劉春輝（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024001）

剩余格的模糊濾子理論

劉春輝
（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024001）

運用模糊集的方法和原理進一步深入研究剩余格的濾子問題.在剩余格中引入了模糊預(yù)線性濾子，模糊可除濾子和模糊G livenko濾子三類新的模糊濾子概念，給出了它們的若干性質(zhì)和等價刻畫.系統(tǒng)討論了這三類模糊濾子以及模糊正關(guān)聯(lián)濾子，模糊Boolean濾子，模糊MV濾子和模糊正則濾子間的相互關(guān)系，證明了一個模糊濾子為模糊MV濾子當(dāng)且僅當(dāng)它既是模糊正則濾子又是模糊可除濾子的結(jié)論.

剩余格；模糊濾子；模糊預(yù)線性濾子；模糊可除濾子；模糊G livenko濾子

1　引言

非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論是人工智能領(lǐng)域處理不確定信息的重要工具，其主要研究方向之一是對與各種邏輯系統(tǒng)相匹配的邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究，相關(guān)的研究成果既促進了非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論的發(fā)展，又豐富了代數(shù)學(xué)的內(nèi)容［1］.在為數(shù)眾多的非經(jīng)典邏輯代數(shù)系統(tǒng)中，由Ward和Dilworth于上個世紀(jì)30年代在文獻［2］中首次提出的剩余格是一類重要且應(yīng)用廣泛的代數(shù)系統(tǒng)，它是Heyting代數(shù)的合理推廣.Pavelka以Lukasiew icz公理系統(tǒng)為背景，將剩余理論引入到非經(jīng)典數(shù)理邏輯的研究中，建立了一類相當(dāng)寬泛的邏輯結(jié)構(gòu)，并以此為基礎(chǔ)，成功地解決了Lukasiew icz公理系統(tǒng)的語義完備性問題［3］.目前，剩余格已經(jīng)被學(xué)者們公認為一類重要的非經(jīng)典數(shù)理邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)，是模糊邏輯中相當(dāng)理想的代數(shù)框架，諸如M TL代數(shù)，BL代數(shù)，MV代數(shù)，R?模和G livenko代數(shù)等著名的邏輯代數(shù)系統(tǒng)都是其特殊子類，因此對剩余格結(jié)構(gòu)的深入研究具有廣泛而基本的重要意義，相關(guān)研究成果也頗為豐富［4-10］.

眾所周知，濾子是非經(jīng)典邏輯代數(shù)研究領(lǐng)域的一個重要的概念，它們對各種邏輯系統(tǒng)及與之匹配的邏輯代數(shù)的完備性問題的研究發(fā)揮著極其重要的作用.因此，這方面的研究工作一直深受學(xué)者們的廣泛關(guān)注［11-18］.其中，文獻［14］在剩余格中引入了布爾濾子和正關(guān)聯(lián)濾子的概念并研究了它們的性質(zhì).文獻［15］又在剩余格中引入了MV-濾子和正則濾子等概念，較為深入地研究了它們的特性和模糊化問題，并討論了各類濾子概念間的相互關(guān)系.文獻［16-18］對剩余格的濾子及其模糊化問題作了更進一步的研究和探討.在上述工作的基礎(chǔ)上，本文進一步深入系統(tǒng)地研究剩余格的模糊濾子問題，給出了剩余格的模糊正關(guān)聯(lián)濾子，模糊Boolean濾子，模糊MV-濾子和模糊正則濾子的若干新的等價刻畫.引入模糊預(yù)線性濾子，模糊可除濾子和模糊Glivenko濾子幾類新的概念，考察了它們的性質(zhì)和等價刻畫，并利用它們的性質(zhì)獲得了幾類特殊剩余格的特征定理.最后，系統(tǒng)梳理了各類模糊濾子概念間的相互關(guān)系.獲得了一些有意義的結(jié)果.進一步豐富和完善了剩余格的濾子問題的理論體系.

2　預(yù)備知識

定義2.1［2，4，10，15］（i）稱（2，2，2，2，0，0）型代數(shù)（L，≤，∧，∨，?，→，0，1）為一個剩余格，簡稱L為一個剩余格，如果下列各條件成立：

（RL1）（L，∧，∨，0，1）是分別以0和1為最小元和最大元的有界格；

（RL2）（L，?，1）是一個以1為單位元的交換半群；

（RL3）（?，→）是L上的伴隨對，即（?x，y，z∈L）（x?y≤z?x≤y→z）.

（ii）稱剩余格L為一個預(yù)線性剩余格，如果L滿足：（?x，y∈L）（（x→y）∨（y→x）=1）.

（iii）稱剩余格L為一個可除剩余格，如果L滿足：（?x，y∈L）（x∧y=x?（x→y））.

（iv）稱剩余格L為一個正則剩余格，如果L滿足：（?x∈L）（x′′=x）.其中x′=x→0.

（v）稱剩余格L為一個G livenko代數(shù)，如果L滿足：（?x∈L）（（x′′→x）′′=1）.

（vi）稱剩余格L為一個BL代數(shù)，如果L為可除的預(yù)線性剩余格.

（vii）稱剩余格L為一個MV代數(shù)，如果L為可除的正則剩余格［15］.

引理2.1［2-10，14-18］設(shè)L是剩余格，則下列各條件成立：

（RL4）（?x，y∈L）（x≤y?x→y=1）；

（RL5）（?x∈L）（x→x=1，x→1=1，1→x=x）；

（RL6）（?x，y∈L）（y≤x→y，x∨y≤（x→y）→y）；

（RL7）（?x，y∈L）（x?y≤x?（x→y）≤x∧y≤x∧（x→y）≤x）；

（RL8）（?x，y，z∈L）（（x→y）→z≤x→（y→z））；

（RL9）（?x，y∈L）（x?（x→y）≤y≤x→（x?y））；

（RL10）（?x，y，z∈L）（（x→y）?（y→z）≤x→z）；

（RL11）（?x，y，z∈L）（（x≤y）?（x?z≤y?z，z→x≤z→y，y→z≤x→z））；

（RL12）（?x，y，z∈L）（x→（y→z）=（x?y）→z=y→（x→z））；

（RL13）（?x，y，z∈L）（（y∨z）?x=（y?x）∨（z?x），x∨（y?z）≥（x∨y）?（x∨z））；

（RL14）（?x，y，z∈L）（（y∨z）→x=（y→x）∧（z→x），特別地：（y∨z）→y=z→y）；

（RL15）（?x，y，z∈L）（x→（y∧z）=（x→y）∧（x→z），特別地：y→（y∧z）=y→z）；

（RL16）（?x，y，z∈L）（x→（y∨z）≥（x→y）∨（x→z），（y∧z）→x≥（y→x）∨（z→x））；

（RL17）（?x，y，z∈L）（y→z≤（x→y）→（x→z）≤x→（y→z））；

（RL18）（?x，y，z∈L）（x→y≤（y→z）→（x→z））；

（RL19）（?x，y∈L）（（（x→y）→y）→y=x→y）；

（RL20）（?x，y，z∈L）（x?（y→z）≤y→（x?z）≤（x?y）→（x?z））；

（RL21）（?x，y，z∈L）（（y→x）?（（x∧y）→z）≤（y→（x∧y））∧（y?z））；

（RL22）（?x，y，z，w∈L）（（x→y）?（z→w）≤（x∨z）→（y∨w））；

（RL23）（?x，y，z，w∈L）（（x→y）?（z→w）≤（x∧z）→（y∧w））；

定義2.2［16-17］設(shè)L是剩余格，?/=F?L.稱F為L的濾子，若F滿足

（F1）（?x，y∈L）（（x∈F且x≤y）?y∈F）；

（F2）（?x，y∈L）（（x∈F且y∈F）?x?y∈F）.

引理2.2［16-17］設(shè)L是剩余格，?/=F?L.則F為L的濾子當(dāng)且僅當(dāng)F滿足

（F3）1∈F；

（F4）（?x，y∈L）（（x∈F且x→y∈F）?y∈F）.

定義2.2［16，18］設(shè)L是剩余格，f：L→［0，1］為L上的模糊集.稱f為L的模糊濾子，若f滿足

（FF1）（?x，y∈L）（x≤y?f（y）≥f（x））；

（FF2）（?x，y∈L）（f（x?y）≥f（x）∧f（y））.

注2.1設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子，則對任意的x，y∈L有f（x）=f（y）=f（1）?f（x∧y）=f（1）?f（x?y）=f（1）?f（x?（x→y））=f（1）.

引理2.3［16］設(shè)L是剩余格，f為L上的模糊集.則f為L的模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)f滿足

（FF3）（?x∈L）（f（1）≥f（x））；

（FF4）（?x，y∈L）（f（y）≥f（x）∧f（x→y））.

引理2.4［16］設(shè)L是剩余格，f為L上的模糊集.則f為L的模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)f滿足

（FF5）（?x，y，z∈L）（x?y≤z?f（z）≥f（x）∧f（y））.

3　剩余格的幾類特殊模糊濾子的新刻畫

定義3.1［12，15］設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.稱f為L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子，若f滿足

（FP）（?x，y，z∈L）（f（x→z）≥f（x→（y→z））∧f（x→y））.

注3.1在文獻［15］和眾多相關(guān)文獻中，模糊正關(guān)聯(lián)濾子也稱為模糊G-濾子.關(guān)于模糊正關(guān)聯(lián)濾子的等價刻畫請參閱文獻［12］定理2.5和文獻［15］定理4.21.

定理3.1設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.則下列各條件等價：

（1）f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子；

（2）（?x，y∈L）（f（（x∧（x→y））→y）=f（1））；

（3）（?x，y∈L）（f（（x∧y）→（x?y））=f（1））；

（4）（?x，y∈L）（f（（x∧（x→y））→（x?y））=f（1））；

（5）（?x，y∈L）（f（（x?（x→y））→（x?y））=f（1））；

（6）（?x，y∈L）（f（（x∧（x→y））→（x∧y））=f（1））；

（7）（?x，y∈L）（f（（x∧（x→y））→（x?（x→y）））=f（1））；

（8）（?x，y∈L）（f（（x∧（x→y））→（y∧（y→x）））=f（1））.

證（1）?（2）：設(shè)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子.任取x，y∈L，因為x∧（x→y）≤x→y且x∧（x→y）≤x，所以由（RL4）得（x∧（x→y））→（x→y）=1且（x∧（x→y））→x=1.故由（FP）得f（（x∧（x→y））→y）≥f（（x∧（x→y））→（x→y））∧f（（x∧（x→y））→x）= f（1）∧f（1）=f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（x∧（x→y））→y）=f（1），即（2）成立.

（2）?（3）：設(shè)（2）成立，則?x，y∈L，f（（x∧（x→（x?y）））→（x?y））=f（1）.又因為由（RL9）得y≤x→（x?y），所以x∧y≤x∧（x→（x?y）），從而由（RL11）得（x∧y）→（x?y）≥（x∧（x→（x?y）））→（x?y）.故由（FF1）得f（（x∧y）→（x?y））≥f（（x∧（x→（x?y）））→（x?y））=f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（x∧y）→（x?y））=f（1），即（3）成立.

（3）?（4）：設(shè)（3）成立，則?x，y∈L，f（（x∧（x→y））→（x?（x→y）））=f（1）.因為由（RL7）得x?（x→y）≤x∧y，所以由（RL11）得（x∧（x→y））→（x?（x→y））≤（x∧（x→y））→（x∧y），故由（FF1）得f（（x∧（x→y））→（x∧y））≥f（（x∧（x→y））→（x?（x→y）））=f（1）.又因為由（RL10）得（（x∧（x→y））→（x∧y））?（（x∧y）→（x?y））≤（x∧（x∧y））→（x?y），所以由（FF1），（FF2）和（3）便得f（（x∧（x∧y））→（x?y））≥f（（（x∧（x→y））→（x∧y））?（（x∧y）→（x?y）））≥f（（x∧（x→y））→（x∧y））∧f（（x∧y）→（x?y））=f（1）∧f（1）=f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（x∧（x∧y））→（x?y））=f（1），即（4）成立.

（4）?（5）：設(shè)（4）成立.任取x，y∈L，因為由（RL7）得x?（x→y）≤x∧（x→y），所以由（RL11）得（x?（x→y））→（x?y）≥（x∧（x→y））→（x?y）.故由（FF1）和（4）得f（（x?（x→y））→（x?y））≥f（（x∧（x→y））→（x?y））=f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（x?（x→y））→（x?y））=f（1），即（5）成立.

（5）?（1）：設(shè)（5）成立.則在（5）中取y=x并利用（RL12）和（RL5）便得f（1）=f（（x?（x→x））→（x?x））=f（（x?1）→（x?x））=f（x→（1→（x?x）））=f（x→（x?x））.因此由文獻［15］定理4.21便得f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子，即（1）成立.

（4）?（6）?（7）?（8）：設(shè)（4）成立.任取x，y∈L，因為由（RL7）得x?y≤x?（x→y）≤x∧y≤y∧（y→x），所以由（RL11）得（x∧（x→y））→（x?y）≤（x∧（x→y））→（x?（x→y））≤（x∧（x→y））→（x∧y）≤（x∧（x→y））→（y∧（y→x））.故由（FF1）和（4）得f（（x∧（x→y））→（y∧（y→x）））≥f（（x∧（x→y））→（x∧y））≥f（（x∧（x→y））→（x?（x→y）））≥f（（x∧（x→y））→（x?y））=f（1）.因此結(jié)合（FF3）得f（（x∧（x→y））→（x∧y））=f（1）且f（（x∧（x→y））→（x?（x→y）））=f（1）且f（（x∧（x→y））→（y∧（y→x）））=f（1），即（4）?（6）?（7）?（8）成立.

（8）?（3）：設(shè)（8）成立.任取x，y，z∈L，因為由（RL7）得（x?z）∧（（x?z）→x）≤x?z，所以由（RL11）得（x∧（x→（x?z）））→（（x?z）∧（（x?z）→x））≤（x∧（x→（x?z）））→（x?z）.故由（FF1）和（8）得f（（x∧（x→（x?z）））→（x?z））≥f（（x∧（x→（x?z）））→（（x?z）∧（（x?z）→x）））=f（1）.又因為由（RL9）得z≤x→（x?z），所以x∧z≤x∧（x→（x?z）），從而由（RL11）得（x∧z）→（x?z）≥（x∧（x→（x?z）））→（x?z）.故再由（FF1）得f（（x∧z）→（x?z））≥f（（x∧（x→（x?z）））→（x?z））≥f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（x∧z）→（x?z））=f（1），即（3）成立.綜上，定理得證.

定義3.2［12，15］設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.稱f為L的模糊Boolean濾子，若f滿足

（FB）（?x∈L）（f（x∨x′）=f（1））.

注3.2在文獻［15］和眾多相關(guān)文獻中，模糊Boolean濾子也稱為模糊關(guān)聯(lián)濾子.關(guān)于模糊Boolean濾子的等價刻畫請參閱文獻［12］定理2.4及文獻［15］定理4.12和推論4.13.

定理3.2設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.則下列各條件等價：

（1）f是L的模糊Boolean濾子；

（2）（?x∈L）（f（x∨（x→y））=f（1））；

（3）（?x，y∈L）（f（（（x→y）→x）→x）=f（1））；

（4）（?x∈L）（f（（x′→x）→x）=f（1））；

（5）（?x，y，z∈L）（f（（（（x∨y）→z）→y）→（x∨y））=f（1））；

（6）（?x，y∈L）（f（（（x∨y）′→y）→（x∨y））=f（1））.

證（1）?（2）：設(shè)f是L的模糊Boolean濾子.任取x，y∈L，因為0≤y，所以由（RL11）得x′= x→0≤x→y，從而x∨x′≤x∨（x→y）.故由（FF1）和（FB）得f（x∨（x→y））≥f（x∨x′）=f（1）.因此結(jié)合（FF3）便得f（x∨（x→y））=f（1），即（2）成立.

（2）?（3）：設(shè)（2）成立.任取x，y∈L，因為由（RL6）得x∨（x→y）≤（（x→y）→x）→x，所以由（FF1）和（2）得f（（（x→y）→x）→x）≥f（x∨（x→y））=f（1）.因此結(jié)合（FF3）便得f（（（x→y）→x）→x）=f（1），即（3）成立.

（3）?（4）：設(shè)（3）成立.則在（3）中取y=0便得f（1）=f（（（x→0）→x）→x）=f（（x′→x）→x），即（4）成立.

（4）?（1）：設(shè)（4）成立.任取x∈L，一方面，由（FF4），（4）和（FF3）得f（x）≥f（（x′→x）→x）∧f（x′→x）=f（1）∧f（x′→x）=f（x′→x）.另一方面，因為由（RL6）得x≤x′→x，所以由（FF1）又得f（x′→x）≥f（x）.故綜合兩方面便得f（x）=f（x′→x）.因此由文獻［15］定理4.12（2）得f是L的模糊Boolean濾子.

（3）?（5）：設(shè)（3）成立.任取x，y，z∈L，因為由（RL5）和（RL4）得x∨y=1→（x∨y）=（y→（x∨y））→（x∨y）且由（RL10）得（（（x∨y）→z）→y）?（y→（x∨y））≤（（x∨y）→z）→（x∨y），所以由（RL12）和（RL11）得故由（FF1）和（3）得f（（（（x∨y）→z）→y）→（x∨y））≥f（（（（x∨y）→z）→（x∨y））→（x∨y））= f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（（（x∨y）→z）→y）→（x∨y））=f（1），即（5）成立.

（5）?（6）：設(shè)（5）成立.在（5）中取z=0便得f（1）=f（（（（x∨y）→0）→y）→（x∨y））= f（（（x∨y）′→y）→（x∨y）），即（6）成立.

（6）?（4）：設(shè)（6）成立.在（6）中取y=x便得f（1）=f（（（x∨x）′→x）→（x∨x））=f（（x′→x）→x），即（4）成立.綜上，定理得證.

定義3.3［12，15］設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.稱f為L的模糊MV濾子，若f滿足

（FMV）（?x，y∈L）（f（（（x→y）→y）→x）≥f（y→x））.

注3.3在文獻［15］和相關(guān)文獻中，模糊MV濾子也稱為模糊fantastic濾子或模糊交換濾子.關(guān)于模糊MV濾子的等價刻畫請參閱文獻［15］中注4.23，定理4.24和定理4.25.

定理3.3設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.則下列各條件等價：

（1）f是L的模糊MV濾子；

（2）（?x，y∈L）（f（（（x→y）→y）→（x∨y））=f（1））.

（2）?（1）：設(shè)（2）成立.任取x，y∈L，因為由（RL6）得x∨y≤（y→x）→x，所以由（RL11）可得（（x→y）→y）→（x∨y）≤（（x→y）→y）→（（y→x）→x），故由（FF1）和（2）便得f（（（x→y）→y）→（（y→x）→x））≥f（（（x→y）→y）→（x∨y））=f（1），再結(jié)合（FF3）得f（（（x→y）→y）→（（y→x）→x））=f（1）.因此由文獻［15］中定理4.25便得f是L的模糊MV濾子.定理得證.

定義3.4［15］設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.稱f為L的模糊正則濾子，若f滿足

（FR）（?x∈L）（f（x′′→x）=f（1））.

注3.4模糊正則濾子的等價刻畫請參閱文獻［15］定理5.14，注5.15，定理5.17和定理5.18.

定理3.4設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.則下列各條件等價：

（1）f是L的模糊正則濾子；

（2）（?x，y∈L）（f（（y′→x′）→（x→y）））=f（1））；

（3）（?x，y∈L）（f（（y′→x）→（x′→y）））=f（1））.

證（1）?（2）：設(shè)f是L的模糊正則濾子.任取x，y∈L，因為由（RL29），（RL28）和（RL11）可得y′→x′≤x′′→y′′≤x→y′′，所以由（RL11）和（RL17）得（y′→x′）→（x→y）≥（x→y′）→（x→y）≥y′′→y.故由（FF1）和（FR）得f（（y′→x′）→（x→y））≥f（y′′→y）=f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（y′→x′）→（x→y））=f（1），即（2）成立.

（2）?（1）：設(shè)（2）成立.任取x，y∈L，由引理2.3和（2）得f（x→y）≥f（（y′→x′）→（x→y））∧f（y′→x′）=f（1）∧f（y′→x′）=f（y′→x′），故由文獻［15］定理5.14得f是模糊正則濾子.

（1）?（3）：設(shè)f是L的模糊正則濾子.任取x，y∈L，因為由（RL29）可得y′→x≤x′→y′′，所以由（RL11）和（RL17）得（y′→x）→（x′→y）≥（x′→y′′）→（x′→y）≥y′′→y.故由（FF1）和（FR）得f（（y′→x）→（x′→y））≥f（y′′→y）=f（1），因此結(jié)合（FF3）便得f（（y′→x）→（x′→y））=f（1），即（3）成立.

（3）?（1）：設(shè)（3）成立.任取x，y∈L，由引理2.3和（2）得f（x′→y）≥f（（y′→x）→（x′→y））∧f（y′→x）=f（1）∧f（y′→x）=f（y′→x），故由文獻［15］定理5.14得f是L的模糊正則濾子.

4　剩余格的幾類新型模糊濾子及其特征

本節(jié)我們將在剩余格中引入三類新型的模糊濾子概念并考察它們的性質(zhì)特征.

定義4.1設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.稱f為L的模糊預(yù)線性濾子，若f滿足

（FPL）（?x，y∈L）（f（（x→y）∨（y→x））=f（1））.

定理4.1設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.則下列各條件等價：

（1）f是L的模糊預(yù)線性濾子；

（2）（?x，y，z∈L）（f（（x→y）∨（x→z））≥f（x→（y∨z）））；

（3）（?x，y，z∈L）（f（（x→（y∨z））→（（x→y）∨（x→z）））=f（1））；

（4）（?x，y，z∈L）（f（（y→x）∨（z→x））≥f（（y∧z）→x））；

（5）（?x，y，z∈L）（f（（（y∧z）→x）→（（y→x）∨（z→x）））=f（1））；

（6）（?x，y，z∈L）（f（（x→y）∨（y→z））≥f（x→z））；

（7）（?x，y，z∈L）（f（（x→z）→（（x→y）∨（y→z）））=f（1））；

（8）（?x，y，z∈L）（f（（（y→x）→z）→z）≥f（（x→y）→z））；

（9）（?x，y，z∈L）（f（（（x→y）→z）→（（（y→x）→z）→z））=f（1））.

證（1）?（2）：設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x，y，z∈L，因為由（RL13），（RL14）和（RL10）可得（x→（y∨z））?（（y→z）∨（z→y））=（（x→（y∨z））?（y→z））∨（（x→（y∨z））?（z→y））=（（x→（y∨z））?（（y∨z）→z））∨（（x→（y∨z））?（（y∨z）→y））≤（x→z）∨（x→y）.故由定義2.3，（FPL）和（FF3）得f（（x→z）∨（x→y））≥f（（x→（y∨z））?（（y→z）∨（z→y）））≥f（x→（y∨z））∧f（（y→z）∨（z→y））=f（x→（y∨z））∧f（1）=f（x→（y∨z））.即（2）成立.

因此結(jié)合（FF3）便得f（（x→（y∨z））→（（x→y）∨（x→z）））=f（1），即（3）成立.

（3）?（1）：設(shè)（3）成立.任取y，z∈L，在（3）中取x=y∨z，則由（RL14）和（RL5）得f（1）= f（（（y∨z）→（y∨z））→（（（y∨z）→y）∨（（y∨z）→z）））=f（1→（（z→y）∨（y→z）））= f（（z→y）∨（y→z）），即（FPL）成立，因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.

（1）?（4）：設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x，y，z∈L，因為由（RL13），（RL14）和（RL10）可得（（y∧z）→x）?（（y→z）∨（z→y））=（（（y∧z）→x）?（y→z））∨（（（y∧z）→x）?（z→y））=（（（y∧z）→x）?（y→（y∧z）））∨（（（y∧z）→x）?（z→（y∧z）））≤（y→x）∨（z→x）.故由定義2.3，（FPL）和（FF3）得f（（y→x）∨（z→x））≥f（（（y∧z）→x）?（（y→z）∨（z→y）））≥f（（y∧z）→x）∧f（（y→z）∨（z→y））=f（（y∧z）→x）∧f（1）=f（（y∧z）→x）.即（4）成立.

（4）?（5）：設(shè)（4）成立.任取x，y，z∈L，令u=（y∧z）→x.則

因此結(jié)合（FF3）便得f（（（y∧z）→x）→（（y→x）∨（z→x）））=f（1），即（5）成立.

（5）?（1）：設(shè)（5）成立.任取y，z∈L，在（3）中取x=y∧z，則由（RL15）和（RL5）得f（1）= f（（（y∧z）→（y∧z））→（（y→（y∧z））∨（z→（y∧z））））=f（1→（（y→z）∨（z→y）））= f（（y→z）∨（z→y）），即（FPL）成立，因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.

（1）?（6）：設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x，y，z∈L，因為由（RL13），（RL7）和（RL10）得（x→z）?（（x→y）∨（y→x））=（（x→z）?（x→y））∨（（x→z）?（y→x））≤（x→y）∨（y→z），故由定義2.3，（FPL）和（FF3）得f（（x→y）∨（y→z））≥f（（x→z）?（（x→y）∨（y→x）））≥f（x→z）∧f（（x→y）∨（y→x））=f（x→z）∧f（1）=f（x→z），即（6）成立.

因此結(jié)合（FF3）便得f（（x→z）→（（x→y）∨（y→z）））=f（1），即（7）成立.

（7）?（1）：設(shè)（7）成立.任取x，y∈L，在（3）中取z=x，則由（RL5）得f（1）=f（（x→x）→（（x→y）∨（y→x）））=f（1→（（x→y）∨（y→x）））=f（（x→y）∨（y→x）），即（FPL）成立，因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.

（1）?（8）：設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x，y，z∈L，因為由（RL12），（RL11）和（RL14）得（（x→y）→z）→（（（y→x）→z）→z）=（（（x→y）→z）?（（y→x）→z））→z≥（（（x→y）→z）∧（（y→x）→z））→z=（（（x→y）∨（y→x））→z）→z≥（x→y）∨（y→x），所以定義2.3，（FPL）和（FF3）得f（（（y→x）→z）→z）≥f（（（x→y）→z）→（（（y→x）→z）→z））∧f（（x→y）→z）≥f（（x→y）∨（y→x））∧f（（x→y）→z）=f（1）∧f（（x→y）→z）=f（（x→y）→z）.因此（8）成立.

因此結(jié)合（FF3）便得f（（（x→y）→z）→（（（y→x）→z）→z））=f（1），即（9）成立.

（9）?（1）：設(shè)（9）成立.任取x，y∈L，在（3）中取z=（x→y）∨（y→x），則由（RL5）得f（1）= f（（（x→y）→（（x→y）∨（y→x）））→（（（y→x）→（（x→y）∨（y→x）））→（（x→y）∨（y→x））））=f（1→（1→（（x→y）∨（y→x））））=f（（x→y）∨（y→x）），即（FPL）成立，因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.綜上，定理得證.

定理4.2設(shè)L是剩余格.則下列各條件等價：

（1）L是預(yù)線性剩余格；

（2）L的任一模糊濾子都是L的模糊預(yù)線性濾子；

（3）χ｛1｝是L的模糊預(yù)線性濾子.

證（1）?（2）?（3）：由定義2.1和定義4.1顯然成立.

（3）?（1）：設(shè)χ｛1｝是L的模糊預(yù)線性濾子，則對任意的x，y∈L，χ｛1｝（（x→y）∨（y→x））= χ｛1｝（1）=1，故（x→y）∨（y→x）=1.因此L是預(yù)線性剩余格.定理得證.

定義4.2設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.稱f為L的模糊可除濾子，若f滿足

（FD）（?x，y∈L）（f（（x∧y）→（x?（x→y）））=f（1））.

定理4.3設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.則下列各條件等價：

（1）f是L的模糊可除濾子；

（2）（?x，y，z∈L）（f（（x→（y∧z））→（（x→y）?（（x∧y）→z）））=f（1））；

（3）（?x，y，z∈L）（f（（y?（y→x））→（x?（x→y）））=f（1））.

證（1）?（2）：設(shè)f是L的模糊可除濾子.任取x，y，z∈L，則由（RL15）和（FD）得f（（x→（y∧z））→（（x→y）?（（x→y）→（x→z））））=f（（（x→y）∧（x→z））→（（x→y）?（（x→y）→（x→z））））=f（1）.又因為由（RL18）和（R l26）得（x∧y）→（x?（x→y））≤（（x?（x→y））→z）→（（x∧y）→z）≤（（x→y）?（（x?（x→y））→z））→（（x→y）?（（x∧y）→z）），所以由（FF1）和（FD）又得f（（（x→y）?（（x?（x→y））→z））→（（x→y）?（（x∧y）→z）））≥f（（x∧y）→（x?（x→y）））=f（1）.故由（RL10）和（FF2）便得f（（x→（y∧z））→（（x→y）?（（x∧y）→z）））≥f（（（x→（y∧z））→（（x→y）?（（x→y）→（x→z））））?（（（x→y）?（（x?（x→y））→z））→（（x→y）?（（x∧y）→z））））≥f（（x→（y∧z））→（（x→y）?（（x→y）→（x→z））））∧f（（（x→y）?（（x?（x→y））→z））→（（x→y）?（（x∧y）→z）））≥f（1）∧f（1）=f（1）.因此結(jié)合（FF3）便得f（（x→（y∧z））→（（x→y）?（（x∧y）→z）））=f（1），即（2）成立.

（2）?（1）：設(shè)（2）成立.在（2）中取x=1，則對任意的y，z∈L，f（1）=f（（1→（y∧z））→（（1→y）?（（1∧y）→z）））=f（（y∧z）→（y?（y→z））），即（FD）成立，因此由定義4.2得f是L的模糊可除濾子.

（1）?（3）：設(shè)f是L的模糊可除濾子.任取x，y∈L，因為由（RL17）得y?（y→x）≤y∧x，所以由（RL11）得（y∧x）→（x?（x→y））≤（y?（y→x））→（x?（x→y））.故由（FF1）和（FD）得f（（y?（y→x））→（x?（x→y）））≥f（（y∧x）→（x?（x→y）））=f（1）.因此結(jié)合（FF3）便得f（（y?（y→x））→（x?（x→y）））=f（1），即（3）成立.

（3）?（1）：設(shè)（3）成立.任取x，y，z∈L，因為由（3）和（RL15）得f（1）=f（（y?（y→x））→（x?（x→y）））=f（（y?（y→（x∧y）））→（x?（x→（x∧y））））.所以在上式中取y=x∧z便得f（1）=f（（（x∧z）?（（x∧z）→（x∧（x∧z））））→（x?（x→（x∧（x∧z）））））=f（（x∧z）→（x?（x→（x∧z））））=f（（x∧z）→（x?（x→z））），即（FD）成立，因此由定義4.2得f是L的模糊可除濾子.綜上，定理得證.

定理4.4設(shè)L是剩余格.則下列各條件等價：

（1）L是可除剩余格；

（2）L的任一模糊濾子都是L的模糊可除濾子；

（3）χ｛1｝是L的模糊可除濾子.

證（1）?（2）?（3）：由定義2.1和定義4.2顯然成立.

（3）?（1）：設(shè)χ｛1｝是L的模糊可除濾子，則對任意的x，y∈L，χ｛1｝（（x∧y）→（x?（x→y）））=χ｛1｝（1）=1，故（x∧y）→（x?（x→y））=1，從而x∧y≤x?（x→y）.又因為由（RL7）得x?（x→y）≤x∧y，所以x∧y=x?（x→y）.因此L是可除剩余格.定理得證.

定義4.3設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.稱f為L的模糊Glivenko濾子，若f滿足

（FGL）（?x∈L）（f（（x′′→x）′′）=f（1））.

定理4.5設(shè)L是剩余格，f為L的模糊濾子.則下列各條件等價：

（1）f是L的模糊Glivenko濾子；

（2）（?x，y∈L）（f（（y→x′′）→（y→x）′′）=f（1））；

（3）（?x，y∈L）（f（（x→y）→（x′′→y）′′）=f（1））；

（4）（?x，y∈L）（f（（x′→y）→（y′→x）′）=f（1））.

證（1）?（2）：設(shè)f是L的模糊G livenko濾子.任取x，y∈L，則

因此結(jié)合（FF3）便得f（（y→x′′）→（y→x）′′）=f（1），即（2）成立.

（2）?（1）：設(shè)（2）成立.任取x∈L，在（2）中取y=x′′，則由（RL5）可得f（1）=f（（x′→x′′）→（x′′→x）′′）=f（（x′′→x）′′），即（FGL）成立.因此由定義4.2得f是L的模糊Glivenko濾子.

因此結(jié)合（FF3）便得f（（x→y）→（x′′→y）′′）=f（1），即（3）成立.

（3）?（1）：設(shè)（3）成立.任取x∈L，在（3）中取y=x，則由（RL5）得f（1）=f（（x→x）→（x′′→x）′′）=f（（x′′→x）′′），即（FGL）成立.因此由定義4.2得f是L的模糊Glivenko濾子.

因此結(jié)合（FF3）便得f（（x′→y）→（y′→x）′′）=f（1），即（4）成立.

（4）?（1）：設(shè)（4）成立.任取x∈L，在（3）中取y=x′，則由（RL5）得f（1）=f（（x′→x′）→（x′′→x）′′）=f（（x′′→x）′′），即（FGL）成立.因此由定義4.2得f是L的模糊Glivenko濾子.

定理4.6設(shè)L是剩余格.則下列各條件等價：

（1）L是G livenko代數(shù)；

（2）L的任一模糊濾子都是L的模糊Glivenko濾子；

（3）χ｛1｝是L的模糊G livenko濾子.

證（1）?（2）?（3）：由定義2.1和定義4.3顯然成立.

5　剩余格的多種特殊類型模糊濾子間的關(guān)系

引理5.1［15］設(shè)L是剩余格.則下列各條成立：

（1）L的任一模糊Boolean濾子都是模糊正關(guān)聯(lián)濾子（模糊MV濾子），但反之不真；

（2）L的任一模糊MV濾子都是模糊正則濾子，但反之不真；

（3）L的模糊濾子f是模糊Boolean濾子??f既是模糊正關(guān)聯(lián)濾子又是模糊MV（正則）濾子.

例5.1設(shè)格L=｛0，a，b，1｝且0≤a≤b≤1，L上二元運算→和?的定義如下：

則（L，≤，∧，∨，?，→，0，1）是一個剩余格.在L上定義模糊集f：［0，1］→L使f（0）=f（a）=f（b）= β，f（1）=α，其中0≤β＜α≤1，可以驗證f是L的一個模糊MV濾子，進而為模糊正則濾子，但非L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子，這是因為f（b→a）=f（b）=β＜α=f（1）=f（b→（b→a））.由此可見，在剩余格上模糊正則濾子和模糊MV濾子不必為模糊正關(guān)聯(lián)濾子.

例5.2設(shè)格L=｛0，a，b，1｝且0≤a≤b≤1，L上二元運算→和?的定義如下：

則（L，≤，∧，∨，?，→，0，1）是一個剩余格.在L上定義模糊集f：［0，1］→L使f（0）=f（a）= β，f（b）=f（1）=α，其中0≤β＜α≤1，可以驗證f是L的一個模糊正關(guān)聯(lián)濾子，但非L的模糊正則濾子，進而非模糊MV濾子.這是因為f（a′′→a）=f（a）=β＜α=f（1）.由此可見，在剩余格上模糊正關(guān)聯(lián)濾子既不必為模糊正則濾子也不必為模糊MV濾子.

定理5.1設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊正關(guān)聯(lián)濾子都是模糊可除濾子，但反之不真.

證設(shè)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子.任取x，y∈L，因為由（RL7）得x?y≤x?（x→y），所以由（RL11）得（x∧y）→（x?y）≤（x∧y）→（x?（x→y）），故由（FF1）和定理3.1（3）得f（（x∧y）→（x?（x→y）））≥f（（x∧y）→（x?y））=f（1），再結(jié)合（FF3）便得f（（x∧y）→（x?（x→y）））=f（1），即（FD）成立.因此由定義4.2便得f是L的模糊可除濾子.下面的例5.3說明反之不真.定理得證.

例5.3設(shè)格L=｛0，a，b，1｝且0≤a≤b≤1，L上二元運算→和?的定義如下：

則（L，≤，∧，∨，?，→，0，1）是一個剩余格.在L上定義模糊集f：［0，1］→L使f（0）=f（a）=f（b）= β，f（1）=α，其中0≤β＜α≤1，可以驗證f是L的一個模糊可除濾子，但非L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子.這是因為f（a→（a?a））=f（a）=β＜α=f（1）.

定理5.2設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊可除濾子都是模糊G livenko濾子，但反之不真.

證設(shè)f是L的模糊可除濾子.任取x∈L，因為由（RL26）和（RL29）得（x′′∧x）→（x′′?（x′′→x））≤（x′′?（x′′→x））′→（x′′∧x）′≤（x′′?（x′′?（x′′→x））′）→（x′′?（x′′∧x）′）≤（x′′?（x′′∧x）′）′→（x′′?（x′′?（x′′→x））′）′，所以由（FF1）和（FD）得f（（x′′?（x′′∧x）′）′→（x′′?（x′′?（x′′→x））′）′）≥f（（x′′∧x）→（x′′?（x′′→x）））=f（1），故結(jié)合（FF3）得f（（x′′?（x′′∧x）′）′→（x′′?（x′?（x′→x））′）′）=f（1）.因為由（RL28）得x≤x′，所以由（RL29）得（x′′?（x′′∧x）′）′=（x′′?x′）′=x′→x′′=1，從而又得f（（x′′?（x′′∧x）′）′）=f（1）.進而由（RL28）和（FF4）又得

f（（x′′?（x′′→（x′′→x）′））′）=f（（x′?（x′?（x′′→x））′）′）

≥f（（x′′?（x′′∧x）′）′）∧f（（x′′?（x′′∧x）′）′→（x′′?（x′′?（x′′→x））′）′）=f（1）∧f（1）=f（1），又由（RL10）和（RL17）得x′→（x′′→x）=x′→（x′→x）=（x′→0）→（x′→x）≥0→x=1，所以x′→（x′′→x）=1，從而由（RL4）得x′≤x′′→x，進而由（RL27）得（x′′→x）′≤x′′.

于是再結(jié)合（FF3）便得f（（x′′→x）′′）=f（1），即（FGL）成立.因此由定義4.3得f是L的模糊G livenko濾子.下面的例5.4說明反之不真，定理得證.

例5.4設(shè)格L=｛0，a，b，c，1｝且0≤a≤b≤c≤1，L上二元運算→和?的定義如下：

則（L，≤，∧，∨，?，→，0，1）是一個剩余格.在L上定義模糊集f：［0，1］→L使f（0）=f（a）=f（b）= f（c）=β，f（1）=α，其中0≤β＜α≤1，可以驗證f是L的一個模糊Glivenko濾子，但非L的模糊可除濾子.這是因為f（（c∧b）→（c?（c→b）））=f（c）=β＜α=f（1）.此外，f也非L的模糊正則濾子，這是因為f（a′′→a）=f（a）=β＜α=f（1）.這表明：在剩余格中模糊G livenko濾子不必為模糊正則濾子，但由定義3.4和定義4.3易知任一模糊正則濾子必為模糊Glivenko濾子.

定理5.3設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊MV濾子都是模糊可除濾子，但反之不真.

證設(shè)f是L的模糊MV濾子.任取x，y∈L，因為由（RL32），（RL11），（RL33）和（RL29）可得（（x′→y′）→y′）→（x′∨y′）≤（（x′→y′）→y′）→（x∧y）′=（（y→x′′）?y）′→（x∧y）′≤（x∧y）′′→（（y→x′′）?y）′≤（x∧y）→（（y→x′′）?y）′′，所以由（FF1）和定理3.3得f（（x∧y）→（（y→x′′）?y）′′）≥f（（（x′→y′）→y′）→（x′∨y′））=f（1）.又模糊MV濾子必為模糊正則濾子，所以由（FR）得f（（（y→x′′）?y）′′→（（y→x′′）?y））=f（1）.故由（RL10）得f（（x∧y）→（（y→x′′）?y））≥f（（（x∧y）→（（y→x′′）?y）′′）?（（（y→x′′）?y）′′→（（y→x′′）?y）））≥f（（x∧y）→（（y→x′′）?y）′′）∧f（（（y→x′′）?y）′′→（（y→x′′）?y））≥

故結(jié)合（FF3）得f（（x∧y）→（y?（y→x）））=f（1），即（FD）成立.因此由定義4.2便得f是L的模糊可除濾子.反之，考慮例5.3中所給模糊可除濾子f，因為f（（（b→a）→a）→（b∨a））=f（b）= β＜α=f（1），所以由定理3.3知f非模糊MV濾子.定理得證.

定理5.4設(shè)L是剩余格，f是L的模糊濾子.則f是L的模糊MV濾子當(dāng)且僅當(dāng)f既是L的模糊正則濾子又是L的模糊可除濾子.

證必要性：由引理5.1（3）和定理5.3可得.

充分性：設(shè)f既是L的模糊正則濾子又是L的模糊可除濾子.任取x，y∈L，令u=x∨y，則

進而再由（RL10）和（FR）得f（（（y→x）→x′′）→u）≥f（（（（y→x）→x′′）→u′′）?（u′′→u））≥f（（（y→x）→x′′）→u′′）∧f（u′′→u）≥f（1）∧f（1）=f（1）.又因為x≤x′′，所以由（RL11）得（y→x）→x≤（y→x）→x′′，進而（（y→x）→x′′）→u≤（（y→x）→x）→u，故由（FF1）又得f（（（y→x）→x）→（x∨y））=f（（（y→x）→x）→u）≥f（（（y→x）→x′′）→u）≥f（1）.再結(jié)合（FF3）便得f（（（y→x）→x）→（x∨y））=f（1）.因此由定理3.3得f是L的模糊MV濾子.定理得證.

定理5.5設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊MV濾子都是模糊預(yù)線性濾子，但反之不真.

證設(shè)f是L的模糊MV濾子.任取x，y∈L，因為由（RL15），吸收律，（RL17）和（RL12）可得（（x→（x∧y））→（x∧y））→（x∨（x∧y））=（（x→y）→（x∧y））→x≤（y→（（x→y）→（x∧y）））→（y→x）=（（x→y）→（y→（x∧y）））→（y→x）=（（x→y）→（y→x））→（y→x），所以由（FF1）和定理3.3得f（（（x→y）→（y→x））→（y→x））≥f（（（x→（x∧y））→（x∧y））→（x∨（x∧y）））=f（1）.故再由（FF4）和定理3.3得f（（x→y）∨（y→x））≥f（（（x→y）→（y→x））→（y→x））∧f（（（（x→y）→（y→x））→（y→x））→（（x→y）∨（y→x）））≥f（1）∧f（1）=f（1）.進而再結(jié)合（FF3）便得f（（x→y）∨（y→x））=f（1），即（FPL）成立.因此由定理4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.反之，例5.2中所定義的模糊集f為L的模糊預(yù)線性濾子，但非模糊MV濾子.定理得證.

下面兩個實例揭示了模糊可除濾子和模糊Glivenko濾子與模糊預(yù)線性濾子的關(guān)系：

例5.5設(shè)格L=｛0，a，b，c，1｝，L上二元運算→和?的定義如下，格L的Hasse圖如圖1：

圖1　L的Hasse圖

則（L，≤，∧，∨，?，→，0，1）是一個剩余格.在L上定義模糊集f：［0，1］→L使f（0）=f（a）=f（b）= f（c）=β，f（1）=α，其中0≤β＜α≤1，可以驗證f是L的一個模糊可除濾子，從而為模糊G livenko濾子，但非模糊預(yù)線性濾子.這是因為f（（a→b）∨（b→a）=f（c）=β＜α=f（1）.

例5.6設(shè)格L=［0，1］，L上二元運算→和?的定義如下：

則（L，≤，∧，∨，?，→，0，1）是剩余格.在L上定義模糊集f：［0，1］→L使f（1）=α，f（x）=β，x∈［0，1），其中0≤β＜α≤1，可以驗證f是L的一個模糊預(yù)線性濾子，但非模糊G livenko濾子，從而非模糊可除濾子.這是因為當(dāng)取x=0.1時，f（x′′→x）=f（x）=β＜α=f（1）.

最后，為直觀起見，我們將剩余格中各類模糊濾子概念間的關(guān)系圖示如下：

圖2　剩余格中各類特殊模糊濾子間的相互關(guān)系

6　結(jié)束語

眾所周知，在考察邏輯代數(shù)的結(jié)構(gòu)時，各類具有不同形式和特殊性質(zhì)的濾子概念扮演著重要的角色.本文在剩余格這一重要的邏輯代數(shù)框架下對模糊濾子理論作了進一步深入研究，引入了剩余格的模糊預(yù)線性濾子，模糊可除濾子和模糊G livenko濾子三類全新的模糊濾子概念，獲得了它們的若干等價刻畫.同時，系統(tǒng)分析了這三類模糊濾子以及剩余格的模糊正關(guān)聯(lián)濾子，模糊Boolean濾子，模糊MV濾子和模糊正則濾子間的相互關(guān)系.這些工作不但使剩余格的模糊濾子理論之研究內(nèi)容得到進一步充實和豐富，概念間的層次關(guān)系得到進一步清晰和完善，而且也能為揭示基于剩余格的模糊邏輯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征提供理論基礎(chǔ)上的支持和保障.

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M R Sub ject C lassification:03G10；06D 35

Fuzzy filters theory of residuated lattices

LIU Chun-hui
（Departm ent of M athem atics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024001，China）

The prob lem of fuzzy filters in residuated lattices is deep ly studied by using the princip le and m ethod of fuzzy sets.Three new notions of fuzzy prelinear，divisib le and G livenko filters are introduced in residuated lattices.Some of their p roperties and characterizations are given. Relations am ong these new fuzzy filters，fuzzy positive im p licative filter，fuzzy Boolean filter，fuzzy MV filter，and fuzzy regu lar filter are discussed systematically.It is p roved that a fuzzy filter is a fuzzy MV filter if and on ly if it is both a fuzzy regu lar filter and a fuzzy d ivisib le filter.

residuated lattice；fuzzy filter；fuzzy prelinear filter；fuzzy divisib le filter；fuzzy G livenko filter

O141.1；O 153.1

A

1000-4424（2016）02-0233-15

2015-05-18

2016-05-04

內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)校科學(xué)研究項目（NJSY 14283）