夏師　鄧娌莉

摘 要：文章根據(jù)物體影子變化的測量數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型求解當?shù)亟?jīng)緯度。根據(jù)太陽高度角、桿長，影長之間的關(guān)系，建立影子長度與經(jīng)緯度、時間等參數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。對此數(shù)學(xué)模型，文章給出了方程組求解和函數(shù)擬合求解兩種方法，具有一定參考價值。

關(guān)鍵詞：經(jīng)緯度；太陽高度角；數(shù)學(xué)模型；非線性擬合

隨著科技的飛速發(fā)展，利用智能手機通過衛(wèi)星定位系統(tǒng)來確定自己的位置，為大家所熟悉。但是，除了衛(wèi)星定位系統(tǒng)，我們還有什么方法能進行定位呢？其實在衛(wèi)星定位系統(tǒng)出現(xiàn)以前，航海的船員是用天文導(dǎo)航定位的。

說到天文，就不能不說到太陽了。很早以前，人們就利用太陽的影子來確定時間。那現(xiàn)在我們能不能用太陽的影子來定位呢？2015年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽就提出了這樣的問題，非常有意思，對大學(xué)生們也是一個不小的挑戰(zhàn)。

下面我們就利用太陽影子，建立影子長度變化的數(shù)學(xué)模型，求得當?shù)乜赡艿慕?jīng)緯度。

1 問題分析與模型建立

對于影子長度變化，我們根據(jù)太陽高度角、桿長，影長之間的關(guān)系可得影長函數(shù)關(guān)系為：l=h/tanH。其中太陽高度角H、桿長h，影長l。

而太陽高度角H是由太陽時角、赤緯角、時間來決定。太陽高度角[1]隨著地方時和太陽的赤緯的變化而變化。太陽赤緯角（與太陽直射點緯度相等）以B表示，觀測地地理緯度用w表示，當時的太陽時角以T表示，有太陽高度角的計算公式：

綜合以上公式，可得出影長變化的模型如下：

如果知道物體影長變化，求所在地的位置的數(shù)學(xué)問題，就是已知函數(shù)值反推函數(shù)中未知參數(shù)的問題。我們可以利用解方程組和函數(shù)擬合來求出未知參數(shù)。

2 模型求解

（一）方程組求解當?shù)亟?jīng)緯度

這里，我們用2015年全國數(shù)學(xué)建模競賽A題中附件1的數(shù)據(jù)來求解。把三個時間與影長的數(shù)據(jù)代入公式（1）中，得到如下方程組：

由于日期已知，可算出當天太陽赤緯角B。方程組中只有h、W、T1為未知參數(shù)。以上方程組是非線性方程組，并不好求解。為此，可利用matable軟件的fsolve命令求得：

（二）非線性擬合函數(shù)

3 結(jié)語

根據(jù)物體影子變化的測量數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型求解當?shù)亟?jīng)緯度，問題較為直觀，學(xué)生易于理解。問題的求解用到了空間幾何的建模能力和非線性問題求解，對學(xué)生綜合素質(zhì)的有較高要求。本文對此問題給出了數(shù)學(xué)模型，并給出了方程組求解和函數(shù)擬合求解兩種方法，具有一定參考價值。

但是對這個問題考慮到的影響因素較少，如太陽折射等沒有考慮。所以求解結(jié)果和實際地點可能有較大偏差。

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星.大學(xué)數(shù)學(xué)實驗[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2013.endprint