王甘赟 夏燕

摘要：在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化與合同對(duì)角化是一個(gè)難點(diǎn)，很多學(xué)生搞不清楚兩者之間的關(guān)系，本文通過(guò)歸納總結(jié)，推廣得出對(duì)稱(chēng)陣“相似”與“合同”的重要關(guān)系。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)矩陣；相似；合同；關(guān)系

1 引言

實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的對(duì)角化問(wèn)題，是個(gè)非常重要的問(wèn)題。比如相似對(duì)角化在求矩陣冪運(yùn)算時(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，合同對(duì)角化可以化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。而對(duì)稱(chēng)陣非常特殊，一個(gè)對(duì)稱(chēng)陣可以與一個(gè)對(duì)角陣既相似又合同，那么，兩個(gè)對(duì)稱(chēng)陣之間能不能既相似又合同呢，這是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。

2 理論依據(jù)

為了方便，首先假設(shè)下面進(jìn)行的研究都在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)。

定義1及性質(zhì) 如果矩陣 經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 ，就稱(chēng)矩陣 與 等價(jià)，記作 。

矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：

（i）反身性 ；

（ii）對(duì)稱(chēng)性 若 ，則 ；

（iii）傳遞性 若 ， ，則 .

定義2及性質(zhì) 設(shè) 都是 階矩陣，若有可逆矩陣 ，使 ，則稱(chēng) 是 的相似矩陣，或說(shuō)矩陣 與 相似，記作 。

矩陣之間的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：

（i）反身性 ；

（ii）對(duì)稱(chēng)性 若 ，則 ；

（iii）傳遞性 若 ， ，則 .

定義3及性質(zhì) 設(shè) 都是 階矩陣，若有可逆矩陣 ，使 ，則稱(chēng) 與 合同，記作 。

矩陣之間的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：

（i）反身性 ；

（ii）對(duì)稱(chēng)性 若 ，則 ；

（iii）傳遞性 若 ， ，則 .

引理1 設(shè) 為 階對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣 ，使 ，其中 是以 的 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角矩陣.

3 “相似”與“合同”的關(guān)系

為了敘述方面，假設(shè)本文所有對(duì)角陣的對(duì)角元均按從大到小的順序排列。

結(jié)論1 若兩對(duì)稱(chēng)矩陣相似，則一定合同.

證明：由引理1可知，若矩陣 與 均為對(duì)陣矩陣，則必有正交陣 、 ，使得 ， .又因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式和特征值這個(gè)性質(zhì)，由 與 相似，則 .所以 ，從而 ，因此，對(duì)陣矩陣 與 合同.

結(jié)論2 若兩對(duì)稱(chēng)矩陣合同，則不一定相似.

證明：由引理1可知，若矩陣 與 均為對(duì)陣矩陣，則必有正交陣 、 ，使得 ， .

令 和 為使 化為規(guī)范型的可逆矩陣，

， ， 分別為 與 的特征值.

由慣性定理，只要 與 有相同的正慣性指數(shù)（合同矩陣有相同的秩），則 ，即 與 合同于同一規(guī)范矩陣 （或 ）.

再由合同的傳遞性，可知 與 合同。但是正慣性指數(shù)相同不能保證特征值相同，而特征值不同則 的全部特征值為4，1（三重）一定不相似，結(jié)論證畢.

推論 對(duì)稱(chēng)矩陣相似是合同的充分不必要條件.

4 例題解析

例1 設(shè) ，試判定 與 的關(guān)系。

解：已知 與 均為對(duì)稱(chēng)陣，并且 ， 的全部特征值為4，1（三重），又有 ，所以 的全部特征值也為4，1（三重）.所以， 與 相似于同一對(duì)角陣，由定義2中相似的傳遞性知 與 相似，利用本文推論，可知 與 既相似又合同。

例2 設(shè) ，試判定 與 的關(guān)系。

解：已知 與 均為對(duì)稱(chēng)陣，并且 ， 的全部特征值為1（二重）、0，又有 ，可知 的全部特征值也為3（二重）、0. 由相似矩陣有相同的特征值的逆否命題可知 與 不相似。 與 有相同的正慣性指數(shù)和相同的秩，所以 與 合同。

5 結(jié)論

由上述例題可見(jiàn)，了解了對(duì)稱(chēng)矩陣“相似”與“合同”的關(guān)系后，在解題中可以大大縮減解題的時(shí)間，并且保證正確率。所以，在教學(xué)過(guò)程中，一定要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出二者之間的這種重要關(guān)系，對(duì)今后學(xué)習(xí)線性代數(shù)的其他內(nèi)容有重要幫助。

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