劉昱岑

摘要：近年來，隨著信息科技的不斷發(fā)展，社會經濟發(fā)展速度越來越快，線性代數(shù)也開始在各個學科中被廣泛應用，其中矩陣的應用領域也逐漸變得廣泛。線性代數(shù)一直以來都是數(shù)學學科學習中的重點和難點，高中階段的數(shù)學學習，線性代數(shù)的學習還很簡單。本文主要是對矩陣在線性代數(shù)中的應用案例探討。

關鍵詞：矩陣；線性代數(shù)；應用分析

一、線性代數(shù)的概念

線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學的一個分支，它的研究對象是向量、向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。在高中數(shù)學學習中，求解線性方程是重要的知識點，主要學習了線性代數(shù)的向量概念，向量也是線性代數(shù)中一個最基本的概念。當前，線性代數(shù)在數(shù)學、物理學和技術學科中都發(fā)揮著重要的作用，可見線性代數(shù)對于強化知識技能，增益科學智能方面是非常有利的。矩陣是在線性代數(shù)中比較具有研究價值且被研究次數(shù)最多的，矩陣能表現(xiàn)出一種規(guī)律，一種利用代數(shù)理論知識來表現(xiàn)的一種數(shù)表變化規(guī)律，并且經常利用數(shù)表來分析得到結論[1]。

二、矩陣在線性代數(shù)中的應用案例分析

（一）線性方程組與向量

首先，向量是解決線性方程組的一個有力武器。向量是一個在解析幾何和物理中都有的概念，但是在解析幾何和物理中的向量概念是不一樣的，而且利用向量處理線性方程組是非常有用的[2]。線性代數(shù)中的向量與物理中學習到的向量是不同的。線性代數(shù)中的向量有兩個要素，一個是大小另一個是方向。所以兩個向量只要大小和方向一致，那么這兩個向量就是相等的，所以向量中只有重合沒有平行，不存在相反方向但是相等的向量。因此，向量最基本的運算就是加法和減法兩種。比如，α-β=α+β這個向量的加法，就是將它們的各個分量分別相加。另外，由于向量的加法符合平行四邊形的運算法則。所以運算的時候，可以把向量α 和向量β假設為一個平行四邊形的兩條邊，這樣向量α+β的計算就是那個平行四邊形的對角線，平行四邊形的對角線向量就是α+β所對應的向量。雖然平行四邊形很好進行計算，但是更多的時候更習慣于利用三角形來進行計算。利用三角形的計算更加簡單直觀，而且更加適合于用于多個向量的計算。利用三角形計算的時候，只需要將各個向量之間首尾連接，最后第一個向量的開始和最后一個向量的結尾進行連接就是結果，它所對應的向量就是這些向量的和所對應的向量。

（二）矩陣在解線性方程組中的應用

可以利用矩陣的特點來進行高中線性方程組求解計算，而且還可以將這個特點進一步應用到方程組中。假設線性方程組生成矩陣形式Ax=b，并根據(jù)系數(shù)矩陣和增廣矩陣來判斷方程組是否有解[3]。首先，需要借助矩陣對方程組進行相應的簡化，這樣能夠降低整個方程組求解的難度。比如，Ax=b的矩陣方程求解時，就需要先判斷系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣是否有相同的秩，如果相同則可以進一步求解。這個時候也分為兩種情況：當系數(shù)矩陣的秩為 n，線性方程組會有唯一的解；但是當秩小于 n 時，那么這個方程組就會有無窮多的解；如果不相同那么這組方程組就沒有方程解，無法進行解答。

例如，下面這組線性方程組的求解中，方程組的形式為：

X1 -X2 - 3X3 + X4 = 1

X1 - X2 + 2X3 - X4 = 3

4X1 - 4X2 + 3X3 - 2X4 = 6

2X1 - 2X2 - 11X3 + 4X4 = 0

因此，我們可以通過對方程組進行分析利用矩陣做一個簡單的等量變換處理，進而得到方程組相應的解。但是需要注意的是，有一個特殊情況，就是如果系數(shù)矩陣和增廣矩陣兩者的秩是不相等的，那么這個方程組無解。所以要先弄清楚矩陣行列式，然后將矩陣和線性方程組直接對應起來。再進行推算工作，而且要在推算的時候保證這個推算是正確的，這樣才能得出一個正確的對應關系，才能將復雜的線性方程簡化為一個矩陣向量，然后降低整個方程組的解決，順利解決方程組的問題。

綜上所述，通過分析矩陣在線性代數(shù)中的應用案例分析，可以得出一個結論，矩陣的作用是非常大的，它能夠在很多方面發(fā)揮潛能。伴隨著信息技術水平的提高，網絡技術的進步，矩陣的應用也會更加深入。隨著時代的不斷發(fā)展，各個學科之間的界限也越來越模糊，線性代數(shù)在很多學科中都發(fā)揮著它巨大的作用，數(shù)學是一門極其重視基礎性知識的學科，所以有必要更加重視數(shù)學線性代數(shù)的研究和學習，它不僅能夠簡潔化研究，使研究更加合理，而且還有助于擴大思維，增強科學智能，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻

[1]方慶霞，何穎子.線性代數(shù)中矩陣的應用研究[J].科技資訊，2014，12（23）：203，205.DOI：10.3969/j.issn.1672-3791.2014.23.155.

[2]王翠麗.談談線性方程組與向量[J].考試周刊，2017，（42）：118.

[3]李羿如.矩陣在解線性方程組中的應用研究[J].文理導航（中旬），2017，（1）：15.