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        基于極限思想對導(dǎo)數(shù)與定積分概念的認(rèn)識與思考

        2018-10-26 11:32:38張子悅
        科技資訊 2018年13期
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)

        張子悅

        摘 要:通過對高中數(shù)學(xué)所學(xué)導(dǎo)數(shù)和定積分的概念以及它們的實(shí)質(zhì)進(jìn)行對比分析,發(fā)現(xiàn)盡管兩者在定義上不同,但是本質(zhì)上兩者都是基于極限的思想,兩者都屬于極限問題。這一認(rèn)知不僅有助于理解和掌握導(dǎo)數(shù)及定積分的概念、清楚它們的幾何意義,還將有助于通過建立概念之間的聯(lián)系,深化對導(dǎo)數(shù)和定積分知識的理解,提高分析和解決相關(guān)導(dǎo)數(shù)和定積分問題的能力,最后給出了一個應(yīng)用極限解決定積分問題的算例。

        關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù) 定積分極限 幾何意義

        中圖分類號:G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1672-3791(2018)05(a)-0165-03

        微積分是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科[1],它的應(yīng)用涉及到多個方面,對數(shù)學(xué)、物理、工程和經(jīng)濟(jì)等多個領(lǐng)域起到了極大的促進(jìn)作用。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,首次接觸到了導(dǎo)數(shù)和定積分,它們是整個高中階段數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。通過對導(dǎo)數(shù)和定積分概念的學(xué)習(xí),發(fā)現(xiàn)它們之間不僅有區(qū)別還存在一定的聯(lián)系。下面將通過對兩個概念的對比分析,深入認(rèn)識它們本質(zhì)上的異同。

        1 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

        在微積分中,導(dǎo)數(shù)是其重要的概念之一[2],它可以用來解決許多領(lǐng)域的實(shí)際問題,如物理中的求解速度和加速度、數(shù)學(xué)中判定函數(shù)的單調(diào)性、幾何學(xué)中確定切點(diǎn)斜率等。

        通過(1)式可知,導(dǎo)數(shù)從實(shí)質(zhì)上來講就是當(dāng)Δx無限逼近0時,函數(shù)的變化量與相應(yīng)自變量變化量比值的極限。因此,如果這個極限存在了,那么導(dǎo)數(shù)也就意義或者說也就存在了,反之導(dǎo)數(shù)不存在[2],所以求導(dǎo)數(shù)追根究底就是求極限。

        如圖1所示,對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)從A點(diǎn)增加B點(diǎn)時,割線AB的斜率為:

        導(dǎo)數(shù)的幾何意義可描述:當(dāng)Δx無限逼近0時,B點(diǎn)逐漸逼近A點(diǎn),此時的極限值就是函數(shù)f(x)在A點(diǎn)的切

        線的斜率,也即函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是函數(shù)在x0處切線的斜率,此時,其中α是函數(shù)在A點(diǎn)切線的傾角。

        2 定積分的概念及幾何意義

        定積分不僅是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn),許多實(shí)際問題可以用定積分來解決,例如計(jì)算變力做功、功率、曲面的面積、路程以及不等式的證明等,另外,在經(jīng)濟(jì)學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域也常用定積分解決問題。

        如圖2所示,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上與直線x=a和x=b圍成的曲面為abcd,由于dc是曲線,所以直接計(jì)算其面積是比較困難的,為此將區(qū)間[a,b]劃分成n個小區(qū)間,設(shè)第i個區(qū)間的區(qū)間長度為?xi,則該區(qū)間的小曲面面積Sjhfe可近似用陰影部分所示的小矩形面積f(ξi)?xi代替,其中ξi是第i個區(qū)間[j,h]上的任意點(diǎn),顯然區(qū)間長度?xi越小,小矩形的面積越接近小曲面的面積,計(jì)算也就越精確。

        曲面abcd的面積等于n個小區(qū)間的曲面面積之和,如果區(qū)間長度劃分的足夠小,可以用n個小矩形面積疊加之和代替,所以若設(shè)λ為n小區(qū)間長度中的最大值即,則和式(2)的極限值就接近曲面abcd的面積,曲面abcd的面積可用這個極限值代替。

        綜上可知,定積分從本質(zhì)上講也就是當(dāng)λ無限逼近0時,和式(2)的極限,所以定積分問題實(shí)質(zhì)上也是極限問題。定積分所反映的幾何意義就是f(x)在區(qū)間[a,b]上與直線x=a和x=b構(gòu)成面積的代數(shù)和,它采用了將大化小、以簡代繁、無限逼近的方式來獲得了相關(guān)問題的解。

        3 應(yīng)用算例

        綜上,該算例就是在深入理解定積分屬于極限問題的基礎(chǔ)上,反復(fù)利用極限的運(yùn)算法則獲得了定積分的值。盡管這個例題比較簡單,但是它給出了一種解決定積分問題的思路,特別是對于一些比較復(fù)雜的定積分問題,可以轉(zhuǎn)化成極限問題,通過極限的相關(guān)運(yùn)算法則、定理等來獲得它們的解。

        4 結(jié)語

        根據(jù)前面對導(dǎo)數(shù)和定積分兩個概念的分析可以看出,盡管導(dǎo)數(shù)和定積分看起來是兩個不相關(guān)的數(shù)學(xué)概念,但是從極限思想的角度[4-6],兩者實(shí)質(zhì)上都屬于極限問題,從而兩者具有了相關(guān)性。了解了這一點(diǎn),不僅能夠更準(zhǔn)確的把握這兩個概念,還可以將極限的相關(guān)運(yùn)算法則應(yīng)用到解決導(dǎo)數(shù)或定積分問題中,從而提高了學(xué)生解決和分析導(dǎo)數(shù)或定積分等相關(guān)數(shù)學(xué)問題的能力。

        參考文獻(xiàn)

        [1] https://baike.so.com/doc/3201826-3374351.html.

        [2] https://baike.so.com/doc/5386034-5622483.html.

        [3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1990.

        [4] 張海燕.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于極限思想的教學(xué)及其感悟[J].教育現(xiàn)代化,2017(14):157-159.

        [5] 張海燕,趙翠萍,徐利艷,等.微積分[M].北京:清華大學(xué)出版社,2015.

        [6] 施紅英.對微積分“極限”思想方法教學(xué)的思考[J].甘肅廣播電視大學(xué)學(xué)報,2005(3):70-72.

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