楊婷

【摘要】本文以一元微積分為載體，討論了微積分的概念教學(xué)方法，將微積分中的概念分為形式化與非形式化概念，并從語言學(xué)句子成分劃分的角度，給出了微積分的概念教學(xué)方法——28字訣，將語言學(xué)和數(shù)學(xué)相互交叉與滲透.

【關(guān)鍵詞】微積分；概念教學(xué)；句子成分劃分；形式化概念；非形式化概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的細(xì)胞，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中賴以思維的基礎(chǔ).然而微積分概念教學(xué)一直讓教師和學(xué)生感到頭疼，尤其是那些長達(dá)上百字的定義，給學(xué)生的印象是抽象的、散亂的、不可捉摸的.對于微積分概念的教與學(xué)，專家、學(xué)者們做出了很多探討和研究（文獻(xiàn)[1-3]），但這些文獻(xiàn)主要是從純數(shù)學(xué)的角度來闡述微積分概念的教學(xué)方法.李憲忠早于1994年在文獻(xiàn)[4]中提到了數(shù)學(xué)和語文橫向聯(lián)系是科學(xué)發(fā)展的必然；張奠宙在文獻(xiàn)[5]中指出“語文”和“數(shù)學(xué)”并不是也不應(yīng)該“老死不相往來”，因為語文是語言，數(shù)學(xué)也是一種語言，應(yīng)探討他們的共性與差異，并將其相互交叉與滲透.本文受文獻(xiàn)[4-5]的影響，以一元微積分為載體（以下內(nèi)容都以一元微積分進(jìn)行討論），將其概念進(jìn)行分類，從語言學(xué)句子成分劃分[6]的角度探討微積分概念教學(xué)方法.

一、從語言學(xué)中的句子成分劃分說起

句子成分劃分在語言學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，它能夠幫助學(xué)習(xí)者了解句子的構(gòu)成及其組織規(guī)律、內(nèi)在特征等.通過學(xué)習(xí)句子成分劃分，學(xué)習(xí)者能夠迅速“去枝留干”，深入、準(zhǔn)確地理解長句和難句，獲得句子所傳達(dá)出來的信息.在文獻(xiàn)[6]中已經(jīng)詳細(xì)介紹了與句子成分劃分有關(guān)的幾個知識性的問題，即主干成分——主語、謂語、賓語以及枝葉成分——定語、狀語、補(bǔ)語的定義及作用，且明確了句子成分劃分常用的符號：主語用表示，謂語用表示，賓語用表示，定語用（）表示，狀語用[]表示，補(bǔ)語用〈〉表示.

二、簡說微積分的形式化與非形式化概念

微積分研究的對象是函數(shù)，研究工具是極限，微積分的基本概念大致圍繞以上兩個概念展開，如初等函數(shù)、極限（數(shù)列極限、函數(shù)極限）、無窮小量、無窮大量、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分等等.然而這些概念有的主要用文字表達(dá)，有的為了揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)及規(guī)律性引入了符號.結(jié)合數(shù)學(xué)中的形式化和非形式化[7]，本文將微積分的基本概念分為形式化概念和非形式化概念（考慮到微積分學(xué)習(xí)中文理的區(qū)別，以及后期的研究結(jié)論適用于絕大多數(shù)大學(xué)生，本文中的相關(guān)微積分概念均來自參考文獻(xiàn)[8]）.

形式化概念是指用一套表意的符號體系，來表達(dá)數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，以揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律性.如極限的“ε-N，ε-δ”定義、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分等.非形式的數(shù)學(xué)概念是指用特殊的數(shù)學(xué)符號和擴(kuò)充的自然語言表達(dá)出來的，它是由名詞、動詞、形容詞等等構(gòu)成的，如極限的描述性定義、無窮小量、不定積分等.

形式化概念的優(yōu)點[8]主要體現(xiàn)在它可以使數(shù)學(xué)理論體系更加系統(tǒng)性、簡單性和嚴(yán)格性，還有助于同學(xué)們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題并創(chuàng)造數(shù)學(xué)理論，也有助于培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性.然而形式化概念缺點也是顯而易見的，它是抽象的、晦澀難懂的、枯燥乏味的，不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力.非形式化概念的優(yōu)點[8]主要是直觀、易于理解，還可以順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)識發(fā)展規(guī)律.它的缺點是不夠簡單、嚴(yán)謹(jǐn)和系統(tǒng)，不利于數(shù)學(xué)的證明和本質(zhì)規(guī)律的揭示，有礙學(xué)生的智力發(fā)展和能力提高.這就使得形式化概念和非形式化概念既是對立的，又是相輔相成的，它們都是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的組成部分.

三、將語言學(xué)的句子成分劃分引入微積分的概念教學(xué)

微積分中的形式化概念和非形式化概念既對立又相輔相成.非形式化概念大多由名詞、動詞、形容詞的描述性語言組成，它用語言學(xué)句子成分劃分去剖析是很自然的.為此，本文先探索非形式化概念的句子成分劃分方法，然后再研究語言學(xué)句子成分劃分在微積分形式化概念中的教學(xué)方法.

（一）細(xì)說“非形式化概念”的句子成分劃分

首先以“不定積分”為例.不定積分定義：f（x）在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f（x）在I上的不定積分，記作∫f（x）dx.我們將句子成分劃分引入該定義中，先找出句子的主干——主、謂、賓，“全體原函數(shù)稱為不定積分”，很容易了解到不定積分實際上是全體原函數(shù)；再看句子的枝葉——定、狀、補(bǔ)，“（f（x）在區(qū)間I上的）全體原函數(shù)稱為（f（x）在I上的）不定積分”，則進(jìn)一步使得學(xué)生明確f（x）在區(qū)間I上的不定積分就是f（x）在區(qū)間I上的全體原函數(shù)，不僅抓住了不定積分的概念，還清楚了原函數(shù)和不定積分的關(guān)系.

再以“無窮小量”為例.學(xué)生對于無窮小量定義進(jìn)行預(yù)習(xí)，有的認(rèn)為無窮小量就是一個很小的數(shù)；有的認(rèn)為無窮小量就是0；有的認(rèn)為任何函數(shù)都是無窮小量等等.這些理解都是片面的.如果學(xué)生對此定義進(jìn)行句子成分劃分的話，之前誤解必會解除.無窮小量定義：以零為極限的函數(shù)是無窮小量.首先找出句子的主干——主、謂、賓，“函數(shù)是無窮小量”，很明顯無窮小量是函數(shù)，不可能是一個很小的數(shù)，也不可能僅僅是0；然后找出句子的枝葉——定、狀、補(bǔ)，“（以零為極限的）函數(shù)是無窮小量”，可以看出不是什么函數(shù)都能成為無窮小量，而是只有以零為極限的函數(shù)才是無窮小量.

可見，非形式化概念用句子成分劃分法進(jìn)行剖析，有利于對概念的初步理解和把握，特別是對那些初學(xué)者和自學(xué)者會有較好的效果.

（二）詳說形式化概念的句子成分劃分

該類定義的特征是用符號表達(dá)出來的，不過依舊離不開文字的串聯(lián).

以“導(dǎo)數(shù)”為例.導(dǎo)數(shù)這個概念，學(xué)生在高中階段都有所接觸，但經(jīng)過簡單的調(diào)研，大部分同學(xué)認(rèn)為導(dǎo)數(shù)就是斜率，少部分同學(xué)認(rèn)為是求導(dǎo)及公式，還有部分認(rèn)為其是判斷增減性和求極值的工具.這些理解都沒有抓住導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，下面我們將句子成分劃分引進(jìn)“導(dǎo)數(shù)”.導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處由增量Δx（點x0+Δx仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時，相應(yīng)的函數(shù)有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果Δy與Δx之比ΔyΔx，當(dāng)Δx→0時的極限存在，則該比值的極限值稱為y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0），y′x=x0，dydxx=x0，即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx.該概念較長，我們首先應(yīng)找出概念所在句子“該比值的極限值稱為y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)”；其次找出它們的主干——主、謂、賓，“極限值稱為導(dǎo)數(shù)”，這樣學(xué)生即明確導(dǎo)數(shù)是一個極限值，而不僅僅是斜率等.此時教師因勢利導(dǎo)，“那么什么樣的極限值才能是導(dǎo)數(shù)，是誰的導(dǎo)數(shù)？”然后找出句子的枝葉——定、狀、補(bǔ)，“（該比值的）極限值稱為（y=f（x）在點x0的）導(dǎo)數(shù)”，于是更加明確是比值的極限值稱為y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)；最后從前文的句子中獲悉ΔyΔx的極限值（存在的話）為y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)，即增量比值的極限值是導(dǎo)數(shù).再結(jié)合斜率、瞬時速度等現(xiàn)實情境的講解，相信同學(xué)們會有一個更為明確的理解，更能把握導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)——“變化率”的思想.

從這幾個例子可以看出，形式化概念的句子成分劃分的思想不如非形式化概念容易把握，但是確實有利于對形式化概念的初步理解，尤其是那些較長的定義，能很快地把握概念所指.

四、總結(jié)句子成分劃分在微積分概念教學(xué)中的方法與效果

非形式化概念和形式化概念的教學(xué)在句子成分劃分的角度下略有不同.一般來說，非形式化概念較短，符號語言較少，基本可以按照語言學(xué)中句子成分劃分的角度直接進(jìn)行剖析，尋找“主、謂、賓”“定、狀、補(bǔ)”，進(jìn)而把握住概念的實質(zhì)；而形式化概念一般句子較長，符號較多，我們應(yīng)該先找到被剖析概念所在的句子，其次對該句進(jìn)行剖析（尋找“主、謂、賓”“定、狀、補(bǔ)”），然后再縱觀全局（即整個概念）進(jìn)一步剖析，最后結(jié)合前文或者現(xiàn)實情境引入，更加深刻地把握其本質(zhì).筆者現(xiàn)將句子成分劃分在微積分中概念教學(xué)的方法和效果給出：

第一，微積分概念教學(xué)的句子成分劃分口訣（簡稱“28字訣”）：定義概念視為賓，縱觀全局找主謂，定好主干找枝葉，數(shù)學(xué)概念現(xiàn)本質(zhì).

第二，微積分定義中句子成分劃分效果：（1）適合認(rèn)知，既會又懂.句子成分劃分在中學(xué)階段是語言學(xué)重點，大家對其較為熟悉，從心理認(rèn)知的角度來說是比較適合大學(xué)生的，對于非形式化概念，學(xué)生采用句子成分劃分方法容易理解和把握；對于形式化概念，學(xué)生能對該概念初步掌握，一旦結(jié)合課堂上的分析、講解，學(xué)生空洞、抽象之感就會揮之即去，長此以往，學(xué)生對此類定義的自學(xué)能力也會提高.（2）簡潔明了，準(zhǔn)確把握.找出句子的主干——主、謂、賓，能讓學(xué)生準(zhǔn)確把握此概念所處的范圍.如，極限為定積分.這就明確了定積分首先是極限.（3）概念多多，關(guān)系易顯.如不定積分和原函數(shù)的關(guān)系，如極限和導(dǎo)數(shù)、定積分的關(guān)系.（4）省時省力，教學(xué)輕松.如果教師對定義進(jìn)行句子成分劃分，進(jìn)行講授時就能節(jié)省不少時間，學(xué)生也能很好地把握.（5）結(jié)合語文，激發(fā)興趣.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引入句子成分劃分的方法，使得學(xué)生在定義分析過程中對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，對于較長、較復(fù)雜定義的自學(xué)時，不會感到厭煩.筆者曾對自己教過的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，學(xué)生都表示這種方法使其印象深刻.

總之，在微積分定義中使用句子成分劃分方法，對學(xué)生理解、掌握定義的本質(zhì)能夠起到很好的推動作用，是一種深受學(xué)生歡迎的、行之有效的方法.

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