張晴晴,王劍,劉瑞華

(中國(guó)民航大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院,天津300300)

0 引 言

大圓航線是指球面上兩點(diǎn)之間的最短航線,飛機(jī)在遠(yuǎn)距離飛行過程中按照大圓航線航行[1-2].目前,大地主題的解算主要有高斯平均引數(shù)公式、史賴伯公式、巴烏曼投影法、貝塞爾公式以及文森特(Vincenty)嵌入系數(shù)法等[3-4]. 其中,高斯平均引數(shù)公式和史賴伯公式通常用于短距離大地主題解算、巴烏曼投影法廣泛用于中距離大地主題解算、貝塞爾公式適用于中長(zhǎng)距離解算,1975年T.Vincenty以貝塞爾公式為基礎(chǔ),推導(dǎo)出嵌套系數(shù)公式也可用于中長(zhǎng)距離解算.

隨著全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)的發(fā)展,飛機(jī)在飛行過程中可以脫離地面導(dǎo)航臺(tái)的約束,實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到點(diǎn)的飛行[5]. 但飛機(jī)在飛行過程中可能會(huì)出現(xiàn)可見衛(wèi)星數(shù)少于5顆的情況,導(dǎo)致接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)(RAIM)空洞,對(duì)飛行安全造成威脅. 因此,需要對(duì)航路上的各時(shí)空點(diǎn)進(jìn)行RAIM預(yù)測(cè),而精確推算某一時(shí)刻的飛機(jī)位置是進(jìn)行RAIM預(yù)測(cè)的前提. 《使用全球定位系統(tǒng)(GPS)的機(jī)載輔助導(dǎo)航設(shè)備的最低運(yùn)行性能標(biāo)準(zhǔn)》(RTCA DO-208)建議了機(jī)載衛(wèi)星導(dǎo)航設(shè)備飛行性能的測(cè)試條件和測(cè)試方法. 在進(jìn)行飛行性能測(cè)試時(shí)需要進(jìn)行航道選擇、路徑計(jì)算等. 飛機(jī)飛行過程中大部分時(shí)間都處于巡航階段[6],因此本文采用RTCA DO-208推薦的Vincenty嵌入系數(shù)法計(jì)算巡航階段的航程和航向,然后依據(jù)航程和飛行速度推算過點(diǎn)時(shí)間,從而得到精確的四維航跡,為飛機(jī)進(jìn)行精準(zhǔn)的RAIM預(yù)測(cè)提供數(shù)據(jù)支持,進(jìn)而更好地保障飛機(jī)飛行安全.

1 大地主題正反算算法原理

1.1 大地主題反算

已知WGS-84橢球上兩個(gè)點(diǎn)的大地緯度和經(jīng)度,找到兩點(diǎn)之間最短路徑的距離和方位稱為大地主題反算.

WGS-84橢球航線的模型如圖1所示,起點(diǎn)經(jīng)緯度坐標(biāo)為P1(L1,B1),終點(diǎn)坐標(biāo)為P2(L2,B2).α1是起點(diǎn)經(jīng)線按順時(shí)針方向到大橢圓航線夾角,稱為起點(diǎn)方位角,α2是終點(diǎn)經(jīng)線按順時(shí)針方向到大橢圓航線夾角,稱為終點(diǎn)方位角.

由起點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2計(jì)算起點(diǎn)方位角α1(單位:(°))、終點(diǎn)方位角α2(單位:(°))、起點(diǎn)地到終點(diǎn)的距離s(單位:m)即為大地主題反算的內(nèi)容.

首先將起點(diǎn)和終點(diǎn)的緯度從度轉(zhuǎn)換成弧度記為φ1、φ2,然后計(jì)算經(jīng)度差:

ΔL=(π/180)(L2-L1).

(1)

接著對(duì)P1、P2點(diǎn)的緯度進(jìn)行歸化處理:

β1=arctan[(1-f)tanφ1].

(2)

β2=arctan[(1-f)tanφ2].

(3)

式中,f=1/298.257為WGS-84橢球的扁率.

設(shè)初始迭代條件λ0=ΔL,迭代公式為式(4),直到滿足條件|λk+1-λk|<ε時(shí)終止迭代,其中ε=10-12度[7].

λk+1= ΔL+(1-C)fsinα{σ+Csinσ×

[cos2σm+Ccosσ(-1+2cos22σm)],

(4)

sinσ= (cosβ2sinλk)2+(cosβ1sinβ2-

cosσ= sinβ1sinβ2+cosβ1cosβ2cosλk,

式中:α為大橢圓航線在赤道的方位角;σ為起點(diǎn)與終點(diǎn)間的球面角距;σm為大橢圓航線與赤道的交點(diǎn)到大橢圓航線中點(diǎn)的球面角距.

最后分別計(jì)算距離s、起點(diǎn)和終點(diǎn)各自的方位角α1、α2[7]:

s=bA(σ-Δσ),

(5)

-768+u2(320-175u2)},

4sin2σ)(-3-4cos22σm)cos2σm]}，

sinβ1cosβ2cosλk+1).

(6)

cosβ1sinβ2cosλk+1).

(7)

式中:a=6378137 m、b=6356752.3142 m分別為WGS-84橢球的長(zhǎng)半軸和短半軸.

1.2 大地主題正算

已知兩點(diǎn)之間的距離和方位以及起點(diǎn)經(jīng)緯度,計(jì)算終點(diǎn)經(jīng)緯度稱為大地主題正算.

設(shè)橢球上兩點(diǎn)之間的距離為s,起點(diǎn)坐標(biāo)為P1(L1,B1),起點(diǎn)到終點(diǎn)的方位為α1,計(jì)算終點(diǎn)經(jīng)緯度(L2,B2)的公式為[8]:

B2=arctan

180/π.

(8)

180/π.

(9)

迭代公式為

(10)

4sin2σ)(-3-4cos22σm)cos 2σm]}.

2σm=2σ1+σ

=2arctan(tan(β1)/cos(α1))+σ.

式中,參數(shù)β1、b、A、σm與大地主題反算算法中含義相同. 對(duì)式(10)進(jìn)行迭代計(jì)算,滿足|Δσ|<ε時(shí)停止計(jì)算,ε=10-12,初始迭代時(shí)σ=s/bA.

2 大橢圓航線計(jì)算及驗(yàn)證

大橢圓航線的驗(yàn)證分為正、反驗(yàn)證. DO-208中給出了7組典型位置點(diǎn),如表1所示,各位置點(diǎn)參考結(jié)果如表2所示[7].

表1 示例點(diǎn)經(jīng)緯度

表2 示例點(diǎn)參考結(jié)果

根據(jù)表1中7組位置點(diǎn)經(jīng)緯度,按照Vincenty大地主題反算,可計(jì)算大橢圓航線的距離和起點(diǎn)方位角以及終點(diǎn)方位角. 反算結(jié)果與表2中參考結(jié)果之差如圖2所示,可以看出:起點(diǎn)方位角和終點(diǎn)方位角在第4個(gè)示例點(diǎn)的誤差最大,分別為(-4.9784×10-5)°和(4.9744×10-5)°,其他示例點(diǎn)的誤差接近于0;各個(gè)測(cè)試點(diǎn)的距離誤差均在±5×10-3m的范圍內(nèi).

根據(jù)7個(gè)示例點(diǎn)起始經(jīng)緯度以及示例點(diǎn)間的距離和起點(diǎn)方位角,進(jìn)行正算驗(yàn)證,得到終點(diǎn)經(jīng)緯度如表3所示.

表3 大橢圓航線正算輸出示例比較

從正算結(jié)果看出:第3個(gè)測(cè)試點(diǎn)經(jīng)度差的絕對(duì)值較大,緯度差的絕對(duì)值只在第4個(gè)測(cè)試點(diǎn)偏大.總體而言,各計(jì)算結(jié)果誤差的絕對(duì)值接近于零,各測(cè)試點(diǎn)計(jì)算結(jié)果的誤差均在(±5.56×10-8)°的范圍內(nèi).

經(jīng)過上述驗(yàn)證,根據(jù)大橢圓航線反算得到的航線距離和航向以及根據(jù)大橢圓航線正算得到終點(diǎn)經(jīng)緯度與RTCA DO-208中給出的參考結(jié)果誤差極小,因此可以根據(jù)大橢圓航線正反算推算飛行過程中各航跡點(diǎn)的坐標(biāo).

3 航跡推算及驗(yàn)證

3.1 航跡推算

航跡推算主要包括航空器飛行軌跡推算和航空器過航路點(diǎn)時(shí)間推算[9-10]. 飛機(jī)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的飛行路徑并不是嚴(yán)格按大橢圓航線規(guī)劃,因?yàn)轱w機(jī)在一些地形復(fù)雜、氣象條件惡劣、空管限制的區(qū)域必須繞行,如高峰、雷雨云、禁飛區(qū)等. 在整個(gè)飛行過程還會(huì)途經(jīng)若干航路點(diǎn),所以飛行過程中采用分段大圓航線飛行.

本文采用在大橢圓航線上進(jìn)行內(nèi)插,這里的內(nèi)插指在兩個(gè)航路點(diǎn)之間按照指定的距離間隔取點(diǎn).長(zhǎng)距離靠近大圓航線縮短航程從而提高航行效率,然后在各內(nèi)插點(diǎn)之間按照恒向線航行,避免了大橢圓航線航向時(shí)刻變化的問題,方便導(dǎo)航.

根據(jù)起點(diǎn)、航路點(diǎn)以及終點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo),利用大地主題反算得到起始點(diǎn)到下一個(gè)航路點(diǎn)的距離和初始的起點(diǎn)方位. 然后通過設(shè)置飛行速度和時(shí)間間隔唯一確定飛行距離以及內(nèi)插點(diǎn)的個(gè)數(shù). 根據(jù)大地主題正算求得第一個(gè)內(nèi)插點(diǎn)的經(jīng)度和緯度,將該內(nèi)插點(diǎn)作為起點(diǎn),按照大地主題反算更新方位角,再通過大地主題正算得到下一內(nèi)插點(diǎn)的經(jīng)緯度,直至求出起點(diǎn)到下一個(gè)航路點(diǎn)間所有的內(nèi)插點(diǎn). 然后以此類推,得到起點(diǎn)到終點(diǎn)的所有內(nèi)插點(diǎn),各內(nèi)插點(diǎn)的坐標(biāo)即為所推算的航跡點(diǎn)的坐標(biāo). 另外,時(shí)間間隔和速度需根據(jù)不同的飛行階段設(shè)定. 具體算法流程如圖3所示.

3.2 仿真驗(yàn)證

以上海虹橋機(jī)場(chǎng)(ZSSS)到成都雙流國(guó)際機(jī)場(chǎng)(ZUUU)實(shí)際飛行過程為例,已知巡航階段途經(jīng)的六個(gè)航路點(diǎn)以及過點(diǎn)時(shí)間. 飛機(jī)巡航高度為9174 m,巡航速度為700 km/h,在各途經(jīng)航路點(diǎn)之間等時(shí)間間隔進(jìn)行內(nèi)插,推算航行過程中的航跡點(diǎn)坐標(biāo). 設(shè)時(shí)間間隔為5 min,推算出相鄰兩個(gè)途經(jīng)航路點(diǎn)之間的航空器位置,推算結(jié)果如圖4和圖5所示.

仿真得到經(jīng)過各途經(jīng)航路點(diǎn)的時(shí)間如表4所示.在巡航階段,飛機(jī)實(shí)際飛行速度并不是固定不變的,在仿真中使用的速度是整個(gè)巡航階段的平均速度,所以會(huì)導(dǎo)致過點(diǎn)時(shí)間有所不同. 雖然仿真得到的過點(diǎn)時(shí)間與實(shí)際過點(diǎn)時(shí)間有差異,但兩者時(shí)間相差最大為47 s,能夠較為精確地對(duì)飛行航跡進(jìn)行預(yù)測(cè).

表4 過點(diǎn)時(shí)間

4 結(jié)束語

本文通過對(duì)基于WGS-84橢球的航跡點(diǎn)坐標(biāo)推算算法的分析,以上海虹橋機(jī)場(chǎng)到成都雙流國(guó)際機(jī)場(chǎng)巡航階段實(shí)際飛行過程為例,仿真計(jì)算了飛機(jī)經(jīng)過各航路點(diǎn)的時(shí)間. 結(jié)果顯示:實(shí)際過點(diǎn)時(shí)間與不考慮實(shí)際飛行過程中風(fēng)速、流量管制以及偏航等因素影響的情況下得到的仿真過點(diǎn)時(shí)間相差均小于1 min,最小僅為9 s,最大為47 s,從而驗(yàn)證了該航跡推算算法的可靠性和可用性.