杜玉平

(山西朔州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系,山西 朔州 036000)

高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)的極限是一個(gè)重要概念，很多高等數(shù)學(xué)中的其它概念都與之密切相關(guān)，比如多元函數(shù)連續(xù)、微分、積分等內(nèi)容[1]。因此，想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，掌握好多元函數(shù)的極限是十分重要的。而多元函數(shù)的極限的關(guān)鍵內(nèi)容就是其性質(zhì)和求法。在本文中，結(jié)合多元函數(shù)極限的一些性質(zhì)[2]，通過實(shí)例總結(jié)了幾種多元函數(shù)極限的計(jì)算方法。

多元函數(shù)極限的四則運(yùn)算性、無窮小量性、兩邊夾定理、羅比達(dá)法則以及連續(xù)性等都是計(jì)算函數(shù)極限的重要方法，所以要很好地掌握，并會(huì)靈活運(yùn)用他們。

1 利用函數(shù)的重要極限

2 利用性質(zhì)：無窮小量×有界變量=無窮小量

定理1 (無窮小量性)：無窮小量×有界變量=無窮小量

當(dāng)使用此性質(zhì)求極限時(shí)，我們必須首先分析函數(shù)是否是無窮小量和有界量的乘積，如果是才可用其計(jì)算，不能盲目使用。

3 利用兩邊夾定理

利用該性質(zhì)計(jì)算時(shí)，需要找到滿足所求極限函數(shù)f(x1,x2,…,xn)的不等式關(guān)系g(x1,x2,x3,…,xn)≤f(x1,x2,x3,…,xn)≤t(x1,x2,x3,…,xn)，有時(shí)候，我們需要把所求極限函數(shù)f(x1,x2,…,xn)給它放大或縮小，找到g(x1,x2,x3,…,xn)和t(x1,x2,x3,…,xn)，然后求出滿足兩邊夾定理的不等式關(guān)系，并用兩邊夾定理求解。

4 利用羅比達(dá)法則計(jì)算

=A(或∞)

=A(或∞)

解 由定理3得：

5 通過變量代換求極限

一元函數(shù)的極限求法有好多，利用等量代換可以把一些多元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，進(jìn)而可用一元函數(shù)的極限求法求。

解 由定理4得：

6 利用初等函數(shù)的連續(xù)性

【注】 由連續(xù)的定義可得該結(jié)論。通常，在定義域上，多元初等函數(shù)是連續(xù)的[5]。

我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中研究的大多數(shù)多變量函數(shù)都是初等函數(shù)，并且所有多元初等函數(shù)在它們定義域上都是連續(xù)的。所以有些多元函數(shù)的極限可直接利用多元函數(shù)連續(xù)定義計(jì)算，但計(jì)算前，一定要判斷函數(shù)在所求極限的點(diǎn)是否連續(xù)，連續(xù)才可用其計(jì)算。

例6

解 因?yàn)?/p>

在定義域連續(xù)，(0,0,1)在定義域內(nèi)，所以

=f(0,0,1)=sin1

7 利用轉(zhuǎn)化成指數(shù)的方法

要求的極限函數(shù)是冪指函數(shù)形式f(x1,x2,x3,…,xn)φ(x1,x2,x3,…,xn)，通常采用先把函數(shù)轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù)后再求極限，冪指函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)：

f(x1,x2,x3,…,xn)φ(x1,x2,x3,…,xn)

=eφ(x1,x2,…,xn)lnf(x1,x2,…,xn)。

解 令f(x,y,z)=(x2+y2+z2)x2y2z2=eln(x2+y2+z2)x2y2z2=ex2y2z2ln(x2+y2+z2)，而

x2y2z2ln(x2+y2+z2)

所以

=e0=1。

以上是我們結(jié)合多元函數(shù)極限的一些性質(zhì)總結(jié)了多元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)極限的幾種計(jì)算方法，并結(jié)合例題對(duì)一些性質(zhì)和解題方法進(jìn)行了演算和應(yīng)用。其實(shí)多元函數(shù)極限的性質(zhì)和極限計(jì)算方法遠(yuǎn)不止文中所提的這些，還有待我們不斷地去研究和完善。