劉麗云

式子是數(shù)學(xué)題的靈魂，其種類也很多，如函數(shù)關(guān)系式、方程式、不等式等等.我們拿到一個(gè)題目有時(shí)會束手無策，最主要的原因是對題目中的式子不會處理.用什么工具、手段來處理這些式子，挖掘出這些式子的表象和潛在的特點(diǎn)以及已知與未知的聯(lián)系，是我們審題的重點(diǎn)，也是解決這道題的關(guān)鍵.

研究一個(gè)式子，尤其是陌生的、復(fù)雜的式子，我們通常的思維方式是從特殊到一般.可先取一些特殊值、特殊情況、特殊例子進(jìn)行研究，再推廣到一般.

一、特值工具，化一般為特殊

例1 若函數(shù)f（x）=k-2'/1+k2'是定義域上的奇函數(shù)，則k的取值范圍為

分析 本題中，f（x）是奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）對定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立，而f（-x）=-f（x）恒成立用一般式較復(fù)雜，并且本題是個(gè)填空題，求一個(gè)未知數(shù)k僅需一個(gè)方程，故可以取特殊值.而取的特殊值必須保證在定義域內(nèi)，我們可觀察到f（x）的定義域可能是R或者{x|x∈R且x≠0}，因此我們不能取特殊值f（0）=0，因?yàn)閤=O不一定在定義域內(nèi).可選其他特殊值，如取x=l得f（-1）=-f（l），得k=±1后再檢驗(yàn).

有些式子可直接用“特殊值法”這個(gè)工具來處理，有些雖然不能直接使用特殊值法，但也可先取一些特殊值認(rèn)識式子的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在關(guān)系，并可通過特值再類比到一般.

例2

若f（x）滿足f（x）+2f（-x）=3x，則f（x）=___.

分析 此題不能通過特殊值來直接求出f（x），但我們可以先思考如何求f（2）.令x=2可得f（2）+2f（-2） =6，這個(gè)式子中f（2）與f（- 2）均是未知的，即可看成兩個(gè)未知數(shù)，僅這一個(gè)方程無法解兩個(gè)未知數(shù)，必須再找一個(gè)關(guān)于f（2）與f（-2）的方程，故再令x=-2可得f（-2）+2f（2）=-6，就可求出f（2）.通過用特殊值法求、f（2）的過程可類比求f（x）.f（x）+2f（-x）=3x中有兩個(gè)未知數(shù)，用-x代式子中的x，可得f（-x）+ 2f（x）=-3x，解方程組即得f（x）.

二、圖形工具，化抽象為具體

對于一些式子我們無從下手，多數(shù)原因是式子對我們來說是陌生和抽象的.我們思維往往是直觀易理解而抽象難接受，因此處理一個(gè)抽象的式子時(shí)的第一反應(yīng)是將其直觀化，而直觀化最常用的T具是圖形.

先看個(gè)例子：

例3 已知方程√4x-x2-3=kx有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，

分析 仔細(xì)觀察方程，左邊是個(gè)無理式，右邊是最高為一次的式子，這兩個(gè)式子構(gòu)成的方程是無理方程，較為復(fù)雜.而復(fù)雜的原因是無理式和一次式混合在一起，因此要想解題簡單，必須將無理式和一次式分開，于是我們可以考慮將方程有解等價(jià)轉(zhuǎn)化

方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題是我們處理方程解的問題的常用手法，即用圖形這個(gè)工具來研究方程、不等式問題，而方程轉(zhuǎn)化成什么樣的函數(shù)，也是解決這類問題成敗和簡單與否的關(guān)鍵.說明圖形工具是處理式子時(shí)化抽象為直觀的常用方法，而具體轉(zhuǎn)化成什么函數(shù)則需要我們不斷地摸索和積累經(jīng)驗(yàn).

三、導(dǎo)數(shù)工具，化復(fù)雜為簡單

高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是抽象思維的學(xué)習(xí)，我們不可能將所有式子全部用特值工具和圖形工具來處理，也需要考慮抽象工具.而研究式子抽象的工具很多，如作差、作商、平方、取對數(shù)、換元等等，導(dǎo)數(shù)是其中最常用也是最有力的工具.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、圖象、切線等問題，因此導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)非常重要的工具.如：解不等式sin x> x.此題若用上面的特值和圖象這兩工具都較難說明，但我們可以將其變形成x- sinx<0，再利用函數(shù)f（x）=xsinx，的導(dǎo)數(shù)f'（x）=1-cosx≥0，判斷出f（x）是R上的增函數(shù)，結(jié)合、f（O） =O，得出x<0，非常簡單自然，利用導(dǎo)數(shù)工具可以非常高效地來研究函數(shù)式，代數(shù)式、不等式、方程式都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)式，選擇什么樣的函數(shù)式也至關(guān)重要.

我們研究式子的工具有很多，以上三種是最常用的工具，特值工具、圖形工具是將抽象式子特殊化和直觀化的工具，導(dǎo)數(shù)工具是處理較復(fù)雜式子的有力武器.選擇何種恰當(dāng)?shù)墓ぞ撸@需要我們對式子多分析思考、多總結(jié)歸納，并對這些研究式子的常用工具了如指掌，才能做到對解題游刃有余.