李波　楊春權(quán)　張曉斌

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對教材的作用要有清晰的認識，不能照本宣科，不能拿來主義.教師要尊重教材，又不能拘泥于教材，特別是在教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)中，在教材原有設(shè)計基礎(chǔ)上，必須融入教師對章節(jié)知識的理解、對知識生成的還原、對知識體系的架構(gòu).

關(guān)鍵詞：不等式；類比推導(dǎo)；思維導(dǎo)圖

“教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)”，無論在課前設(shè)計多么完美，課后反思都感覺有遺憾之處.因此，我們在教學(xué)設(shè)計中不斷思索、在教案設(shè)計中不斷取舍，教師整個教學(xué)常態(tài)是在不斷思考中不斷改進.在不等式第一課時的多次教學(xué)實踐中，我們就一直有這樣一個梗：如何設(shè)計構(gòu)思才能使知識銜接自然，不等式推導(dǎo)合情合理，教材使用得當?shù)纫幌盗袉栴}需要處理[[1]].借助于市區(qū)級中青年高中數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽的契機，我們對不等式第一課時教學(xué)構(gòu)思有了全新的思考，以“基本不等式關(guān)系探究”為題進行了課堂教學(xué)，下面就教學(xué)過程構(gòu)思、設(shè)計意圖進行深度說明.

一、教學(xué)引入

生活中充滿不等關(guān)系，數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系我們很早就有接觸，如向量加減運算“三角形”法則中向量模的大小關(guān)系，在本章節(jié)就不等式作專題介紹，如不等式性質(zhì)、比較大小方法等進行研究，我們發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系中存在一些恒定的關(guān)系，比如有些式子本身就具備了保號的功能，如[|x|≥0，x2≥0，x≥0，x2+x+1≥14，（a±b）2≥0]等，在以上式子中，完全平方關(guān)系的結(jié)構(gòu)是我們所熟悉的，由此，我們從這里開始探究.

【設(shè)計意圖】引入部分首先是研讀教材的處理方式.人教版A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》從第24屆數(shù)學(xué)家大會會徽“趙爽弦圖”為開篇，許多“基本不等式第一課時”的優(yōu)質(zhì)課以及自己曾經(jīng)的教學(xué)也都這樣引入.這“千篇一律”的引入啟發(fā)了我們的思考，我國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中的趙爽弦圖，是中華文明在數(shù)學(xué)發(fā)展上的最好體現(xiàn)，教材的呈現(xiàn)對中學(xué)生數(shù)學(xué)文化熏陶、培養(yǎng)中學(xué)生愛國情懷有積極推動作用，但作為不等式的引入有點突兀，首先與教材章節(jié)結(jié)構(gòu)（第一節(jié)不等關(guān)系與大小比較、第二節(jié)一元二次不等式的解法、第三節(jié)簡單的線性規(guī)劃、第四節(jié)基本不等式）銜接不夠，前面三節(jié)都在講不等式，若上課直接引入就介紹趙爽弦圖及背后隱含的不等式，會造成學(xué)生的困惑：趙爽弦圖及背后的不等式固然重要，但是除了大數(shù)學(xué)家趙爽可以這樣去思考構(gòu)圖，誰還能想到這樣去構(gòu)造圖形？而且構(gòu)造的圖形恰好能表達出我們需要的不等式？這樣的引入與前面章節(jié)的銜接點在哪里？這就造成章節(jié)知識銜接不自然.因此，從前面章節(jié)的不等關(guān)系入手，在不等關(guān)系中尋求恒定關(guān)系（如保號功能），以最熟悉的完全平方式結(jié)構(gòu)為切入點.

二、探究過程

（一）探究一：聯(lián)想比較

由前面知道[（a±b）2≥0成立]，[則]

[（a+b）2=a2+2ab+b2≥0]，[（a-b）2=a2-2ab+b2≥0]，從這里發(fā)現(xiàn)有相減的式子，聯(lián)想到作差法比較大小，可變形為：

[（a-b）2=a2-2ab+b2≥0?a2+b2≥2ab]

在完全平方式結(jié)構(gòu)里，通過前面章節(jié)的不等式關(guān)系培養(yǎng)的直觀敏感性，發(fā)現(xiàn)了隱藏的[a2+b2]與[ab]的關(guān)系，即兩個數(shù)的平方和與乘積的關(guān)系.

重要不等式1：[a，b∈R]，[ a2+b2≥2ab]（當且僅當[a=b]時，[a2+b2=2ab]）.

【設(shè)計意圖】保號功能的拓展，由學(xué)生聯(lián)想得到重要不等式1，知識過渡自然，學(xué)生理解層次嚴謹，通過對式子結(jié)構(gòu)分析，為探究二打下基礎(chǔ).

（二）探究二：類比推導(dǎo)

從式子[a2+b2≥2ab]兩端的構(gòu)成元素發(fā)現(xiàn)：[a2]與[a]，[b2]與[b]呈現(xiàn)的平方關(guān)系.我們聯(lián)想到其他的平方關(guān)系：[a4]與[a2]，[a]與[a]..

因此，以上式子可以推廣為：[a4+b4≥2a2b2]，高次不作具體研究.

[a+b≥2ab]，這里根式具備隱含條件的特征，重點研究.

當[a，b∈[0，+∞）]時，[a+b≥2ab]（當且僅當[a=b]時，[a+b=2ab]），這是由完全平方式結(jié)構(gòu)類比得到，同時通過移項構(gòu)造完全平方式可證明結(jié)論正確.對此公式進行簡單變形得：

重要不等式2（均值不等式）：[a，b∈[0，+∞）]時，[a+b2≥ab]（當且僅當[a=b]時，[a+b=2ab）].

聯(lián)想到初中數(shù)學(xué)平均數(shù)的知識，我們給出算術(shù)平均數(shù)[a+b2]，幾何平均數(shù)[ab]的定義，此不等式總結(jié)了兩個非負數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，通常也稱為均值定理.同時，不等式典型的結(jié)構(gòu)特征，也可以使我們聯(lián)想到數(shù)列知識，兩正數(shù)[a，b]的等差中項為[a+b2]，等比中項為[±ab].這個不等式中[a+b]與[ab]的關(guān)系，其實質(zhì)是兩個數(shù)的和與乘積的關(guān)系.通過初中的平面幾何知識，聯(lián)想到矩形的周長與面積問題，這就給此不等式賦予了一定的幾何意義.

【設(shè)計意圖】我們的教學(xué)沒有像原來那樣嚴格照搬教材模式，把均值定理作為第一課時的唯一重點.均值定理是在不等式關(guān)系推導(dǎo)過程中得出的一個重要不等式，是與前面不等式章節(jié)內(nèi)容順序銜接的，是不等式演變而自然生成的，不是刻意為之.對均值定理進行過程化介紹，它并不是本節(jié)課的唯一目的.同時式子結(jié)構(gòu)特征與數(shù)列等差（比）中項、初中矩形的周長與面積的聯(lián)系緊密，有利于學(xué)生思維體系建構(gòu).

（三）探究三：不等關(guān)系的統(tǒng)一

由[a2+b2≥2ab?a2+b22≥ab]，[a+b≥2ab?（a+b2）2≥ab].

思考1：不等式的幾何模型，在教材中是如何體現(xiàn)的？

思考2：能否判斷[a2+b22]與[（a+b2）2]的大小關(guān)系，上面兩個式子是否可以統(tǒng)一？

由作差法：[a2+b22-（a+b2）2=（2a2+2b2）-（a2+2ab+b2）4=（a-b）24≥0]，

即[a2+b22≥（a+b2）2]（[a，b∈R]，當且僅當[a=b]時，[a2+b22=（a+b2）2]）.

這樣把[a2+b2]，[a+b]與[ab]三者建立了聯(lián)系：[a2+b22≥（a+b2）2≥ab]，從而有：

重要不等式3：[a2+b22≥a+b2≥ab].

左邊不等式的條件：[a，b∈[0，+∞）]，當且僅當[a=b]時，[a2+b22=a+b2]；

右邊不等式的條件：[a，b∈[0，+∞）]，當且僅當[a=b]時，[a+b2=ab.]

重要不等式3成立的條件：[a，b∈[0，+∞）]；取等的條件：當且僅當[a=b]時，兩個數(shù)的平方和、和與乘積建立了聯(lián)系.

【設(shè)計意圖】對教材中“趙爽弦圖”“問題探究”的應(yīng)用，是重要不等式1、重要不等式2的幾何模型的根本體現(xiàn)，是在深度理解教材的基礎(chǔ)上，在教學(xué)設(shè)計上的突破創(chuàng)新.從不等式結(jié)構(gòu)特征入手，探尋不等式之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生邏輯推理思維的培養(yǎng).重要不等式1與重要不等式2的類比推導(dǎo)、不等關(guān)系的統(tǒng)一，從側(cè)面也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“和諧之美”.

（四）探究四：不等關(guān)系的拓展

重要不等式3能否拓展？[a2+b22≥a+b2≥ab≥___].

由探究一的完全平方式可以得到[a2+b2≥2ab]，

由探究二，類比推出均值定理[a+b2≥ab]，要變形出[ab≥____]，從結(jié)構(gòu)相似度上看，均值定理具有可行性，要構(gòu)造[ab≥____]，因此，在[a+b2≥ab]兩邊同時乘以[ab]得[ab?a+b2≥ab?ab?ab≥2aba+b.]

為了公式簡化，方便記憶，再次變形得[ab≥21a+1b]（[a，b∈（0，+∞）]，當且僅當[a=b]時，[ab=21a+1b]），從而有：

重要不等式4：[a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b].

通過探究，我們建立起了兩個數(shù)（從探究一的實數(shù)到探究二、三的非負數(shù)，再到探究四的正數(shù)）的平方和、和、乘積與倒數(shù)和的關(guān)系，這四者間的大小關(guān)系，任意兩者間的定值與最值關(guān)系，呈現(xiàn)的關(guān)系相當明確，可知一（定值）求三（最值）.因此，我們在不等式的應(yīng)用時，必須搞清楚其成立條件：[a，b∈（0，+∞）]；定值與最值關(guān)系；取等條件[a=b].簡稱“正、定、等”.

【設(shè)計意圖】對式子平方和、和、乘積結(jié)構(gòu)特征的拓展，對變形技巧有一定要求，同時也給學(xué)生展現(xiàn)了數(shù)學(xué)公式變換的微妙.讓學(xué)生在不等式的應(yīng)用中，敢于思考，敢于嘗試一種探索，這也對公式的整體結(jié)構(gòu)特征有了根本的了解.

三、不等關(guān)系的應(yīng)用

例[1] 求函數(shù)[y=x+1x]的值域.

練習：求函數(shù)值域：1.[y=x+1x+1（x>-1）]；2.[y=x2+5x2+4].

例[2] 矩形長為[a]，寬為[b]，則

1.周長[l=_____]，面積[S=_____]；

2.若周長[l]為定值時，面積[S]有最___值，為_____；

3.若周長[l]為定值時，面積[S]有最___值，為_____.

課后思考：

1.若[a，b>0]，[a+b+ab=2]，則[ab]有最___值，為____，取最值時[a=____ ，b=______]；

2.若[a，b>0]，[a+b=2]，則[a2+b2∈______].

【設(shè)計意圖】例1主要考查公式的應(yīng)用與“耐克函數(shù)”圖象的統(tǒng)一；練習主要考查公式的變形技巧、“正、定、等”條件的應(yīng)用及函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系.例2主要體現(xiàn)幾何模型的認識，周長與面積，與初中知識聯(lián)系緊密，來源于教材，又不同于教材的設(shè)計.課后思考1考查學(xué)生對不等式結(jié)構(gòu)特征的轉(zhuǎn)換，課后思考2讓學(xué)生體會到重要不等式應(yīng)用的局限性.

四、總結(jié)：不等式關(guān)系思維導(dǎo)圖

本節(jié)課以完全平方關(guān)系為切入點，不斷深入，把基本不等式之間的關(guān)系進行重點探究.在教學(xué)設(shè)計上立足于教材體系，又對教材設(shè)計全新架構(gòu)：其一，引入設(shè)計起點較低，與前面章節(jié)銜接到位，符合學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的需要；其二，把均值定理與教材習題的重要不等式，兩個課時的內(nèi)容，以探究形式用一個課時完成，遵循了知識生成發(fā)展規(guī)律；其三，對教材材料處理如“趙爽弦圖”“問題探究”等，在教學(xué)設(shè)計中以幾何模型探究形式呈現(xiàn)，而不是簡單地引入呈現(xiàn)，讓學(xué)生對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生由衷的敬佩之情，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的認知；其四，在不等式的應(yīng)用中，展現(xiàn)了求最值的快捷性、求取值范圍的局限性；最后，思維導(dǎo)圖的呈現(xiàn)，讓學(xué)生對不等式推導(dǎo)流程再一次梳理深化，所謂“知其然，更要知其所以然”，同時在不等式推導(dǎo)的過程中，對學(xué)生直觀想象、運算能力、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育是潛移默化的，使課堂教學(xué)的維度得到有效拓展.

參考文獻：

[1]李波，唐義恒.以研讀教材為基點 拓展知識建構(gòu)體系[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017（8）：27-30.