唐若谷

摘 要：本文借助隨機(jī)行走模擬軟件Random Walker進(jìn)行高分子鏈柔順性的統(tǒng)計(jì)學(xué)研究，基于軟件運(yùn)動(dòng)所得數(shù)據(jù)重點(diǎn)研究了結(jié)構(gòu)單元數(shù)、運(yùn)動(dòng)次數(shù)、預(yù)設(shè)行走方式、外力對(duì)高分子鏈末端分布位置和均方根末端距的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，無(wú)外力干涉、無(wú)規(guī)隨機(jī)行走下的高分子鏈比較符合Flory提出的自由旋轉(zhuǎn)鏈模型；無(wú)外力干涉、自回避隨機(jī)行走下的高分子鏈比較符合受阻旋轉(zhuǎn)鏈模型；有外力干涉、時(shí)，高分子的構(gòu)象改變及柔順性的宏觀體現(xiàn)受外力影響較大。

關(guān)鍵詞：均方根末端距 運(yùn)動(dòng)趨向 自回避行走 鏈伸展

中圖分類號(hào)：O631.1+2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）05（b）-0207-08

Abstract： In this work， we used a random walking simulation software to perform statistical analysis of polymer chain flexibility， particularly focused on analyzing the effects of polymer structure units numbers， walking times， default walking methods and external force on root mean square end-to-end distances of polymer chains as well as the chain end locations. The results indicated that when with no external forces， polymer chain under random walking mode matches the free rotation chain model， while polymer chain under self-avoid walking mode matches the restricted rotation model； and when external force is applied， the flexibility of polymer chain is largely affected by external forces.

Key Words： Root mean square end-to-end distance； Walking tendency； Self-avoid walking； Chain extension

柔順性是指高分子鏈能夠改變其構(gòu)象的性質(zhì)，是高分子材料獨(dú)有的特性[1]。高分子材料具有大量重復(fù)的結(jié)構(gòu)單元、較長(zhǎng)的分子鏈以及大量可內(nèi)旋轉(zhuǎn)的σ單鍵，使得高分子鏈的宏觀構(gòu)象千變?nèi)f化；而在高分子材料實(shí)際生產(chǎn)制備過(guò)程中，由于外力干涉高分子鏈構(gòu)象變化更加復(fù)雜[2]。因此柔順性成為研究高分子結(jié)構(gòu)與性能以及制備工藝的重要指標(biāo)之一[3]。柔順性通常以均方末端距或均方根末端距來(lái)表征，由于高分子鏈的多尺度性，通常需要借助統(tǒng)計(jì)手段獲得，隨機(jī)行走模型就是廣為采用的一種。

隨機(jī)行走模型是一種數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型，它記錄的是具有任意尺度的物體（可視為理想高分子鏈）每一次行走的軌跡，且每一次行走的朝向都是隨機(jī)的[4]。對(duì)于高分子鏈而言，若不考慮分子鏈自身體積帶來(lái)的影響，高分子鏈的行走（運(yùn)動(dòng)）過(guò)程可以用隨機(jī)行走模型表征[5]。

本文使用隨機(jī)行走模擬軟件Random Walker模擬不同狀態(tài)下理想高分子鏈的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)運(yùn)行軟件獲得不同高分子鏈在不同條件下的均方根末端距以及高分子鏈末端位置分布，基于所得數(shù)據(jù)研究了影響高分子鏈柔順性的因素，并以此驗(yàn)證了Flory的高分子連接鏈理論和無(wú)規(guī)線團(tuán)模型。

1 實(shí)驗(yàn)部分

1.1 實(shí)驗(yàn)工具

這次研究使用工具為隨機(jī)行走模擬軟件Random Walker，該軟件基于Carmesin和Kremeer提出的四位置模型和鍵長(zhǎng)漲落算法而制作[6]，可模擬在二維直角坐標(biāo)系內(nèi)的不同長(zhǎng)度（寬度單位為1）的物體在不同狀態(tài)下的二維運(yùn)動(dòng)。軟件操作界面如圖1所示，輸入端可設(shè)置參數(shù)包括預(yù)設(shè)行走模式（無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)、自回避運(yùn)動(dòng)）、運(yùn)動(dòng)鏈的結(jié)構(gòu)單元數(shù)、運(yùn)動(dòng)次數(shù)、向X/Y軸正負(fù)方向的運(yùn)動(dòng)概率；輸出端包括每一次運(yùn)行獲得的平均相對(duì)終點(diǎn)位置和均方根末端距（單位為1）。

1.2 實(shí)驗(yàn)步驟

1.2.1 無(wú)外力作用、無(wú)規(guī)隨機(jī)行走模式

旨在模擬高分子鏈在無(wú)外力下的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。設(shè)定行走方式為random walk，設(shè)置四個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)概率均為0.25。固定運(yùn)動(dòng)次數(shù)為100不變，改變結(jié)構(gòu)單元數(shù)并以此為單一變量，運(yùn)行軟件記錄每一次的平均終點(diǎn)位置和均方根末端距。然后固定結(jié)構(gòu)單元數(shù)為100不變，改變運(yùn)動(dòng)次數(shù)并以此為單一變量，運(yùn)行軟件并記錄每一次的平均終點(diǎn)位置和均方根末端距。

1.2.2 無(wú)外力作用、自回避隨機(jī)行走模式

旨在模擬高分子鏈在無(wú)外力下的回避重復(fù)路徑運(yùn)動(dòng)。設(shè)定行走方式為self-avoiding walk，設(shè)置四個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)概率均為0.25?？刂平Y(jié)構(gòu)單元數(shù)或運(yùn)動(dòng)次數(shù)為單一變量（數(shù)值均設(shè)為100），運(yùn)行軟件并記錄每一次的平均終點(diǎn)位置和均方根末端距。

1.2.3 有外力作用行走模式

旨在模擬高分子鏈?zhǔn)芡饬Ω缮婧蟪攸c(diǎn)范圍、方向的運(yùn)動(dòng)，包括向兩個(gè)象限、一個(gè)象限、兩個(gè)方向（互相相反）和一個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)。由于本軟件沒(méi)有設(shè)置外力這一參數(shù)，故以改變某一方向運(yùn)動(dòng)概率的方式來(lái)模擬外力的施加。各方向運(yùn)動(dòng)概率預(yù)設(shè)完畢后，選擇行走方式為random walk或self-avoiding walk，控制結(jié)構(gòu)單元數(shù)或運(yùn)動(dòng)次數(shù)為單一變量（數(shù)值均設(shè)為100），運(yùn)行軟件并記錄每一次的平均終點(diǎn)位置和均方根末端距。

2 結(jié)果與討論

2.1 無(wú)外作用，無(wú)規(guī)隨機(jī)行走模式

在無(wú)外力且忽略結(jié)構(gòu)單元相互作用時(shí)，高分子鏈將進(jìn)行無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)分子鏈的運(yùn)動(dòng)方向完全隨機(jī)，分子鏈每“行走”完一步后，下一步向任何一個(gè)方向前進(jìn)的概率都是相等的，無(wú)明確規(guī)律可循，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后分子鏈所停留的地方可以是任意[7]。由圖2、圖3可得，對(duì)同一種高分子鏈（結(jié)構(gòu)單元數(shù)相同）而言，若設(shè)定運(yùn)動(dòng)次數(shù)不變，則運(yùn)動(dòng)結(jié)束后分子鏈的末端隨機(jī)分布在四個(gè)象限和坐標(biāo)軸上，無(wú)明顯分布趨向。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)次數(shù)不變而改變高分子鏈的結(jié)構(gòu)單元數(shù)時(shí)，增加結(jié)構(gòu)單元數(shù)會(huì)使分子鏈在運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)遠(yuǎn)離原點(diǎn)（如圖2所示），分子鏈的均方根末端距也隨結(jié)構(gòu)單元數(shù)增多而增大（圖4所示）。這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)單元數(shù)增大使分子鏈變長(zhǎng)，故經(jīng)過(guò)無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)后高分子鏈末端將停留在離始端較遠(yuǎn)的位置。若對(duì)結(jié)構(gòu)單元數(shù)取平方根并與均方根末端距作關(guān)系圖，可發(fā)現(xiàn)兩者呈線性關(guān)系（如圖5所示）且斜率為1.0189，即（r為均方根末端距，n為結(jié)構(gòu)單元數(shù)）。

根據(jù)Flory提出并被廣泛采用的自由連接鏈理論和無(wú)擾線團(tuán)模型[3]，理想狀態(tài)下的高分子鏈由一系列結(jié)構(gòu)單元自由連接而成，宏觀上呈無(wú)規(guī)線團(tuán)狀。自由連接鏈的均方末端距只與分子鏈的鍵數(shù)和鍵長(zhǎng)有關(guān)，即，l為結(jié)構(gòu)單元長(zhǎng)度，對(duì)等式兩邊取平方根后得，若結(jié)構(gòu)單元長(zhǎng)度為1，則作圖后應(yīng)得一條斜率為1的直線，而基于Random Walker運(yùn)行結(jié)果所作的直線的斜率為1.0189，說(shuō)明此時(shí)的高分子鏈并不符合自由連接鏈的設(shè)定。作者認(rèn)為，造成偏差的原因是即使此時(shí)外部條件完全理想且高分子鏈自身體積忽略不計(jì)，高分子鏈上的結(jié)構(gòu)單元并不能實(shí)現(xiàn)完全自由連接。若考慮自由旋轉(zhuǎn)鏈模型（結(jié)構(gòu)單元中的化學(xué)鍵只能在一定范圍旋轉(zhuǎn)），則有：

（θ為每個(gè)單鍵鍵角的補(bǔ)角），等式兩邊取平方根后得，

對(duì)高分子鏈而言θ通常約為70°，因此大于1，恰好與Random Walker運(yùn)行結(jié)果吻合，說(shuō)明無(wú)外作用下、無(wú)規(guī)隨機(jī)行走的高分子鏈一定程度上符合自由旋轉(zhuǎn)鏈模型。

當(dāng)結(jié)構(gòu)單元數(shù)不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)次數(shù)對(duì)高分子鏈的尺寸和位置分布影響不大（見(jiàn)圖6），當(dāng)運(yùn)動(dòng)次數(shù)較大（超過(guò)100）時(shí)，高分子鏈均方根末端距有所下降且兩端位置相對(duì)更接近，其原因是自由連接鏈高分子鏈為柔性鏈，在無(wú)擾狀態(tài)下，多次運(yùn)動(dòng)使分子鏈更傾向于蜷曲而非伸展。

2.2 無(wú)外力作用，自回避隨機(jī)行走模式

與無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)不同，當(dāng)物體處在自回避行走狀態(tài)時(shí)，雖然運(yùn)動(dòng)方向也無(wú)明確規(guī)律，但它的每一步運(yùn)動(dòng)必須回避已經(jīng)經(jīng)過(guò)的位置[8，9]。Random Walker運(yùn)行結(jié)果表明，當(dāng)高分子處在自回避運(yùn)動(dòng)模式時(shí)，分子鏈相比較無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)下而言呈現(xiàn)出伸展、擴(kuò)張的態(tài)勢(shì)：對(duì)比圖7、圖8和圖2、圖3，在結(jié)構(gòu)單元數(shù)、運(yùn)動(dòng)次數(shù)相同的前提下，自回避運(yùn)動(dòng)下高分子鏈的末端距離起始端的相對(duì)位置明顯拉遠(yuǎn)；且當(dāng)其它條件相同時(shí)，自回避運(yùn)動(dòng)下高分子鏈的均方根末端距更大（見(jiàn)圖9、圖10）。這是因?yàn)榇藭r(shí)高分子鏈?zhǔn)苓\(yùn)動(dòng)位置和路線不得重復(fù)的限制，每“行走”完一步就被迫尋找新的運(yùn)動(dòng)路徑，當(dāng)蜷縮狀態(tài)下的可行路線都被“行走”完后，分子鏈被被迫（相對(duì)地）伸展去遠(yuǎn)處尋找新的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而造成高分子鏈相對(duì)伸展[9]。

與無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的結(jié)果相似，結(jié)構(gòu)單元數(shù)的增加可使高分子鏈均方根末端距增大，且增加幅度相對(duì)更高，因?yàn)榉肿渔溩冮L(zhǎng)后更需更多從未被“路過(guò)”的空間，因此分子鏈向外伸展程度更大，使均方根末端距進(jìn)一步增大。同樣對(duì)結(jié)構(gòu)單元數(shù)取平方根并與均方根末端距作圖（圖10），不難發(fā)現(xiàn)均方根末端距對(duì)結(jié)構(gòu)單元數(shù)平方根已不符合一次方關(guān)系，表明此時(shí)的高分子鏈已不滿足自由連接鏈或自由旋轉(zhuǎn)鏈的設(shè)定。作者認(rèn)為，當(dāng)運(yùn)動(dòng)中的高分子鏈不能重復(fù)相同的軌跡時(shí)，它可能更符合受阻旋轉(zhuǎn)鏈的特點(diǎn)：此時(shí)，高分子鏈的運(yùn)動(dòng)還受到結(jié)構(gòu)單元之間相互作用的限制，相鄰的結(jié)構(gòu)單元間的體積互斥作用不能被忽略，因此高分子鏈在運(yùn)動(dòng)時(shí)在一定程度會(huì)遠(yuǎn)離相鄰單元所占據(jù)、經(jīng)過(guò)的地方[10、11]。對(duì)受阻旋轉(zhuǎn)鏈而言，其均方末端距計(jì)算公式為

（Φ為內(nèi)旋轉(zhuǎn)角），對(duì)等式兩邊取平方根得，

對(duì)大部分而言，高分子鏈的鍵角為固定常數(shù)，但內(nèi)旋角與結(jié)構(gòu)單元數(shù)有關(guān)，因此r與偏離一次方關(guān)系。此外，通常情況下大于1，因此受阻旋轉(zhuǎn)鏈的均方根末

端距要大于自由旋轉(zhuǎn)鏈的均方根末端距。本實(shí)驗(yàn)中通過(guò)Random Walker軟件得出的數(shù)據(jù)與該結(jié)論恰好吻合，說(shuō)明無(wú)外力作用下、自回避隨機(jī)行走的高分子鏈一定程度上更符合受阻旋轉(zhuǎn)鏈模型。

運(yùn)動(dòng)次數(shù)的增加同樣縮短了均方根末端距（圖11），且下降幅度比無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)下更高。

2.3 受外力運(yùn)動(dòng)

當(dāng)存在外力時(shí)，高分子鏈的運(yùn)動(dòng)受外力影響，分子鏈向各方向的運(yùn)動(dòng)概率不再相等，每一次行走的選擇傾向也不再隨機(jī)，對(duì)此用Random Walker模擬了四種運(yùn)動(dòng)情況：

2.3.1 向兩個(gè)象限運(yùn)動(dòng)

當(dāng)設(shè)定高分子鏈向X負(fù)方向運(yùn)動(dòng)概率為0，其余三個(gè)方向概率為0.3333時(shí)，高分子鏈的自由運(yùn)動(dòng)空間被限制在坐標(biāo)系內(nèi)的第一或第四象限中。軟件運(yùn)行結(jié)果表明，高分子鏈末端隨機(jī)分布在這兩個(gè)象限內(nèi)，結(jié)構(gòu)單元數(shù)越多，距離原點(diǎn)位置越遠(yuǎn)（圖4（a））；均方根末端距與結(jié)構(gòu)單元數(shù)呈線性正比（圖12），說(shuō)明此時(shí)高分子鏈已處于部分伸展?fàn)顟B(tài)。結(jié)果還表明，運(yùn)動(dòng)次數(shù)對(duì)高分子鏈末端位置分布和均方根末端距影響不大（圖13、圖15）。

與無(wú)外力運(yùn)動(dòng)下的結(jié)果不同，在此條件下兩種預(yù)設(shè)行走方式對(duì)末端距的影響較小，原因是當(dāng)高分子鏈的運(yùn)動(dòng)范圍被限定后，留給分子鏈伸縮和行走的空間被大量壓縮，因此不論它采取何種行走方式，每行走一步后的選擇都變少，因此由兩種行走方式帶來(lái)的均方根末端距差值也隨著下降。

2.3.2 向一個(gè)象限運(yùn)動(dòng)

當(dāng)設(shè)定高分子鏈向X軸負(fù)方向、Y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)概率為0，向X軸正方向、Y軸正方向概率為0.5時(shí)，高分子鏈的運(yùn)動(dòng)空間被限定在第一象限內(nèi)。結(jié)果顯示，此條件下高分子鏈末端均分布在第一象限內(nèi)（圖16），結(jié)構(gòu)單元數(shù)越多則距離原點(diǎn)位置越遠(yuǎn)；均方根末端距與結(jié)構(gòu)單元數(shù)亦呈線性正比（圖18），但此時(shí)預(yù)設(shè)行走方式對(duì)結(jié)果已幾乎不產(chǎn)生影響，兩種模式下結(jié)構(gòu)單元數(shù)相同高分子鏈末端分布位置高度重合，均方根末端距相差無(wú)幾。運(yùn)動(dòng)次數(shù)對(duì)柔順性影響亦不大（圖17、圖19）。

對(duì)比2.1、2.2、2.3.1和2.3.2的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)同一種高分子鏈（結(jié)構(gòu)單元數(shù)相同）而言，當(dāng)它受外力作用導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)趨向不再隨機(jī)且運(yùn)動(dòng)空間被不斷壓縮時(shí)，其均方根末端距不斷增大，這是因?yàn)楦叻肿渔準(zhǔn)芡饬髸?huì)沿外力方向伸展，同時(shí)狹小空間亦不利于高分子鏈蜷縮（需要占據(jù)更多空間，不能有外界因素干涉）并使之被迫伸展所致。此外，當(dāng)有外力存在、運(yùn)動(dòng)空間減少時(shí)，高分子鏈預(yù)設(shè)行走方式和運(yùn)動(dòng)次數(shù)對(duì)其柔順性的影響隨之降低，作者認(rèn)為此時(shí)外力已成為改變高分子鏈構(gòu)象的主導(dǎo)因素。

2.3.3 向兩個(gè)互相相反方向運(yùn)動(dòng)

當(dāng)設(shè)定高分子鏈向X軸正負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后分子鏈末端均分布在X軸上（圖20）。與2.3.1和2.3.2中的結(jié)果相似，高分子鏈的均方根末端距與結(jié)構(gòu)單元數(shù)呈線性增長(zhǎng)關(guān)系（圖22），與運(yùn)動(dòng)次數(shù)無(wú)明顯關(guān)系（圖20、圖23）。但與2.3.1和2.3.2不同的是，在此條件下預(yù)設(shè)的行走方式對(duì)均方根末端距關(guān)系極大：無(wú)規(guī)行走模式下，同一種高分子鏈的均方根末端距比起2.3.1和2.3.2下的結(jié)果相對(duì)較小，但若在自回避行走模式下則均方根末端距非常大—等同于所有結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)度的加和（圖22），說(shuō)明此時(shí)均方根末端距等于分子鏈鏈長(zhǎng)，分子鏈呈完全伸展?fàn)顟B(tài)。造成該結(jié)果的原因是此時(shí)高分子鏈的運(yùn)動(dòng)空間只有X軸，無(wú)規(guī)行走模式下的高分子鏈在每一次行走時(shí)既可以選擇向X軸兩邊擴(kuò)張也可以折返回來(lái)，而自回避行走模式下的高分子鏈不能折返行走，只能繼續(xù)前進(jìn)，分子鏈不斷伸展，最終完全展開。

2.3.4 向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)

當(dāng)設(shè)定高分子鏈向X軸正方向運(yùn)動(dòng)概率為1時(shí)，分子鏈末端均分布在X軸正方向（圖24、圖25），分子鏈末端的相對(duì)原點(diǎn)的距離等于所有結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)度的總和（即相當(dāng)于分子鏈鏈長(zhǎng)）；圖26表明均方根末端距與結(jié)構(gòu)單元數(shù)呈線性關(guān)系（R2=1）且斜率為1，說(shuō)明此時(shí)均方根末端距亦等于所有結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)度的加和（即r=n×l）。兩圖表明分子鏈鏈長(zhǎng)與均方根末端相等，說(shuō)明此時(shí)高分子鏈呈直線型伸展?fàn)顟B(tài)。

圖24-27還表明在此運(yùn)動(dòng)條件下，改變運(yùn)動(dòng)次數(shù)或預(yù)設(shè)行走模式對(duì)同一高分子鏈的均方根末端距和分子鏈末端位置分布無(wú)任何影響，因此此時(shí)高分子鏈只有X軸正方向這一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向，不論運(yùn)動(dòng)多少次分子鏈的運(yùn)動(dòng)趨向都不會(huì)發(fā)生改變。另外，不論是預(yù)設(shè)讓高分子鏈做無(wú)規(guī)行走運(yùn)動(dòng)還是自回避運(yùn)動(dòng)，分子鏈在運(yùn)動(dòng)時(shí)也只能向X軸正方向不斷，擴(kuò)張直至分子鏈完全伸展[12]，因此兩種預(yù)設(shè)模式下所得結(jié)果完全一致。該結(jié)果也表明此時(shí)外力已成為唯一影響因素。

3 結(jié)語(yǔ)

文章使用Random Walker軟件模擬高分子鏈在不同狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)，并研究了高分子鏈柔順性與結(jié)構(gòu)單元數(shù)、運(yùn)動(dòng)次數(shù)、運(yùn)動(dòng)模式、外力的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，無(wú)外力作用下的高分子鏈比較符合Flory提出的自由旋轉(zhuǎn)鏈或受阻旋轉(zhuǎn)鏈模型，均方根末端距主要與高分子鏈的結(jié)構(gòu)單元數(shù)和運(yùn)動(dòng)方式有關(guān)；有外力作用時(shí)，外力是影響均方末端距（柔順性）的重要影響因素，特別是當(dāng)高分子鏈?zhǔn)芡饬χ怀粋€(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，外力起完全主導(dǎo)作用。本文還通過(guò)模擬軟件檢驗(yàn)了Flory高分子連接鏈理論和無(wú)擾線團(tuán)模型的普適性。此外，這種方法也不失為高分子專業(yè)課程課堂教學(xué)的輔助手段之一。

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