摘要：力學(xué)是物理學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的第一門專業(yè)基礎(chǔ)課，剛剛步入大學(xué)一年級(jí)的很多學(xué)生保持有中學(xué)的解題習(xí)慣，不能按照大學(xué)力學(xué)的要求進(jìn)行解題，解題中出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤。教師有必要對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤尤其是典型易錯(cuò)題進(jìn)行剖析，才能對(duì)癥下藥，幫助學(xué)生提高解題能力，進(jìn)而學(xué)好力學(xué)。

關(guān)鍵詞：力學(xué)易錯(cuò)題；剖析；思維方法；解題能力

中圖分類號(hào)：O31 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2018）39-0205-03

剛剛步入大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生，對(duì)于力學(xué)的許多內(nèi)容有“似曾相識(shí)”的感覺，不少學(xué)生保持有中學(xué)的解題習(xí)慣，不能按照大學(xué)力學(xué)的要求進(jìn)行解題，解題中出現(xiàn)種種錯(cuò)誤。教師有必要對(duì)學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤尤其是典型易錯(cuò)題進(jìn)行剖析，才能對(duì)癥下藥，幫助學(xué)生提高解題能力，并將力學(xué)概念、規(guī)律和思維方法，遷移到其他課程的學(xué)習(xí)中。因此，學(xué)好力學(xué)、順利地解題對(duì)于完成物理學(xué)專業(yè)的其他課程的學(xué)習(xí)可以打下良好的基礎(chǔ)。

一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)易錯(cuò)題剖析

該部分教學(xué)在講述質(zhì)點(diǎn)位置隨時(shí)間的變動(dòng)時(shí)，需要引入矢量和微積分等數(shù)學(xué)工具。由于高等數(shù)學(xué)教學(xué)跟不上力學(xué)的進(jìn)度，盡管筆者事先用2-3節(jié)課介紹微積分初步、矢量的基本概念和運(yùn)算方法，但發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中容易將矢量和標(biāo)量混淆，不習(xí)慣用積分解題，不會(huì)判斷物體運(yùn)動(dòng)的初始條件。

例：中學(xué)時(shí)曾學(xué)過v =v +at，s=v t+ at ，v -v =2as這幾個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式，請(qǐng)指出在怎樣的初始條件下，可得出這幾個(gè)公式。

錯(cuò)答：t=0時(shí)，v =v ，s=0

正確答：初始條件為t=0時(shí)，x=x ，v =v

分析：s是位移，s=x-x ，學(xué)生將位移s與位置坐標(biāo)x 相混淆。

二、牛頓運(yùn)動(dòng)定律易錯(cuò)題剖析

牛頓運(yùn)動(dòng)定律是研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化與質(zhì)點(diǎn)受力的關(guān)系的關(guān)鍵，牛頓運(yùn)動(dòng)定律是經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)，由它出發(fā)可導(dǎo)出動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理等，該部分許多內(nèi)容學(xué)生在中學(xué)已學(xué)習(xí)過，但對(duì)牛頓定律及推導(dǎo)出的其他定理和相應(yīng)的守恒定律成立的條件及慣性系、慣性力等概念認(rèn)識(shí)模糊，成為教學(xué)難點(diǎn)，導(dǎo)致解題中出現(xiàn)很多錯(cuò)誤。

例：雜技演員站在沿傾角為α的斜面下滑的車廂內(nèi)，以速率v 垂直于斜面上拋紅球，經(jīng)時(shí)間t 又以v 垂直于斜面上拋一綠球，車廂與斜面無摩擦。問兩球何時(shí)相遇。[1]

錯(cuò)解：以豎直向上為y軸正向，以拋出紅球時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，對(duì)紅球有y =v t- gt

對(duì)綠球有y =v （t-t ）- g（t-t ）

分析：亂套勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式。這里 方向與y軸方向不相同，學(xué)生不知道以車廂為非慣性系，引入慣性力的概念。

正確解：以車廂為參考系（非慣性系），車廂以加速度gsinα沿斜面運(yùn)動(dòng)，被拋小球除受重力外，還受一沿斜面向上的慣性力mgsinα；兩者合力大小為mgcosα，方向沿斜面垂直向下?？梢?，在車廂參考系中，小球沿“重力加速度”gcosα作上拋運(yùn)動(dòng)。以出手高度為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系oy，以拋紅球?yàn)橛?jì)時(shí)起點(diǎn)，對(duì)紅球有

y =v t- （gcosα）t

y =v （t-t ）- gcosα（t-t ）

兩球相遇時(shí)y =y ，解得相遇時(shí)間為t = + t

三、功和能易錯(cuò)題剖析

功和能是標(biāo)量，在該部分解題中學(xué)生出現(xiàn)的書寫錯(cuò)誤較少，但對(duì)功和能的概念的理解認(rèn)識(shí)模糊。解題中的難點(diǎn)問題是：變力做功和變質(zhì)量的問題；質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功、勢能定義和勢能零點(diǎn)的選?。粰C(jī)械能守恒定律條件的判斷；碰撞問題的綜合運(yùn)用。

例1：一同學(xué)對(duì)“二質(zhì)點(diǎn)相距很遠(yuǎn)，引力很小，但引力勢能大；反之，相距很近，引力勢能反而小?！毕氩煌?。如何解決這個(gè)疑難？

解析：由引力做功計(jì)算可得，引力勢能E =

-G +C，C為積分常數(shù)，取無窮遠(yuǎn)處為引力勢能零點(diǎn)，即r→∞時(shí)E =0，則C=0，E =-G ，為負(fù)值。所以r越小，引力勢能E 越小。

例2：一鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上，如圖所示。CD長l，鐵箱與地面間無摩擦。鐵箱被加速至v 時(shí)開始作勻速直線運(yùn)動(dòng)。后來鋼球與箱壁發(fā)生完全彈性碰撞。問碰后再經(jīng)過多長時(shí)間鋼球與BD壁相碰？[2]

學(xué)生解題出現(xiàn)的問題有：

（1）以鐵箱為參考系，假設(shè)鐵箱質(zhì)量M遠(yuǎn)大于鋼球質(zhì)量m，從而得到球與AC壁碰后彈回速度v ，進(jìn)而求時(shí)間，這是錯(cuò)誤的。因?yàn)閷?duì)碰撞過程不能以鐵箱為參考系而認(rèn)為動(dòng)量守恒，鐵箱有加速度，不是慣性系，也不能自己附加條件M？垌m。

（2）有同學(xué)把鐵箱看成是靜止的，列等式：

0+mv =mv′ +0，得出v′ =v

這實(shí)際上也是以鐵箱為參考系，而且認(rèn)為球在碰撞前后動(dòng)量相等也是錯(cuò)誤的。完全彈性碰撞滿足的一個(gè)規(guī)律是碰撞前后相對(duì)速度的大小不變，但相對(duì)速度的方向要發(fā)生變化的。

四、角動(dòng)量易錯(cuò)題剖析

該部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說，是全新的知識(shí)。難點(diǎn)問題主要是：矢量的叉乘；角動(dòng)量守恒定律的判斷。學(xué)生對(duì)角動(dòng)量錯(cuò)誤的理解，諸如：

“一定質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中某時(shí)刻的加速度一經(jīng)確定，則質(zhì)點(diǎn)所受的合力就可以確定了，同時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩就被確定了?！盵3]

分析：力矩 = × 依賴于參考點(diǎn)的選取，M 依賴于OZ軸的選取，所以，在合力確定的情況下，力矩還不能確定。

“質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)必定受到力矩的作用；質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)必定不受力矩作用?！?/p>

分析：不確定參考點(diǎn)或軸說力矩沒有意義。質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力對(duì)圓心的力矩為零。質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)，合力對(duì)直線外一點(diǎn)的力矩不為零。

“質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量也為零；質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量也為零?！?/p>

分析：將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒的條件相混淆。例如，兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相同，運(yùn)動(dòng)速度大小相等，方向相反，且不沿同一條直線，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為零，但對(duì)任意參考點(diǎn)的角動(dòng)量均不為零。若上述兩質(zhì)點(diǎn)方向相同，其他條件不變，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量不為零，但對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)連線中心的角動(dòng)量為零。

例：宇宙飛船繞地球作圓周軌道飛行時(shí)，軌道半徑為R，飛行速率為v ，宇航員想把軌道改為經(jīng)過B點(diǎn)的橢圓軌道，他在A點(diǎn)時(shí)，必須把飛船速率調(diào)整為v 的多少倍？[3]

學(xué)生沒有認(rèn)識(shí)到將飛船速率調(diào)整后由A飛到B的過程中，除飛船對(duì)地心的角動(dòng)量守恒外，還伴隨有機(jī)械能守恒（飛船與地球系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功），少一個(gè)方程，因此不能求解。

正確解：以地球作為慣性系，飛船作圓軌道飛行時(shí)，有G =m

M和m分別為地球和飛船質(zhì)量。當(dāng)調(diào)整速率后飛船由A到B作橢圓軌道飛行時(shí)，若以地心為參考點(diǎn)，飛船所受外力矩為零，角動(dòng)量守恒。則有Rmv =3Rmv

再以飛船、地球?yàn)檠芯繉?duì)象，僅有保守內(nèi)力作功，故機(jī)械能守恒。以飛船距地?zé)o窮遠(yuǎn)時(shí)為引力勢能零點(diǎn)，則有 mv - = mv -

聯(lián)立上述三個(gè)方程，解得v = v

五、剛體力學(xué)易錯(cuò)題剖析

該部分內(nèi)容很多，既有許多新的概念和規(guī)律，又綜合運(yùn)用了前面的知識(shí)，是力學(xué)課程中最為綜合的部分。學(xué)生習(xí)慣用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的知識(shí)求解，而在求解剛體有關(guān)問題時(shí)往往感到很困難。難點(diǎn)有：不會(huì)用定積分求解剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；對(duì)剛體平面運(yùn)動(dòng)看成平動(dòng)和繞通過任意基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成理解模糊；有關(guān)剛體的其他問題：純滾動(dòng)、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)加速度、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題的一題多解等。

例1：一質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，質(zhì)量為m，長為l，求其對(duì)通過桿中心的虛線軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。

分析：此題較簡單，但必須用定積分方法求解，學(xué)生不會(huì)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找出質(zhì)量元，寫出dI表達(dá)式，對(duì)此題感到束手無策。

解：沿桿斜向上建立X軸坐標(biāo)和質(zhì)量元，如圖所示，

dI=r dm=（xsinα） dx

對(duì)上式兩邊積分，注意積分變量上下限為- ， 。

例2：固定斜面傾角為θ，質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓柱體沿斜面向下作無滑滾動(dòng)，求：圓柱體質(zhì)心的加速度a 及斜面作用于柱體的摩擦力F。[1]

學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：不知道圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為摩擦力F=μmgcosθ；建立方程時(shí)少一個(gè)無滑滾動(dòng)的條件a =Rβ。

解：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理， + + =M

在斜面上建立直角坐標(biāo)O—xyz，則Wsinθ-F=ma

利用對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理，有FR=Iβ= mR β

圓柱體作無滑滾動(dòng)時(shí)，a =Rβ，解以上方程，得a = gsinθ F= mgsinθ

六、簡諧振動(dòng)和簡諧波易錯(cuò)題剖析

力學(xué)中的簡諧振動(dòng)是最基本的振動(dòng)，掌握簡諧振動(dòng)的規(guī)律是研究波動(dòng)的基礎(chǔ)。本部分難點(diǎn)主要有：確定初相位；用動(dòng)力學(xué)方程（解析法）和X—t圖線及旋轉(zhuǎn)矢量（幾何法）表達(dá)簡諧振動(dòng)；用簡諧波的一般表達(dá)式寫出波動(dòng)方程。

例1：作簡諧振動(dòng)的物體，由平衡位置向x軸正向運(yùn)動(dòng)，試問經(jīng)過下列路程所需的最短時(shí)間各為周期的幾分之幾？（1）由平衡位置到最大位移處；（2）由平衡位置到A/2處；（3）由A/2處到最大位移處。[4]

學(xué)生把質(zhì)點(diǎn)的簡諧振動(dòng)當(dāng)作是平均用時(shí)，因此，不加思索地得出答案：（1）T/4 （2）T/8 （3）T/8

正確解：按題意作如圖所示的旋轉(zhuǎn)矢量圖，平衡位置在O點(diǎn)。

（1）由平衡位置到最大位移處，圖中的旋轉(zhuǎn)矢量從位置1到位置3，故Δφ1=π/2則所需時(shí)間間隔：Δt =Δφ /ω=T/4

（2）由平衡位置到A/2處，圖中旋轉(zhuǎn)矢量從位置1到位置2，有Δφ =π/6，則所需時(shí)間：Δt =Δφ /ω=T/12

（3）由A/2處到最大位移處，圖中旋轉(zhuǎn)矢量從位置2到位置3，有Δφ =π/3，則所需時(shí)間：Δt =Δφ /ω=T/6

例2：如圖所示為一平面簡諧波在t=0時(shí)刻的波形圖，求該波的波動(dòng)方程。[5]

學(xué)生解此題時(shí)的錯(cuò)誤有：認(rèn)為初相位為零；不知道用簡諧波的一般表達(dá)式表示該波的波動(dòng)方程；不會(huì)用旋轉(zhuǎn)矢量或解析法求初相位。

解：由圖可知振幅A=0.04m，波長λ=0.40m，波速u=0.08m·s-1，則ω=2π/T=2πu/λ=（2π/5）s-1

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法分析，知φ=-π/2

因此波動(dòng)方程為y=0.04cos t- - （m）

七、結(jié)論

綜上所述，分析學(xué)生在力學(xué)解題中出現(xiàn)的種種錯(cuò)誤，其原因是從高中到大學(xué)的學(xué)習(xí)臺(tái)階大，適應(yīng)不了大學(xué)的教學(xué)方法，對(duì)概念和規(guī)律的形成方法不清楚，死記硬背結(jié)論，亂套公式。為此，教師在教學(xué)中要深入了解學(xué)生的基礎(chǔ)，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)和物理學(xué)思維方法的教學(xué)，注意與中學(xué)物理知識(shí)的銜接，不能脫離學(xué)生的實(shí)際把大學(xué)力學(xué)內(nèi)容直接“灌輸”給學(xué)生。對(duì)概念、規(guī)律的形成及思維方法要求學(xué)生盡可能地用簡潔準(zhǔn)確的語言、公式、圖像表示出來。布置作業(yè)時(shí)不要貪多而要求精，注意題型的多樣化，既要有檢驗(yàn)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的一些理論性題目，還要有理論聯(lián)系實(shí)際的生活原題，使學(xué)生充分了解問題情境，活學(xué)活用知識(shí)，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

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[3]焦夢(mèng)周.普通物理力學(xué)習(xí)作課指導(dǎo)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1993.

[4]樊麗娟.馮云光.旋轉(zhuǎn)矢量在簡諧振動(dòng)和簡諧波問題中的應(yīng)用[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（6）：163-164.

[5]馬文蔚.物理學(xué)（第5版）習(xí)題分析與解答[M].北京：高等教育出版社，2006：232-233.