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        空間解析幾何中向量數(shù)量積的引入與講解

        2018-11-07 11:46:08左占飛
        卷宗 2018年25期
        關(guān)鍵詞:解析幾何

        左占飛

        摘 要:眾所周知,空間解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的一門重要課程.傳統(tǒng)的教學(xué)方式主要以教師講授為主,學(xué)生通過適量的課后練習(xí)鞏固課堂學(xué)習(xí)的知識點(diǎn).但這種教學(xué)模式,學(xué)生缺少主動(dòng)的思考,課后的知識內(nèi)化也很難得到有效落實(shí),因而往往難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.本文針對這些問題,以向量數(shù)量積的引入和講解為例,讓學(xué)生在探究問題的過程中學(xué)習(xí)抽象概念,即通俗又實(shí)用,為解析幾何的教學(xué)改革提供一些參考方法.

        關(guān)鍵詞:解析幾何;數(shù)量積;概念引入

        1 前言

        空間解析幾何是是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一,是對中學(xué)平面解析幾何及立體幾何的進(jìn)一步擴(kuò)充和延伸,同時(shí),它也是學(xué)習(xí)高等幾何、微分幾何等其它幾何課程的基礎(chǔ). 如何讓學(xué)生盡快理解其相關(guān)的概念,并將其應(yīng)用到自己的后續(xù)課程中,是提高解析幾何教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要環(huán)節(jié).現(xiàn)階段普遍的教授方式是從抽象的概念出發(fā),推導(dǎo)出一些性質(zhì)再來講解概念在解題中的應(yīng)用。這樣的教學(xué)方式容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)知識時(shí)感到枯燥乏味,對所學(xué)概念的前因后果沒有一個(gè)整體的認(rèn)識,不知概念從何處來,也不知這些概念會應(yīng)用到那些實(shí)際問題中去,從而使學(xué)生喪失了探索知識的本領(lǐng),失去了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.本文通過空間解析幾何中向量數(shù)量積的引入,來探討如何將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化和實(shí)用化.

        2 向量數(shù)量積的引入與講解

        空間解析幾何教材數(shù)量積這一節(jié)內(nèi)容,首先介紹了數(shù)量積的概念,然后探討了一些與概念有關(guān)的性質(zhì)、定理及計(jì)算方法等理論知識,最后是數(shù)量積的一些數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)例.針對上述特點(diǎn),我們設(shè)計(jì)了一些與概念相關(guān)的一組問題,問題簡單但具有代表性,主要目的是幫助學(xué)生建立一個(gè)學(xué)習(xí)的階梯,由淺入深、循序漸進(jìn)地掌握數(shù)量積的知識細(xì)節(jié).

        2.1 向量數(shù)量積的定義和幾何意義

        對于數(shù)量積的定義和幾何意義,我們設(shè)計(jì)了下面的問題讓學(xué)生理解定義中的關(guān)鍵字詞,讓學(xué)生透過問題的表象抽象出概念的本質(zhì)。

        通過上面兩個(gè)問題的講解,讓學(xué)生自己觀察、分析、討論,抽象出不同學(xué)科問題之間的共有屬性,從而提煉出向量數(shù)量積概念的通用性,從而水到渠成的引入了下列數(shù)量積的定義.

        數(shù)量積的定義:

        這樣以問題為中心的教學(xué)法不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,而且鍛煉了學(xué)生自主探索知識的能力,因此有助于提升教學(xué)效果。

        2.2 向量數(shù)量積的計(jì)算與運(yùn)算律

        引入了向量數(shù)量積的定義以后,學(xué)生首先對數(shù)量積的來源有了一個(gè)初步的認(rèn)知,然后為了加深對概念的鞏固和理解,我們把定義再做進(jìn)一步的延伸,比如啟發(fā)學(xué)生觀察出數(shù)量積的定義與向量射影之間的關(guān)系, 為后面證明運(yùn)算律做準(zhǔn)備.

        然后進(jìn)一步通過定義, 推導(dǎo)出向量模和向量夾角的計(jì)算公式,便得到了幾何中最重要的兩個(gè)概念:距離和角度。

        在講解數(shù)量積的運(yùn)算律時(shí),如果直接用數(shù)量積概念來推導(dǎo)運(yùn)算律,學(xué)生在接受這些知識點(diǎn)時(shí),會缺少主動(dòng)的思考,被動(dòng)地接受老師講授的知識,學(xué)習(xí)效果往往不是很好。在處理這一部分內(nèi)容時(shí),我們可以將一些應(yīng)用的問題提前,比如可以讓學(xué)生先考慮下面的問題:

        問題3:平行四邊形的對角線平方和等于各邊的平方和推導(dǎo).

        學(xué)生在解答問題的過程中,發(fā)現(xiàn)要想解決這些實(shí)際問題,就必須要研究向量計(jì)算的運(yùn)算律,比如結(jié)合律、交換律、分配律,是否和數(shù)的運(yùn)算律一致?帶著這些問題展開研究,為學(xué)生指明研究的基本方向,讓學(xué)生帶著“問題”推導(dǎo)出數(shù)量積的運(yùn)算律,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。

        2.3 數(shù)量積的應(yīng)用

        教材在講解數(shù)量積的應(yīng)用時(shí),舉的例子基本全是在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,沒有數(shù)量積在生活實(shí)際中的應(yīng)用,這樣便給學(xué)生這樣一種錯(cuò)覺,數(shù)量積既然是這么重要的一個(gè)數(shù)學(xué)概念,卻沒有體現(xiàn)出在生產(chǎn)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用性。我們應(yīng)該在講解數(shù)量積應(yīng)用時(shí),加入聚光燈的效果計(jì)算問題: 由于向量的數(shù)量積與它們夾角的余弦成正比,因此可以根據(jù)數(shù)量積來判斷光照效果,因此數(shù)量積越大,說明夾角越小,則離光照的軸線越近,光照越強(qiáng)。由于數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算比較容易,所以上述方法在應(yīng)用時(shí)具有很強(qiáng)的操作性。而且通過計(jì)算數(shù)量積的符號,還可以來判斷計(jì)算機(jī)中的圖形方向,如兩向量數(shù)量積為正,則它們的方向朝向相近,如果數(shù)量積為負(fù),則方向朝向相反,而且此方法還可被用于動(dòng)畫渲染。通過將抽象的概念實(shí)用化,才能讓學(xué)生覺得數(shù)量積的概念不是無源之水,更不是無用武之地,這樣講解往往會收到更好的效果.

        3 結(jié)語

        本文以解析幾何中的數(shù)量積為例,闡述了通過以問題為中心,進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的過程.不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣,從而讓知識內(nèi)化在課堂中得以落實(shí), 這種教學(xué)方式在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

        參考文獻(xiàn)

        [1]呂林根, 許子道等編.解析幾何[M].北京: 高等教育出版社, 2005.

        [2]高德寶, 李春雷.《空間解析幾何》與空間思維能力的培養(yǎng)[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,(08) : 87-89.

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