張子悅

摘 要：通過對高中數學所學導數和定積分的概念以及它們的實質進行對比分析，發(fā)現盡管兩者在定義上不同，但是本質上兩者都是基于極限的思想，兩者都屬于極限問題。這一認知不僅有助于理解和掌握導數及定積分的概念、清楚它們的幾何意義，還將有助于通過建立概念之間的聯系，深化對導數和定積分知識的理解，提高分析和解決相關導數和定積分問題的能力，最后給出了一個應用極限解決定積分問題的算例。

關鍵詞：導數 定積分極限 幾何意義

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）05（a）-0165-03

微積分是數學的一個基礎學科[1]，它的應用涉及到多個方面，對數學、物理、工程和經濟等多個領域起到了極大的促進作用。在高中數學學習過程中，首次接觸到了導數和定積分，它們是整個高中階段數學課程的重點和難點之一。通過對導數和定積分概念的學習，發(fā)現它們之間不僅有區(qū)別還存在一定的聯系。下面將通過對兩個概念的對比分析，深入認識它們本質上的異同。

1 導數的概念及幾何意義

在微積分中，導數是其重要的概念之一[2]，它可以用來解決許多領域的實際問題，如物理中的求解速度和加速度、數學中判定函數的單調性、幾何學中確定切點斜率等。

通過（1）式可知，導數從實質上來講就是當Δx無限逼近0時，函數的變化量與相應自變量變化量比值的極限。因此，如果這個極限存在了，那么導數也就意義或者說也就存在了，反之導數不存在[2]，所以求導數追根究底就是求極限。

如圖1所示，對于函數y=f（x），當從A點增加B點時，割線AB的斜率為：

導數的幾何意義可描述：當Δx無限逼近0時，B點逐漸逼近A點，此時的極限值就是函數f（x）在A點的切

線的斜率，也即函數y=f（x）在x0處的導數實質上是函數在x0處切線的斜率，此時，其中α是函數在A點切線的傾角。

2 定積分的概念及幾何意義

定積分不僅是高中數學的重要知識點，許多實際問題可以用定積分來解決，例如計算變力做功、功率、曲面的面積、路程以及不等式的證明等，另外，在經濟學、天文學等領域也常用定積分解決問題。

如圖2所示，函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上與直線x=a和x=b圍成的曲面為abcd，由于dc是曲線，所以直接計算其面積是比較困難的，為此將區(qū)間[a，b]劃分成n個小區(qū)間，設第i個區(qū)間的區(qū)間長度為?xi，則該區(qū)間的小曲面面積Sjhfe可近似用陰影部分所示的小矩形面積f（ξi）?xi代替，其中ξi是第i個區(qū)間[j，h]上的任意點，顯然區(qū)間長度?xi越小，小矩形的面積越接近小曲面的面積，計算也就越精確。

曲面abcd的面積等于n個小區(qū)間的曲面面積之和，如果區(qū)間長度劃分的足夠小，可以用n個小矩形面積疊加之和代替，所以若設λ為n小區(qū)間長度中的最大值即，則和式（2）的極限值就接近曲面abcd的面積，曲面abcd的面積可用這個極限值代替。

綜上可知，定積分從本質上講也就是當λ無限逼近0時，和式（2）的極限，所以定積分問題實質上也是極限問題。定積分所反映的幾何意義就是f（x）在區(qū)間[a，b]上與直線x=a和x=b構成面積的代數和，它采用了將大化小、以簡代繁、無限逼近的方式來獲得了相關問題的解。

3 應用算例

綜上，該算例就是在深入理解定積分屬于極限問題的基礎上，反復利用極限的運算法則獲得了定積分的值。盡管這個例題比較簡單，但是它給出了一種解決定積分問題的思路，特別是對于一些比較復雜的定積分問題，可以轉化成極限問題，通過極限的相關運算法則、定理等來獲得它們的解。

4 結語

根據前面對導數和定積分兩個概念的分析可以看出，盡管導數和定積分看起來是兩個不相關的數學概念，但是從極限思想的角度[4-6]，兩者實質上都屬于極限問題，從而兩者具有了相關性。了解了這一點，不僅能夠更準確的把握這兩個概念，還可以將極限的相關運算法則應用到解決導數或定積分問題中，從而提高了學生解決和分析導數或定積分等相關數學問題的能力。

參考文獻

[1] https：//baike.so.com/doc/3201826-3374351.html.

[2] https：//baike.so.com/doc/5386034-5622483.html.

[3] 同濟大學數學教研室.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1990.

[4] 張海燕.高等數學教學中關于極限思想的教學及其感悟[J].教育現代化，2017（14）：157-159.

[5] 張海燕，趙翠萍，徐利艷，等.微積分[M].北京：清華大學出版社，2015.

[6] 施紅英.對微積分“極限”思想方法教學的思考[J].甘肅廣播電視大學學報，2005（3）：70-72.