(xué)習(xí)，我們是怎樣得出圓的面積計算公式的？圓面積的研究過程與平行四邊形、三角形、梯形有什么相似的地方？又有什么不同的地方？關(guān)于圓面積的推導(dǎo)，看看其他同學(xué)還有什么奇思妙想，來看一段微視頻。（介紹沿半徑剪開，再拉直轉(zhuǎn)化成三角形的推導(dǎo)方法）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。在交流收獲的時候注重解決問題思想方法的回顧，讓學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)思想方法的價值，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

【評析】

“靜靜地想,慢慢地試”是曹曉丹老師《圓的面積》一課的設(shè)計理念，她是這么想的也是這么做的，是曹老師的課堂留給大家的真實感受，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂上的落地生根。在她的課堂上，我們看到的是直抵學(xué)生內(nèi)心的活動、思維，不急不躁、不慌不忙，無論是操作、思考還是表達，沒有趕場沒有表演，給足時間，真操作、真思考、真辨析，數(shù)學(xué)思維步步展開、數(shù)學(xué)素養(yǎng)漸漸形成、數(shù)學(xué)智慧悄悄生長。

一、經(jīng)歷探究過程，直抵思維內(nèi)核

課始，曹老師讓學(xué)生猜想“圓的面積會和什么有關(guān)”，當(dāng)學(xué)生漫無目的地瞎猜時，教師引入古語“圓出于方”，從而讓學(xué)生的思維之路慢慢調(diào)整到正確的方向上來，然后結(jié)合著大、小正方形進行估計，從而得出圓的面積，這時的估計已經(jīng)方向明確。接著，“圓的面積與半徑有什么關(guān)系”“怎樣把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形”“如何根據(jù)轉(zhuǎn)化后圖形與圓的關(guān)系，推導(dǎo)出圓的面積計算公式”三個緊密聯(lián)系又環(huán)環(huán)相扣的問題激發(fā)學(xué)生的探究熱情，思維在問題鏈中深入淺出。整個過程都是以學(xué)生為主體，教師在充分尊重學(xué)生思維發(fā)展的過程中，適時加以引導(dǎo)、點撥，使學(xué)生學(xué)習(xí)的方向始終清晰明確。課中能讓學(xué)生探的盡量讓學(xué)生去探，能讓學(xué)生說的盡量讓學(xué)生去說。在探究的過程中，學(xué)生思維活躍，爭相交流，不斷迸發(fā)出創(chuàng)新思維的火花，真正體會到了數(shù)學(xué)探究的魅力。

“化曲為直”、從有限進入無限等數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的重大轉(zhuǎn)折點,也是今天學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。數(shù)學(xué)思想隱藏在顯性知識的“背后”，學(xué)生需要通過教師的挖掘和親身體驗來感悟。對數(shù)學(xué)思想的感悟，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的“厚度”，是數(shù)學(xué)知識上升為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“最后一公里”。

二、開放交流空間，直面思維疑點

規(guī)律、公式性教學(xué)總經(jīng)歷這樣的過程：

具體問題具體素材初步的猜想可能的結(jié)論 檢驗與改進 改進了的猜想 證明 結(jié)論

其中“檢驗與改進”往往被簡單化，原因可能就是我們總是站在成人的角度觀察引導(dǎo)。在曹老師的課堂上我們欣喜地看到，她從兒童的視角出發(fā)，在動手操作之后并不急著交流展示個別學(xué)生的成功之作，而是關(guān)照更多學(xué)生在動手操作思考中的真實困惑?！跋日f說做了哪些嘗試？遇到什么困難？”果不其然，那些沒有能在第一次操作中如轉(zhuǎn)化平行四邊形、三角形般輕松轉(zhuǎn)化的學(xué)生，對于如何“化曲為直”有著深深的困惑。韓愈說：“師者，傳道授業(yè)解惑也?！边@個“惑”怎樣解呢？弗賴登塔爾說：“泄露一個可以由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的秘密，那是‘壞的’教學(xué)法，甚至是罪法?！笨磥碇苯痈嬷?，是下下策。曹老師出示了一組照片，一幅是從遙遠(yuǎn)的外太空拍到的地球全景照，另一幅是站在地球上拍到的地平線的一小段。無須多言，學(xué)生在觀察、思辨中感悟到了曲與直的內(nèi)在聯(lián)系。正是不急于求成的心態(tài)，從理解兒童、研究兒童出發(fā)，開放交流的空間讓學(xué)生可以暢所欲言，有機會真實地提出自己的困惑，發(fā)表各自的見解，為下面把圓“化整為零，積零為整”做好充分的思維上的準(zhǔn)備。

三、凸顯想象反思，直擊思維品質(zhì)

本課中，教者安排了小組探究，通過“小組議、齊動手、找聯(lián)系”等環(huán)節(jié)，激活學(xué)生的探究欲望，在交流中共享共進，正是動手之后的動腦，敞亮內(nèi)隱的認(rèn)識，明晰外顯的操作行為。隨后組織小組展示，選取不同種類的轉(zhuǎn)化方法，從“眼見”到“想象”，從無形到有形，極限思想從“實物—圖像—想象—比畫”的軌跡中愈發(fā)清爽和明亮。正如愛因斯坦所說：“你能不能觀察到眼前的現(xiàn)象，不僅僅取決于你的肉眼，還取決于你用什么樣的思維，思維決定你到底能觀察到什么?！?/p>

千金難買回頭看，一堂課下來，我們究竟學(xué)了什么？“我們是怎樣得出圓的面積計算公式的？圓面積的研究過程與平行四邊形、三角形、梯形有什么相似的地方？又有什么不同的地方？”三個問題幫助學(xué)生回顧的不僅是知識，還有方法、思想。重在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思，提高反思的意識和水平，形成長時間思考的習(xí)慣。因為數(shù)學(xué)不是單純的工具，而是關(guān)系到數(shù)學(xué)的文化價值，特別是人類理性精神的發(fā)展。

鄭毓信教授說：“通過數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會思維，即將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合起來。”“用思維方法的分析去帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)。”可見，思維是數(shù)學(xué)能力之 “核”，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)之魂。我們看到的是，曹老師的課堂上心里裝著學(xué)生，她正努力帶著學(xué)生“靜靜地想,慢慢地試”，讓學(xué)生的思維不斷地沉潛、沉潛、再沉潛。