沈克純, 潘光, 姜軍, 黃橋高, 施瑤

潛航器是開發(fā)海洋資源與鞏固海防的重要裝備,耐壓殼體的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是潛航器設(shè)備正常工作和人員安全的重要保證,同時(shí)也是深海潛航器研發(fā)的關(guān)鍵技術(shù)之一[1-2]。隨著人類向深海探索步伐的加快,對(duì)潛航器的搭載能力有了更高要求,因此,潛航器應(yīng)具備較大的儲(chǔ)備浮力。纖維復(fù)合材料是一種新型的結(jié)構(gòu)耐壓材料,具有比強(qiáng)度大、比剛度高、可設(shè)計(jì)等特點(diǎn),能夠減輕結(jié)構(gòu)重量、提供正浮力、增加負(fù)載能力;耐腐蝕、吸波和無磁性等特點(diǎn)對(duì)潛航器的壽命周期和反偵察能力具有重要意義[3]。

已有學(xué)者對(duì)纖維纏繞圓柱殼體的耐壓穩(wěn)定性開展了研究。王珂晟[4]運(yùn)用混合遺傳算法求解屈曲特征方程,分析了纖維纏繞航天飛行器等殼體結(jié)構(gòu)在軸壓作用下穩(wěn)定性問題。李志敏[5]將殼體屈曲的邊界層理論推廣運(yùn)用到外壓作用下中等厚度各向異性圓柱殼穩(wěn)定性分析中,研究了鋪層方式對(duì)外壓屈曲臨界載荷的影響。Messarer等[6-7]通過數(shù)值模擬分析了鋪層順序?qū)Y(jié)構(gòu)臨界載荷的影響。Lopatin等[8-9]對(duì)外壓作用下兩端簡支、固支等邊界條件下特定鋪層方式的圓柱殼體的失穩(wěn)載荷進(jìn)行求解,并做了數(shù)值驗(yàn)證。

以上學(xué)者根據(jù)特定受力狀態(tài)、邊界條件對(duì)復(fù)合材料殼體穩(wěn)定性的進(jìn)行研究。隨著復(fù)合材料技術(shù)的發(fā)展,殼體多角度纖維纏繞成型技術(shù)已經(jīng)成熟,在水下耐壓殼體結(jié)構(gòu)上已有應(yīng)用,有必要提出一種適用于求解靜水壓力作用下纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性的解析方法。本文推導(dǎo)出纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性控制方程,采用Galerkin方法對(duì)特征方程進(jìn)行求解,推廣到正交纏繞、金屬-纖維纏繞復(fù)合結(jié)構(gòu)、斜交纏繞等殼體結(jié)構(gòu)臨界失穩(wěn)載荷的求解。通過建立遺傳算法與解析方案的數(shù)字接口,搭建了纖維纏繞圓柱殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性優(yōu)化平臺(tái),研究了纖維纏繞角度、設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)對(duì)臨界失穩(wěn)載荷的影響。

1 穩(wěn)定性控制方程的建立

受靜水壓力作用的圓柱殼體,當(dāng)壓力達(dá)到某臨界值,殼體由靜力平衡狀態(tài)變?yōu)榕R界失穩(wěn)狀態(tài),殼體在2種相鄰狀態(tài)之間的變化產(chǎn)生位移,位移引起附加載荷,在附加載荷的作用下,圓柱殼體處于臨界失穩(wěn)狀態(tài),若對(duì)此平衡狀態(tài)給予任一微小擾動(dòng),則殼體喪失穩(wěn)定性。

1.1 平衡方程

如圖1所示,長為L,厚為t,中面半徑為R的圓柱殼體,在靜水壓力p作用下,根據(jù)單元體的受力,其平衡方程為

圖1 復(fù)合材料圓柱殼體

式中,Nα,Nβ,Nαβ為圓柱殼體的薄膜內(nèi)力,Mα,Mβ,Mαβ為彎曲內(nèi)力矩。Fα,Fβ,Fn是附加載荷,可表示為

式中，P為圓柱殼體所受軸向力,T為徑向力。u,υ,ω是外載荷作用下圓柱殼體從初始?jí)嚎s狀態(tài)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)在α,β,n方向上的位移。

1.2 幾何變形關(guān)系

由曲面微分幾何關(guān)系可知,u,υ,ω等位移引起中面的伸長和剪切變形

式中，εα,εβ和εαβ是殼體中面應(yīng)變,kα,kβ,kαβ為中面曲率及扭率,Γε和Γk是位移u,υ,ω引起中面上應(yīng)變和扭率的系數(shù)。

1.3 本構(gòu)關(guān)系

由經(jīng)典層合理論的內(nèi)力-變形關(guān)系可得

(9)

Aij為面內(nèi)剛度,表示中面應(yīng)變與薄膜內(nèi)力的剛度關(guān)系,Bij耦合剛度,表示彎曲與拉伸的耦合關(guān)系,Dij彎曲剛度,表示彎曲內(nèi)力矩與曲率、扭率的剛度關(guān)系,其中i,j=1,2,6。各剛度的表達(dá)式為

(10)

(11)

式中,c=cosθ,s=sinθ,各模量分量可由材料的性能參數(shù)表示如下

(12)

式中,E11和E22分別表示纖維縱向彈性模量和橫向彈性模量;vLT和vTL分別表示橫向泊松比和縱向泊松比;G12表示面內(nèi)剪切彈性模量。

1.4 穩(wěn)定性控制方程的建立

將幾何變形關(guān)系式((7),(8)式)帶入本構(gòu)方程(9)得到薄膜內(nèi)力(Nα,Nβ,Nαβ)和彎曲內(nèi)力矩(Mα,Mβ,Mαβ)的表達(dá)式,然后將其與附加力表達(dá)(4)～(6)式帶入平衡方程(1)～(3)中,得到穩(wěn)定性控制方程

2 穩(wěn)定性方程求解

2.1 Galerkin方法

本文選用Galerkin方法求解臨界失穩(wěn)壓力,其基本思想如下:對(duì)于任一給定的微分方程L(u)=0,邊界條件為S(u)=0,若其解域?yàn)閁,假定存在一個(gè)滿足邊界條件的近似解域ua

(16)

式中，aj為待定系數(shù),φj為基底函數(shù)。將近似解域ua帶入微分方程L(u),則L(ua)與L(u)之間存在殘差Ra,殘差在解域U上加權(quán)后之和為0,又稱為正交化條件,即

(17)

方程(17)是與待定系數(shù)aj有關(guān)的齊次線性方程組,若使aj有非零解,令特征方程等于零,可求解微分方程L(u)=0中的其他未知量;若方程(17)中的唯一未知量為aj,求解即可得到微分方程L(u)=0的近似解ua。本文主要運(yùn)用Galerkin方法求解圓柱殼體的臨界失穩(wěn)壓力,即求解微分方程L(u)=0中的臨界失穩(wěn)壓力。

2.2 特征方程的建立及求解

首先選取的逼近函數(shù)須滿足邊界條件,復(fù)合材料圓柱殼體的兩端通過裙邊與金屬封頭連接,圓柱段的兩端簡化為簡支邊界,另外,殼體所處的應(yīng)力狀態(tài)由一個(gè)基本應(yīng)力狀態(tài)和一個(gè)邊界應(yīng)力狀態(tài)疊加而成,基本應(yīng)力狀態(tài)遍布于殼體全域,而邊界效應(yīng)主要存在于邊界附件的局部范圍內(nèi)。假設(shè)殼體長度L≥2R,使得在分析結(jié)構(gòu)屈曲時(shí)可以忽略彎曲邊界效應(yīng)的影響,因此,殼體所處的應(yīng)力狀態(tài)被認(rèn)為是薄膜狀態(tài),故約束如下

(18)

選取近似函數(shù)為

(19)

式中,λ=mπR/L,U,V和W是常數(shù),m和n是表征圓柱殼體失穩(wěn)時(shí)沿軸向、周向呈現(xiàn)半波數(shù),把近似函數(shù)帶入邊界約束(18)式中,得

(20)

纖維纏繞時(shí)相鄰2層纏繞角度呈正負(fù)交錯(cuò),當(dāng)ij=16,26時(shí),面內(nèi)剛度Aij、耦合剛度Bij及彎曲剛度Dij相比ij其他項(xiàng)是微小量,在分析殼體屈曲問題時(shí)可以簡化為零?？芍?Nα=Mα=0,故近似函數(shù)(19)滿足(18)式中的全部邊界條件。

將近似函數(shù)(19)帶入穩(wěn)定性控制方程(13)～(15)中,近似解產(chǎn)生殘差Rα,Rβ,Rn為

根據(jù)正交化條件,得到關(guān)于U,V,W的齊次線性方程組:

(24)

欲使U,V,W存在非零解,則特征方程為零,即

(25)

式中

圓柱殼體受均勻外壓p作用,有P=pR/2,T=2P。在給定圓柱殼體幾何參數(shù)及材料性能參數(shù)的情況下,僅有m,n是未知量,對(duì)特定m和n有對(duì)應(yīng)p存在,其中的最小值即為臨界失穩(wěn)載荷pcr。

3 驗(yàn)證與優(yōu)化

本節(jié)將通過算例,對(duì)方程(25)進(jìn)行求解,以驗(yàn)證本文解析解的有效性和正確性。所選算例有正交纏繞、金屬-纖維纏繞復(fù)合結(jié)構(gòu)、斜交纏繞等幾種形式。求解時(shí),單層厚度根據(jù)殼體實(shí)測(cè)厚度與纖維層數(shù)平均后得到,假設(shè)不存在材料缺陷和結(jié)構(gòu)幾何缺陷。

表1 USN125性能參數(shù)

3.1 正交纏繞殼體的失穩(wěn)驗(yàn)證

正交纏繞是指纖維層由0°層和90°層依次交錯(cuò)纏繞而成,正交纏繞圓柱殼體具有典型的正交異性,應(yīng)用廣泛,本文對(duì)文獻(xiàn)[10]中[0/90]12纏繞的圓柱殼體進(jìn)行計(jì)算,材料的力學(xué)性能參數(shù)如表1所示,表2給出結(jié)構(gòu)幾何尺寸、實(shí)驗(yàn)值及本文計(jì)算結(jié)果,由本文計(jì)算失穩(wěn)載荷與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果對(duì)比可知,平均誤差為5.90%,具有良好的精度。

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果[10]與本文解

3.2 金屬-纖維復(fù)合結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)驗(yàn)證

金屬-纖維復(fù)合結(jié)構(gòu)是指以薄壁金屬殼體作為內(nèi)襯,在薄壁金屬殼體的外表面纏繞復(fù)合材料纖維,該結(jié)構(gòu)能夠大幅提高壓力容器的承載能力,此種結(jié)構(gòu)形式常用于承內(nèi)壓容器的設(shè)計(jì)。隨著大深度潛航器的研發(fā),已有學(xué)者[11]將此種形式應(yīng)用于承受靜水壓力的殼體結(jié)構(gòu)上,在滿足強(qiáng)度要求下,該結(jié)構(gòu)形式具有很好的減重效果。文獻(xiàn)[11]在鋁合金薄壁的外表面纏繞碳纖維復(fù)合材料,并在靜水外壓作用下對(duì)其臨界失穩(wěn)載荷進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,材料為T700-12K復(fù)合材料(總厚3.1 mm),纏繞參數(shù)為[±65]5,金屬內(nèi)膽為2124 Al(壁厚0.75 mm),材料的性能參數(shù)如表3所示。

表3 T700-12K和2124 Al性能參數(shù)

復(fù)合結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)的計(jì)算如(26)式所示,特別指出,2種材料的剛度系數(shù)值以各自中面為坐標(biāo)參照計(jì)算得到。其中,下標(biāo)M表示鋁合金材料,C表示碳纖維材料。表4給出文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)值與本文解,誤差為8.37%。

(26)

表4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果[11]與本文解

3.3 斜交纏繞殼體的失穩(wěn)驗(yàn)證

斜交纏繞是指纖維纏繞方向與殼體軸向呈+θ或-θ°,相鄰2層的夾角為2θ。本文對(duì)文獻(xiàn)[12]中[(±30)10/904]、[(±45)10/904]及[(±60)10/904]等3組斜交纏繞圓柱殼體進(jìn)行計(jì)算,每組均為4個(gè)試件。復(fù)合材料牌號(hào)為TR50,性能參數(shù)如表5所示,表6給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文解,解析解和實(shí)驗(yàn)值相比,[(±30)10/904]方式纏繞的圓柱殼體,平均誤差為在10.11%;[(±45)10/904]和[(±60)10/904]方式纏繞的圓柱殼體,平均誤差為3.55%和5.67%,殼體失穩(wěn)半波數(shù)與實(shí)驗(yàn)記錄現(xiàn)象相同。

在不考慮材料缺陷和結(jié)構(gòu)幾何缺陷的情況下,本文的數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差基本在10%以內(nèi),在指導(dǎo)工程應(yīng)用有足夠的有效性和準(zhǔn)確性。從斜交纏繞殼體穩(wěn)定性分析可知,纖維纏繞策略不同時(shí)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性存在差異,對(duì)此。本文開展纖維纏繞策略對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響性分析,纖維纏繞策略包括纖維纏繞角度、纏繞層數(shù)及纏繞順序等變量。

表5 TR50性能參數(shù)

表6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果[12]與本文解

4 纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性優(yōu)化

為研究纖維纏繞角度、纏繞層數(shù)及纏繞順序?qū)εR界失穩(wěn)載荷的影響,按照表5的材料性能參數(shù)和表6中FWT601幾何尺寸,分別以[(±θ)12]、[(±θ1)x/(±θ2)12-x]及[(±θ1)4/(±θ2)4/(±θ3)4]纏繞方式為模型,對(duì)其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行優(yōu)化,設(shè)計(jì)變量為θ(0°≤θ≤90°,Δθ=5°)及x(1≤x≤11,Δx=1),目標(biāo)函數(shù)為臨界失穩(wěn)載荷pcr。如圖2所示,通過建立遺傳算法與Galerkin解析方案的數(shù)字接口,搭建了纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性優(yōu)化設(shè)計(jì)平臺(tái),優(yōu)化流程如下:①定義初始種群,通過遺傳算法生成纖維纏繞初始參數(shù);②建立遺傳算法與解析方案的數(shù)字接口,把初始種群參數(shù)傳遞給解析方案;③求解臨界失穩(wěn)壓力,通過Galerkin方法求解特征方程;④收斂判斷,并通過雜交變異生成新種群;⑤重復(fù)以上步驟,直至收斂。

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)平臺(tái)

表7 數(shù)值優(yōu)化結(jié)果

表7給出了3種纏繞形式的穩(wěn)定性優(yōu)化結(jié)果。結(jié)果表明,隨著設(shè)計(jì)變量的增多,殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性增強(qiáng),增幅越大,與初始值7.418 MPa(對(duì)應(yīng)FWT601臨界失穩(wěn)載荷)比較,[(±θ)12],[(±θ1)x/(±θ2)12-x]及[(±θ1)4/(±θ2)4/(±θ3)4]3種纏繞形式的殼體臨界失穩(wěn)載荷分別提高了31.31%,43.25%及57.17%。圖3給出[(±θ)12]纏繞形式殼體的臨界失穩(wěn)載荷曲線和失穩(wěn)半波數(shù),當(dāng)θ在[0,75]范圍內(nèi),臨界失穩(wěn)載荷逐漸增大,當(dāng)θ=75°時(shí),失穩(wěn)值達(dá)到最大為9.428 MPa,比初始值提高31.31%,此時(shí)的周向失穩(wěn)半波數(shù)n=3。

圖4和圖5分別給出x=2和x=3時(shí)[(±θ1)x/(±θ2)12-x]纏繞方式中角度對(duì)臨界失穩(wěn)載荷影響趨勢(shì),從圖中可以看出纖維纏繞角度對(duì)臨界失穩(wěn)載荷有較大影響。由圖4(x=2)可知,臨界失穩(wěn)載荷的梯度主要受θ2的變化,即隨著θ2的增大,臨界失穩(wěn)載荷呈增大趨勢(shì),最后稍有降低。而θ1主要影響梯度的疏密,當(dāng)θ1≤45°時(shí),梯度相對(duì)稀疏,當(dāng)θ1≥45°時(shí),梯度相對(duì)較密。由圖5(x=3)可知,臨界失穩(wěn)載荷的梯度主要受θ1的影響,即隨著θ1的增大,臨界失穩(wěn)載荷逐漸增大,但是,當(dāng)θ1≤45°且θ2≤45°時(shí),臨界失穩(wěn)載荷的梯度受θ2的影響,即隨著θ2的不同,臨界失穩(wěn)載荷發(fā)生變化。

綜合分析圖4和圖5可知,纖維纏繞角度及其對(duì)應(yīng)層數(shù)對(duì)殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性均有影響,當(dāng)層數(shù)x發(fā)生變化,引起臨界失穩(wěn)載荷梯度的影響因素發(fā)生變化;由1.3節(jié)中方程式(11)可知,當(dāng)纖維纏繞角度改變時(shí),偏軸剛度發(fā)生變化,進(jìn)而體現(xiàn)在方程式(10)中面內(nèi)剛度、耦合剛度和彎曲剛度的改變,最終表現(xiàn)在特征方程(25)中,在求解特征方程時(shí),m和n是待定系數(shù),分別表征殼體失穩(wěn)時(shí)的軸向半波數(shù)和圓周半波數(shù),不同的待定系數(shù)產(chǎn)生不同的解,其中最小解即為臨界失穩(wěn)載荷,此時(shí)對(duì)應(yīng)的m值和n值即為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的軸向半波數(shù)與圓周半波數(shù),這是Galerkin方法求解特征方程的基本思想。對(duì)比[(±θ)12]、[(±θ1)x/(±θ2)12-x]及[(±θ1)4/(±θ2)4/(±θ3)4]3種纏繞方式的優(yōu)化結(jié)果可知,隨著設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)的增加,優(yōu)化后殼體臨界失穩(wěn)載荷逐漸增大。

圖3 [(±θ)12]臨界失穩(wěn)載荷 圖4 [(±θ1)x/(±θ2)12-x]臨界失穩(wěn)載荷(x=2) 圖5 [(±θ1)x/(±θ2)12-x]臨界失穩(wěn)載荷(x=3)

5 結(jié) 論

本文以纖維纏繞圓柱殼體為對(duì)象,從彈性薄殼理論分析入手,推導(dǎo)出纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性控制方程,采用Galerkin方法得到特征方程,求解出臨界失穩(wěn)載荷。該解析方法適用于以任意形式纏繞的圓柱殼體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性求解,并能表征結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模態(tài),具有物理解釋明晰的優(yōu)點(diǎn)。搭建了纖維纏繞圓柱殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性優(yōu)化平臺(tái),對(duì)不同纏繞形式的殼體穩(wěn)定性進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化,分析纖維纏繞角度、對(duì)應(yīng)層數(shù)及設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響,結(jié)果表明,纖維纏繞角度對(duì)臨界失穩(wěn)載荷影響顯著,增加纖維纏繞角度變量,殼體結(jié)構(gòu)承載能力明顯增強(qiáng),與初始值相比,文中的優(yōu)化結(jié)果最大提高率達(dá)57.17%。