劉春輝

(赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

0 引 言

在模糊邏輯的理論與應用研究中，蘊涵連接詞“如果…，那么…”起著非常重要的作用. 因此，探討在模糊邏輯推理中經(jīng)常使用的蘊涵算子的共同本質(zhì)是一項十分有意義的工作. 作為對邏輯蘊涵連接詞進行代數(shù)化處理嘗試的成果，吳望名教授[1]提出了Fuzzy蘊涵代數(shù)的概念，簡稱FI代數(shù). 值得注意的是，眾多著名的邏輯代數(shù)，如MV代數(shù)、格蘊涵代數(shù)、BL-代數(shù)、MTL-代數(shù)、R0-代數(shù)、剩余格代數(shù)以及Heyting代數(shù)等都可看作FI代數(shù)的特例，因此，對FI代數(shù)的研究具有廣泛的代表性. 迄今為止，已有學者針對這一代數(shù)結(jié)構(gòu)做了大量研究工作，獲得了若干具有理論價值和應用前景的成果[2-10].濾子作為一種工具性概念在命題邏輯系統(tǒng)及與之相匹配的語義代數(shù)完備性證明中扮演著重要角色. 從邏輯觀點來看，各種不同的濾子對應不同的可證公式集. 鑒于此，許多學者從不同的角度對FI代數(shù)提出了多種不同形式的濾子概念，并對其性質(zhì)和模糊化問題進行了深入細致的研究[11-15].

近年來，借助拓撲工具描述邏輯問題越來越受到學術(shù)界的關(guān)注，為邏輯問題的研究提供了新的方法和途徑. 其中，文獻[16]在R0-代數(shù)上以全體MP濾子為基礎(chǔ)建立了拓撲空間并討論了該空間的若干拓撲性質(zhì). 文獻[17-18]分別討論了R0-代數(shù)和FI代數(shù)的素濾子拓撲性質(zhì). 文獻[19-20]分別研究了剩余格和FI代數(shù)中素模糊濾子的拓撲性質(zhì). 文獻[21-24]分別在BL代數(shù)、R0-代數(shù)和FI代數(shù)中基于MP濾子誘導的同余關(guān)系構(gòu)造了一致結(jié)構(gòu)和一致拓撲，并研究了相應一致拓撲空間的性質(zhì).受上述一系列工作的啟發(fā)，本文基于由模糊濾子誘導的同余關(guān)系在FI-代數(shù)上構(gòu)造一致結(jié)構(gòu)和一致拓撲，討論一致拓撲空間的拓撲性質(zhì)及商空間性質(zhì)，獲得了一些有意義的結(jié)論.

1 預備知識

定義1[1]若對任意的x,y,z∈X，條件(I1)～(I5)成立，則稱(2,0)型代數(shù)(X,→,0)為Fuzzy蘊涵代數(shù)，簡稱為FI代數(shù).

(I1)x→(y→z)=y→(x→z)；

(I2) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1；

(I3)x→x=1；

(I4)x→y=y→x=1?x=y；

(I5) 0→x=1，

其中，1=0→0.

為敘述方便，如無特殊說明，以下總將FI代數(shù)(X,→,0)簡記為X. 為了討論FI代數(shù)的性質(zhì)，文獻[1]在FI代數(shù)X上定義偏序≤滿足：

x≤y?x→y=1，?x,y∈X.

引理1[1]設(shè)X為FI代數(shù)，則?x,y,z∈X有

(I6)x→1=1，1→x=x；

(I7)x≤y?z→x≤z→y,y→z≤x→z；

(I8)x→y≤(z→x)→(z→y)；

(I9) ((x→y)→y)→y=x→y；

(I10)x≤(x→y)→y，y≤(x→y)→y.

定義2[1]設(shè)X為FI代數(shù)，?≠F?X.若1∈F且?x∈F，y∈X，x→y∈F?y∈F,則稱F為X的濾子.

設(shè)X是非空集合，X上的一個模糊集是指映射f：X→[0,1]. 對X上的模糊集f和t∈[0,1]，稱集合ft={x∈X|f(t)≥t}為f的t-水平子集.設(shè)f和g是X上的2個模糊集，{fλ}λ∈Λ是X上的一族模糊集，?x∈X，定義：

(1) (f∩g)(x)=f(x)∧g(x)；

(2) (f∪g)(x)=f(x)∨g(x)；

(3) (∩λ∈Λfλ)(x)=∧λ∈Λfλ(x)；

(4) (∪λ∈Λfλ)(x)=∨λ∈Λfλ(x).

定義3[13-14]設(shè)X為FI代數(shù)，f為X上的模糊集，若?x,y∈X，下列條件成立：

(FF1)f(1)≥f(x)；

(FF2)f(y)≥f(x)∧f(x→y)，

則稱f為X的模糊濾子.X的全體模糊濾子構(gòu)成的集合記為FFil(X).

引理2[13-14]設(shè)X為FI代數(shù)，f∈FFil(X)，則?x,y,z∈X,下列各結(jié)論成立：

(FF3)f(x→y)=f(1)?f(x)≤f(y)；

(FF4)x≤y?f(x)≤f(y)；

(FF5)f(x→y)∧f(y→z)≤f(x→z)；

(FF6)f(x→y)≤f(y→z)∧f(x→z)；

(FF7)f(x→y)≤f(z→x)∧f(z→y).

定義4[14]設(shè)X為FI代數(shù)，若R滿足：

(1) 自反性、對稱性和傳遞性；

(2) ?x,y,z∈X，xRy?(x→z)R(y→z)且(z→x)R(z→y)，

則稱X上的二元關(guān)系R?X×X是X上的同余關(guān)系.

引理3[14]設(shè)X為FI代數(shù)，f∈FFil(X).定義X上二元關(guān)系≡f：X×X→X滿足： ?x,y∈X,

x≡fy?f(x→y)=f(y→x)=f(1)，

2 基于模糊濾子的一致拓撲空間

設(shè)X是一個非空集合，U,V?X×X，定義：

(1)U°V={(x,y)∈X×X|?z∈X,(x,z)∈V, (z,y)∈U}；

(2)U-1={(x,y)∈X×X|(y,x)∈U}；

(3) Δ={(x,x)∈X×X|x∈X}.

定義5[25-26]設(shè)X是非空集合，ω是X×X的非空子集族. 若下列各條件成立：

(U1) ?U∈ω，Δ?U；

(U2) ?U∈ω，U-1∈ω；

(U3) ?U∈ω，?V∈ω，V°V?U；

(U4) ?U,V∈ω，U∩V∈ω；

(U5)U∈ω且U?V?X×X，蘊涵V∈ω，

則稱ω是X上的一致結(jié)構(gòu)，稱(X,ω)是一致空間.

設(shè)ω是X上的一致結(jié)構(gòu)，x∈X，U∈ω，記U[x]={y∈X|(x,y)∈U}，則ω可自然誘導拓撲：

τ={O?X|?x∈O,?U∈ω, s.t.U[x]?O}，

稱之為X上的一致拓撲，并稱(X,τ)為一致拓撲空間.

下面在FI代數(shù)上基于模糊濾子構(gòu)造一致結(jié)構(gòu)和一致拓撲空間. 為此，設(shè)X為FI代數(shù)，且記?≠FFil*(X)?FFil(X)，滿足：

(1) ?f,g∈FFil*(X)，f(1)=g(1)；

命題1設(shè)X為FI代數(shù)，?f∈FFil*(X)，記集合Uf={(x,y)∈X×X|x≡fy}，則X×X的子集族ω*={Uf|f∈FFil*(X)}滿足條件(U1)～(U4).

證明首先，由≡f的自反性、對稱性和傳遞性知，ω*滿足(U1)～(U3). 其次，任取Uf,Ug∈ω*，則f∩g∈FFil*(X)，從而f(1)=g(1)=(f∩g)(1)，故?x,y∈X，f(x→y)=f(1)且g(x→y)=g(1)當且僅當(f∩g)(x→y)=(f∩g)(1)，因此可得Uf∩Ug=Uf∩g.再由f∩g∈FFil*(X)，可得Uf∩Ug∈ω*，即ω*亦滿足(U4).

定理1設(shè)X為FI代數(shù)，定義集合

ω={U?X×X|?Uf∈ω*, s.t.Uf?U}，

則ω是X上的一致結(jié)構(gòu)，從而(X,ω)是一致空間.

證明由命題1和ω的定義知，ω滿足條件(U1)～(U4)，因此只需證明ω滿足條件(U5)即可. 事實上，設(shè)U∈ω且U?V?X×X，則存在Uf∈ω*使得Uf?U?V，故V∈ω.

由定義5和定理1，有

定義6設(shè)X為FI代數(shù)，則

τ={O?X|?x∈O,?U∈ω, s.t.U[x]?O}

為X上的一個拓撲，稱之為X上基于模糊濾子的一致拓撲，并稱(X,τ)為X上基于模糊濾子的一致拓撲空間. 特別地，當FFil*(X)={f}時，ω={U?X×X|Uf?U}，此時記X上基于模糊濾子的一致拓撲τ=τf.

注2設(shè)X為FI代數(shù)，由定義6中拓撲τ的定義知，?x∈X及f∈FFil*(X)，Uf[x]均為點x的開鄰域.

例1設(shè)X={0,a,b,1}，定義X上二元運算“→”如表1所示，則(X,→,0)是一個FI代數(shù). 定義X上模糊集f使f(0)=f(b)=α,f(a)=f(1)=β,0≤α<β≤1，則f∈FFil(X). 令FFil*(X)={f}，則

ω*={Uf|f∈FFil*(X)}=

{{(x,y)∈X×X|x≡fy}}=

{{(0,0),(a,a),(b,b),(1,1),(a,1),(1,a),(0,b),(b,0)}}

從而ω={U?X×X|?Uf∈ω*, s.t.Uf?U}是X上的一個一致結(jié)構(gòu)，且Uf[0]=Uf[b]={0,b}，Uf[a]=Uf[1]={a,1}. 因此，X上基于模糊濾子的一致拓撲τ=τf={?,{0,b},{a,1},X}.

表1 二元運算“→”的定義Table 1 Definition of unary operator “→”

定理2設(shè)X為FI代數(shù)，若χ{1}∈FFil*(X)，則X上基于模糊濾子的一致拓撲τ是離散拓撲.

證明設(shè)f=χ{1}∈FFil*(X)，則?x∈X，有

于是，由(I4)得

Uf[x]={y∈X|x≡fy}=

{y∈X|f(x→y)=f(y→x)=f(1)=1}=

{y∈X|x→y=y→x=1}=

{y∈X|y=x}={x}，

故{x}=Uf[x]∈τ，即(X,τ)中任意單點集都是開集，因此τ是離散拓撲.

注3定理2的逆命題一般不真. 例如，設(shè)X為例1中所給的FI代數(shù)，在X上定義模糊集g，使得

g(0)=g(a)=α，g(b)=β，g(1)=γ，

0≤α<β<γ≤1，則可驗證g∈FFil(X). 令FFil*(X)={g}，則

ω*={Uf|f∈FFil*(X)}=

{{(x,y)∈X×X|x≡gy}}=

{{(0,0),(a,a),(b,b),(1,1)}}，

于是Ug[x]={x},?x∈X，τ=τg是離散拓撲. 顯然χ{1}?FFil*(X).

下面討論FI代數(shù)X上基于模糊濾子的一致拓撲空間(X,τ)的拓撲性質(zhì).

定理3設(shè)X為FI代數(shù)，則對任意的x∈X及f∈FFil*(X)，都有Uf[x]是一致拓撲空間(X,τ)中的既開又閉集.

證明任取x∈X和f∈FFil*(X)，首先，由注2知，Uf[x]是(X,τ)中的開集. 其次，證明Uf[x]為(X,τ)中的閉集.只須證對任意的x∈X，(Uf[x])c∈τ. 為此，假設(shè)y∈(Uf[x])c，斷言Uf[y]?(Uf[x])c. 事實上，任取z∈Uf[y]，則y≡fz，從而f(y→z) =f(z→y)=f(1).若z?(Uf[x])c，則z∈Uf[x], 從而x≡fz，進而f(x→z)=f(z→x)=f(1). 于是由(FF5)及f∈FFil(X)得

f(1)=f(y→z)∧f(z→x)≤f(y→x)，

f(1)=f(x→z)∧f(z→y)≤f(x→y)，

故由(FF1)得f(x→y)=f(y→x)=f(1)，從而x≡fy，進而y∈Uf[x]，這與y∈(Uf[x])c矛盾！所以z∈(Uf[x])c，因此Uf[y]?(Uf[x])c.表明(Uf[x])c∈τ，從而Uf[x]也是(X,τ)中的閉集.

引理4[25]拓撲空間(X,T)是非連通的當且僅當X有既開又閉的非空真子集.

推論1設(shè)X為FI代數(shù)，則X上的基于模糊濾子的一致拓撲空間(X,τ)是非連通空間.

證明由定理3和引理4立即證得.

定理4設(shè)X為FI代數(shù)，F(xiàn)?X是X的濾子且χF∈FFil*(X)，則F是一致拓撲空間(X,τ)中的既開又閉集.

注4定理4的逆命題一般不真. 即當F是X的濾子且為一致拓撲空間(X,τ)中的既開又閉集時，不必有χF∈FFil*(X). 例如，考慮例1中所給一致拓撲空間(X,τ)，則F={a,1}是FI代數(shù)X的濾子，且由定理3知，F(xiàn)={a,1}=Uf[a]是(X,τ)中的既開又閉集，但由

知，χF≠f，從而χF?FFil*(X).

命題2設(shè)X為FI代數(shù)，f,g∈FFil(X)，f(1)=g(1)且f?g，即f(x)≤g(x),?x∈X，則Uf?Ug.

證明設(shè)f,g∈FFil(X)，f(1)=g(1)且f?g. 任取(x,y)∈Uf，則

g(1)=f(1)=f(x→y)≤g(x→y)，

g(1)=f(1)=f(y→x)≤g(y→x)，

而由g∈FFil(X)及(FF1)可得g(1)≥g(x→y)，且g(1)≥g(y→x)，故g(x→y)=g(y→x)=g(1), 從而有(x,y)∈Ug，因此Uf?Ug.

定理5設(shè)X為FI代數(shù)，f,g∈FFil(X)，f(1)=g(1)且g?f，則τf?τg.

證明由定義6，令

任取O∈τf，則?x∈O，?U∈ω1使得U[x]?O，從而Uf[x]?U[x]?O. 又g?f，所以由命題2得Ug?Uf，故Ug[x]?Uf[x]?U[x]?O，因此O∈τg，表明τf?τg.

注5定理5的逆命題一般不成立. 例如，設(shè)X={0,a,b,c,1}，定義X上二元運算“→”如表2所示，則(X,→,0)是一個FI代數(shù). 定義X上的2個模糊集f和g滿足：

f(0)=f(a)=0.3，f(b)=f(c)=f(1)=0.8，

g(0)=g(a)=0.5，f(b)=0.6,f(c)=f(1)=0.8,

則f,g∈FFil(X)且f(1)=g(1).

令FFil*(X)={f}，可得

τf={?,{0,a},{b,c,1},X}.

令FFil*(X)={g}，可得

τg={?,{0},{a},,{c,1},{0,a},{0,b},{a,b}, {0,a,b},{0,c,1},{a,c,1},{b,c,1},{0,b,c,1}, {a,b,c,1},{0,a,c,1},X}.

則τf?τg，但g?f顯然不成立.

表2 二元運算“→”的定義Table 2 Definition of unary operator “→”

為了討論基于模糊濾子的一致拓撲空間的緊致性，首先引用如下定義：

定義7[25-26]設(shè)(X,T)是拓撲空間且A?X，若A的任一開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱A是X的緊子集. 若X本身為緊子集，則稱(X,T)為緊空間.若x∈X有緊鄰域，則稱X在點x處是局部緊的. 若X在其中每一點處都是局部緊的，則稱(X,T)為局部緊空間.

推論2設(shè)X為FI代數(shù)，則X上基于模糊濾子的一致拓撲空間(X,τ)是局部緊空間.

引理5[25]若(X,ω)是一致空間，則一致拓撲空間是完全正則空間.

推論3設(shè)X為FI代數(shù)，則X上基于模糊濾子的一致拓撲空間(X,τ)是完全正則空間.

總結(jié)推論1～推論3,立得以下定理：

定理8設(shè)X為FI代數(shù)，則X上基于模糊濾子的一致拓撲空間(X,τ)是非連通、局部緊的完全正則空間.

定理9設(shè)X為FI代數(shù)，f∈FFil(X)，則下列陳述等價：

(1) 一致拓撲空間(X,τf)是緊空間；

(2) 一致空間(X,ω)是全有界的；

證明(1)?(2)： 由文獻[25]第6章定理32可立得.

關(guān)于基于模糊濾子的一致拓撲空間的分離性，有以下結(jié)論：

定理10設(shè)X為FI代數(shù)，則下列陳述等價：

(1) 一致拓撲空間(X,τ)是T0空間；

(2) 一致拓撲空間(X,τ)是T1空間；

(3) 一致拓撲空間(X,τ)是T2空間.

證明(1)?(2)： 設(shè)(X,τ)是T0空間且x,y∈X使得x≠y，則由(I4)得x→y≠1或y→x≠1. 不妨設(shè)x→y≠1，則由(X,τ)是T0空間知，存在O∈τ使得x→y∈O且1?O，從而存在f∈FFil*(X)使得Uf[x→y]?O. 由假設(shè)，顯然有1?Uf[x→y]且x→y?Uf[1]，故(X,τ)是T1空間.

(2)?(3)： 設(shè)(X,τ)是T1空間且x,y∈X使x≠y，則存在O1,O2∈τ使得x∈O1，y?O1且y∈O2，x?O2，所以存在f,g∈FFil*(X)使得Uf[x]?O1且Ug[x]?O2. 記h=f∩g，則由注1得h∈FFil*(X)，往證Uh[x]∩Uh[y]=?. 事實上，設(shè)z∈Uh[x]∩Uh[y]，則h(z→x)=h(x→z)h(z→y)=h(y→z)=h(1)，從而由(FF5)得

h(1)=h(x→z)∧h(z→y)≤h(x→y)，

h(1)=h(y→z)∧h(z→x)≤h(y→x)，

故由(FF1)得h(x→y)=h(y→x)=h(1)，于是由h?f得y∈Uh[x]?Uf[x]?O1，這與y?O1矛盾！因此(X,τ)是T2空間.

(3)?(1)： 顯然.

從而b∈∩{Uf[A]|Uf∈ω*}.

定理12設(shè)X是FI代數(shù)，C為X上基于模糊濾子的一致拓撲空間(X,τ)的緊子集，O∈τ且C?O，則?f∈FFil*(X)使得C?Uf[C]?O.

最后，討論FI代數(shù)中蘊涵算子關(guān)于一致拓撲的連續(xù)性.

定義10設(shè)(X,→,0)是FI代數(shù)，T是X上的拓撲，若運算“→”關(guān)于拓撲T連續(xù)，則稱(X,T)是拓撲FI代數(shù).

注6設(shè)(X,→,0)是FI代數(shù)，T是X上的拓撲，A,B?X，定義

A→B： ={a→b∈X|a∈A,b∈B}，

則運算“→”關(guān)于拓撲T連續(xù)等價于?O∈T，?a,b∈X，當a→b∈O時，存在O1,O2∈T使得a∈O1，b∈O2且O1→O2?O.

定理13設(shè)(X,→,0)是FI代數(shù)，τ是X上基于模糊濾子的一致拓撲，則(X,τ)是拓撲FI代數(shù).

證明任取a,b∈X，O∈τ，設(shè)a→b∈O，則由τ的定義知，存在U∈ω使U[a→b]?O，且存在f∈FFil*(X)使Uf?U，于是可斷言：

Uf[a]→Uf[b]?Uf[a→b].

事實上，設(shè)x→y∈Uf[a]→Uf[b]，則x∈Uf[a]且y∈Uf[b]，從而x≡fa且y≡fb，故由≡f為X上的同余關(guān)系得(a→b)≡f(x→y)，則(a→b,x→y)∈Uf?U，故x→y∈Uf[a→b]. 又由Uf?U得Uf[a→b]?U[a→b]，故令O1=Uf[a]且O2∈Uf[b]，則由注2知，O1,O2∈τ，a∈O1，b∈O2且O1→O2=Uf[a]→Uf[b]?Uf[a→b]?O. 因此(X,τ)是拓撲FI代數(shù).

3 商空間

本節(jié)總假設(shè)(X,τ)是拓撲FI代數(shù)，且τ為X上基于模糊濾子的一致拓撲.

定義11[25]設(shè)X為FI代數(shù)，f∈FFil(X)，稱按引理3中方式定義的商FI代數(shù)X/f上使得投影p：X→X/f為連續(xù)開映射的最大拓撲τ*為X/f上的商拓撲，并稱(X/f,τ*)為商空間.

注7設(shè)X為FI代數(shù)，f∈FFil(X)，則在FI代數(shù)(X/f,,中，?f(x→y)=f(1), ?

定理14設(shè)X是FI代數(shù)，且τ為X上基于模糊濾子的一致拓撲，f∈FFil(X)，則商空間(X/f,τ*)是Hausdorff空間.

定理15設(shè)X是FI代數(shù)，且τ為X上基于模糊濾子的一致拓撲，f∈FFil(X)，則商空間(X/f,τ*)是局部緊空間.

引理6[25]任一局部緊的Hausdorff空間都是正則空間.

推論4設(shè)X是FI代數(shù)，且τ為X上基于模糊濾子的一致拓撲，f∈FFil(X)，則商空間(X/f,τ*)是正則空間.

證明由定理14、定理15和引理6立得.

定理16設(shè)X是FI代數(shù)，且τ為X上基于模糊濾子的一致拓撲，f∈FFil(X)，則對任意的t∈[0,1]，ft是一致拓撲空間(X,τf)中的閉集.

定理17設(shè)X是FI代數(shù)，且τ為X上基于模糊濾子的一致拓撲，f∈FFil(X)，且商空間(X/f,τ*)是離散空間，則對任意的t∈[0,1]，ft是一致拓撲空間(X,τf)中的開集.

4 結(jié)論與展望

將拓撲學概念和原理應用于FI代數(shù)問題的研究，基于模糊濾子誘導的同余關(guān)系在FI代數(shù)上構(gòu)造了一致結(jié)構(gòu)和一致拓撲，詳細討論了這類空間的拓撲性質(zhì)，獲得了一些有意義的結(jié)論. 不但豐富和完善了FI代數(shù)理論的研究內(nèi)容，而且為運用拓撲學工具描述邏輯問題提供了技術(shù)支持，進一步促進了拓撲學與模糊邏輯理論的交叉滲透.