【摘要】本文通過對(duì)時(shí)間序列趨勢(shì)項(xiàng)處理這一話題，引入兩種趨勢(shì)提取方法，即時(shí)間回歸法和HP濾波方法，詳細(xì)介紹兩種方法的原理，并重點(diǎn)介紹HP濾波方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)界和工業(yè)界的應(yīng)用，從而說明數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際應(yīng)用中的重要價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】趨勢(shì)消除法 HP濾波 經(jīng)濟(jì)增長 工業(yè)預(yù)測(cè)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）34-0144-02

1.研究背景簡(jiǎn)介

在工業(yè)、能源產(chǎn)業(yè)、經(jīng)濟(jì)和金融業(yè)中，我們常常需要對(duì)某些關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。例如某種產(chǎn)品的產(chǎn)量，某個(gè)發(fā)電廠的發(fā)電量，某項(xiàng)關(guān)鍵的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，或者股票等有價(jià)證券的價(jià)格。對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)的一大基礎(chǔ)，就是收集過去的數(shù)據(jù)，利用過去的數(shù)據(jù)分析未來。在獲取這些指標(biāo)時(shí)，我們往往都是在過去的一段時(shí)間內(nèi)，連續(xù)的收集和記錄信息。這種隨著時(shí)間變化的數(shù)據(jù)序列，我們稱之為時(shí)間序列。

對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，一個(gè)關(guān)鍵的問題就是分離其中的趨勢(shì)部分和隨機(jī)部分。我們知道，一個(gè)時(shí)間序列往往由以下幾個(gè)部分構(gòu)成，主要是趨勢(shì)部分，周期部分，季節(jié)波動(dòng)部分和隨機(jī)波動(dòng)部分。其中，趨勢(shì)部分隨著時(shí)間的變化是相對(duì)穩(wěn)定的，周期部分隨著時(shí)間做周期性的波動(dòng)，季節(jié)部分隨時(shí)間做季節(jié)性的波動(dòng)，隨機(jī)部分則是由隨機(jī)的外界干擾決定，很難預(yù)測(cè)。因此，當(dāng)我們需要對(duì)某一項(xiàng)關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要把握的最關(guān)鍵的部分，也就是其中的趨勢(shì)部分。

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)的視角下，我們可以把時(shí)間序列視作是一個(gè)隨著時(shí)間變化的函數(shù)Y（t）。這個(gè)函數(shù)可以視作是由四個(gè)函數(shù)疊加而來，分別是趨勢(shì)函數(shù)G（t），周期性函數(shù)，季節(jié)性函數(shù)和隨機(jī)性函數(shù)。因此，對(duì)于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)，可以看作是對(duì)函數(shù)的趨勢(shì)項(xiàng)的處理。以下我們介紹兩種趨勢(shì)處理的方法，分別是時(shí)間回歸法和HP濾波方法。

2.趨勢(shì)消除法

2.1時(shí)間回歸法

時(shí)間回歸法是一種最簡(jiǎn)單的趨勢(shì)處理的方法，這種方法的簡(jiǎn)明之處在于：它將函數(shù)隨時(shí)間t變化的趨勢(shì)，視作一個(gè)簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，通過尋找到一條離函數(shù)曲線最近的直線，來代表該函數(shù)隨時(shí)間變化的整體趨勢(shì)。這種方法無疑是簡(jiǎn)單而且直觀的，而所用的對(duì)時(shí)間回歸的方法，本質(zhì)上，就是我們?cè)诟咧姓n堂上所接觸到的最小二乘法。

最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。線性回歸方程的關(guān)鍵參數(shù)是截距項(xiàng)和斜率項(xiàng)，所以殘差平方和可以表示為關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)的二元二次函數(shù)：

為了求這個(gè)指標(biāo)取到最小值時(shí)a和b的值，即確定對(duì)時(shí)間的回歸曲線，我們借鑒高中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)求最值時(shí)采取一階倒數(shù)等于零的思想，用D分別對(duì)兩個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，令其等于零。這樣，我們就得到了關(guān)于兩個(gè)參數(shù)的二元一次方程組，求出兩個(gè)參數(shù)a和b的值，確定回歸方程。從而也就確定了原始函數(shù)中隨時(shí)間變化的趨勢(shì)項(xiàng)G（t）。

2.2 HP濾波法

時(shí)間回歸法雖然簡(jiǎn)單直觀且計(jì)算量小，原理清晰易懂，但也存在一些問題。其中最主要的問題在于，對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)用時(shí)間的一次函數(shù)建模，是否可靠。我們知道，數(shù)據(jù)存在隨時(shí)間變化較為穩(wěn)定的趨勢(shì)項(xiàng)，但是這個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)未必僅僅是一條簡(jiǎn)單的隨時(shí)間進(jìn)行一次變化的直線，很有可能是二次，乃至更復(fù)雜的變化方式。因此，用一次函數(shù)擬合時(shí)間趨勢(shì)，是不太準(zhǔn)確的。Hodrick 和Prescott（1980，1997）提出了HP濾波方法。他們認(rèn)為時(shí)間序列的趨勢(shì)項(xiàng)既不是永遠(yuǎn)不變也不是隨機(jī)變動(dòng)，其趨勢(shì)是緩慢變動(dòng)的。下面簡(jiǎn)要介紹HP 濾波法的基本方法。這種方法是Hodrick 和Prescott采用對(duì)稱的數(shù)據(jù)移動(dòng)平均方法原理，設(shè)計(jì)的一個(gè)濾波器（即HP 濾波器），該濾波器從時(shí)間序列yt中得到一個(gè)平滑的序列g(shù)t（即趨勢(shì)部分），gt是下列問題的解：

在上式中，第一部分與時(shí)間回歸法即最小二乘法涉及到的公式類似，這部分?jǐn)?shù)值越大，說明該序列g(shù)t離原始序列越遠(yuǎn)，最小化這個(gè)公式中的第一部分的本質(zhì)是希望新的序列離原始時(shí)間序列盡可能的近，也就是盡可能的還原原始序列；而第二個(gè)部分體現(xiàn)了新的序列g(shù)t的平滑性。這個(gè)部分越小，說明原始序列的變化越慢，也就是隨時(shí)間的變化越不明顯，最小化這個(gè)公式中的第二部分的本質(zhì)是希望新的序列g(shù)t能夠盡可能的平滑，從而使得趨勢(shì)序列的可預(yù)測(cè)性和可把握性越好。而參數(shù)λ則是對(duì)兩個(gè)部分的一種權(quán)衡。通過調(diào)節(jié)λ的值，我們可以自由設(shè)置這個(gè)HP濾波器的性質(zhì)，從而使其濾出既貼近原始序列，又具備一定光滑性的新序列。

3.HP濾波方法的應(yīng)用情況淺析

在第一部分我們已經(jīng)提到，在工業(yè)、能源產(chǎn)業(yè)、經(jīng)濟(jì)和金融業(yè)中，我們常常需要對(duì)某些關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。對(duì)這些關(guān)鍵指標(biāo)形成的時(shí)間序列進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，就需要用到HP濾波方法。

3.1用HP濾波方法分析經(jīng)濟(jì)增長

HP濾波方法最經(jīng)典的應(yīng)用，是在宏觀經(jīng)濟(jì)的領(lǐng)域。經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)是社會(huì)生產(chǎn)和人類活動(dòng)的總和，因此，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)既體現(xiàn)出一定得規(guī)律性，又體現(xiàn)出一定的隨機(jī)性和波動(dòng)性。數(shù)十間年，關(guān)于用HP濾波方法對(duì)經(jīng)濟(jì)增長的研究越來越深入，充分體現(xiàn)了這種方法對(duì)于研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)情況的適用性。事實(shí)上，正是經(jīng)濟(jì)增長本身的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)使得其適用于這種方法的研究。經(jīng)濟(jì)增長的過程中，最主要的是受到生產(chǎn)力的影響，生產(chǎn)力直接決定了經(jīng)濟(jì)增長的潛力。但同時(shí)，季節(jié)因素和地理、政治等因素，也不可避免的會(huì)對(duì)其產(chǎn)生影響。生產(chǎn)力的發(fā)展隨時(shí)間變化是比較穩(wěn)定，但不是完全線性的。因此，用HP濾波方法，可以很好的擬合經(jīng)濟(jì)增長的趨勢(shì)項(xiàng)。

3.2基于HP濾波的工業(yè)數(shù)據(jù)預(yù)處理

HP濾波方法還可以用來做電力負(fù)荷的預(yù)測(cè)。用時(shí)間序列模型做電力負(fù)荷預(yù)測(cè)時(shí)，季節(jié)性是預(yù)測(cè)重點(diǎn)分析的因素項(xiàng)。然而，如果直接去考察季節(jié)性因素，會(huì)發(fā)現(xiàn)季節(jié)性因素的參數(shù)在調(diào)整過程中多數(shù)情況下不顯著，這不利于我們用更進(jìn)一步復(fù)雜的模型建立后的預(yù)測(cè)過程。鑒于這種情況，就需要對(duì)原序列進(jìn)行修整，將HP濾波法應(yīng)用到復(fù)雜的模型建立之前，首先去除掉原始序列中存在的趨勢(shì)項(xiàng)，從而更好地分析季節(jié)因素的影響。

4.小結(jié)

從上述分析中我們發(fā)現(xiàn)，HP濾波方法是一種有效的提取數(shù)據(jù)的趨勢(shì)項(xiàng)的方法， 其原理是對(duì)最小二乘法的繼承和發(fā)展，通過最小化兩部分函數(shù)，HP濾波方法提取出的趨勢(shì)項(xiàng)，既不是簡(jiǎn)單的隨時(shí)間做一次函數(shù)變化，也不是完全隨機(jī)的，而是既貼近原始序列，又具備一定光滑性的新序列。因此，HP濾波方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)界和工業(yè)界都有廣泛的應(yīng)用，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

劉鴻宇（2001.9.9-），男，山東人，就讀于山東即墨區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，高中在讀，研究方向是數(shù)學(xué)。