范中平（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，浙江杭州310027）

容許性余代數(shù)的必要條件

范中平
（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，浙江杭州310027）

通過從余代數(shù)的角度構(gòu)造Hopf代數(shù)的塊系統(tǒng)，給出了非余半單余代數(shù)和純非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件.其應(yīng)用簡化了45維和105維Hopf代數(shù)的分類，為有限維Hop f代數(shù)的分類提供了新的方法.

余代數(shù)；容許性；Hop f代數(shù)；分類；塊系統(tǒng)

1　引言

本文屬于有限維Hop f代數(shù)分類的研究范疇.基域k是一個特征為零的代數(shù)閉域.在下面的討論中，如不另作說明，空間都是指k上的線性空間，映射也都是k上的線性映射.

有限維Hopf代數(shù)的分類問題由于其重要的數(shù)學(xué)意義和物理意義，一直是Hop f代數(shù)研究的中心問題之一.而作為Hop f代數(shù)的基本結(jié)構(gòu)，余代數(shù)在此類問題的研究中有重要作用.考慮余根的性質(zhì)，可以把Hop f代數(shù)分為三種類型：余半單的（cosem isim p le），點(diǎn)態(tài)的（pointed），以及非余半單非點(diǎn)態(tài)的（non-cosem isim p le non-pointed）.目前余半單pq2型和pqr型Hop f代數(shù)及點(diǎn)態(tài)pq2型Hop f代數(shù)的分類已經(jīng)由Natale和Andruskiew itsch等完成［1-3］.非余半單非點(diǎn)態(tài)2p2型Hop f代數(shù)的分類由Hilgem ann和Ng完成［4］.

本文從余代數(shù)的角度研究Hop f代數(shù)的結(jié)構(gòu).稱一個余代數(shù)C是容許的（adm issib le），如果C上存在一個代數(shù)結(jié)構(gòu)，使得C成為一個Hopf代數(shù).Kaplansky最先提出了余代數(shù)的容許性問題［5］，他猜測一個余代數(shù)具有容許性等價于其任意有限維子空間都包含于一個具有容許性的有限維余子代數(shù).雖然Larson給出了反例證明這個猜測是錯的，卻由此引起了Hopf代數(shù)研究者的興趣：究竟怎樣的余代數(shù)才具有Hop f代數(shù)結(jié)構(gòu)？顯然研究這個問題對有限維Hop f代數(shù)的分類有極其重要的作用.

作者通過給出一系列余代數(shù)具有容許性的必要條件（定理3.1和定理3.2），部分回答了這一問題.將余代數(shù)的余根分解給出的雙余模結(jié)構(gòu)和余根濾鏈給出的分層結(jié)構(gòu)結(jié)合起來，構(gòu)造了余代數(shù)的樹結(jié)構(gòu)（定義2.1）和塊系統(tǒng)（定義2.3），并自然的推廣到Hopf代數(shù)上.通過研究非余半單Hop f代數(shù)的塊系統(tǒng)中各個“塊”之間的聯(lián)系，給出了純非余半單Hopf代數(shù)（定義3.1）的基本塊和維數(shù)下界（命題4.1和命題4.2）.應(yīng)用上述結(jié)果到45維（推論4.1）和105維（推論4.2）Hopf代數(shù)上，簡化了此維數(shù)的Hopf代數(shù)分類情形，對非余半單非點(diǎn)態(tài)pq2型和pqr型Hopf代數(shù)的分類工作做出了貢獻(xiàn).

2　余代數(shù)的樹結(jié)構(gòu)和塊系統(tǒng)

本節(jié)構(gòu)造余代數(shù)的樹結(jié)構(gòu)和塊系統(tǒng)，為接下來的討論做準(zhǔn)備.

對非余半單余代數(shù)（C，Δ，ε），由［6，Theorem5.4.2］給出的余根分解知，存在一個余理想I和一個C到其余根C0的投射π：C→C0，使得C=C0⊕I和kerπ=I.固定這個余理想I，并定義

容易驗證，（C，ρL，ρR）成為一個C0-雙余模.

記C的余根濾鏈為｛Cn｝n≥0；對n≥0，令Pn=Cn∩I.

令bC為C的單余子代數(shù)的指標(biāo)集.對τ∈bC，存在正整數(shù)dτ，使得dimDτ=dτ2.方便起見，記類群元g∈G（C）生成的單余子代數(shù)為Dg，且Dg在bC中的指標(biāo)就為g.對d≥1，設(shè)

Dτ有唯一的單右余模同構(gòu)類Vτ和唯一的單左余模同構(gòu)類V?τ，且

已知C0-雙余模范疇C0MC0是半單的.設(shè)M∈C0MC0，對τ，μ∈，記Mτ，μ為M的同構(gòu)于Vτ??Vμ的單C0-雙余子模的和，則有

容易驗證，對n≥1，有（Pn，ρL，ρR）∈C0MC0.則

注意到Pn-1?Pn是一個C0-雙余子模.那么存在一個Pn的C0-雙余子模Qn，使得

這里注意Qn的選取不是唯一的.

有下式成立：

顯然Wn為Qn的一組基.

對n=0，記C的單余子代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)基全體為

顯然W0為C0的一組基.

記

由式（8）知，W是余代數(shù)C的一組基，并完整刻畫了C的樹結(jié)構(gòu).

定義2.2對余代數(shù)C，稱式（15）給出的W為C的一組由W0和I誘導(dǎo)的樹結(jié)構(gòu)基.

對w∈W，如果w∈W∩Pn，n≥1，有

這里kw′，w1，w2∈k且只有(有限個非零.由式（16），定義

將樹結(jié)構(gòu)中有內(nèi)在聯(lián)系的直和項合并起來，得到以下結(jié)構(gòu).

定義2.3對n≥0，稱

為余代數(shù)C的由I和Qn誘導(dǎo)的塊.

顯然C=⊕n≥0，d1，d2≥1 Bd1，d2n，并稱此直和為余代數(shù)C的由I和｛Qn｝n≥1誘導(dǎo)的塊系統(tǒng).

命題2.1若存在n＞1和d1，d2≥1，使得Bd1，d2n/=0，則存在一正整數(shù)集合｛b1，···，bn-1｝使得對所有的i=1，···，n-1，有Bd1，bii/=0和Bbi，d2n-i/=0.

證對τ，μ∈bC，n≥1，每個非零Qτ，μn都對應(yīng)一個非零塊Bd1，d2n，這里d1=dτ，d2=dμ.容易驗證，Pτ，μnPn-1等價于Qτ，μn/=0.由［7，Lemm a 3.2］，命題得證.

3　Hop f代數(shù)的塊系統(tǒng)

本文將余代數(shù)的塊系統(tǒng)推廣到Hop f代數(shù)上，由此給出非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件.設(shè)（H，m，u，Δ，ε，S）是一個非余半單的Hopf代數(shù).不妨設(shè)H=C，并繼承上一節(jié)的符號.

討論H的塊之間的聯(lián)系，由此來刻畫H的結(jié)構(gòu).

命題3.1對任意n≥0和d1，d2≥1，有dim被dim整除.

命題3.2對任意n≥1，d≥1，有d im Bnd，1和dim Bn1，d都能被d|G（H）|整除.

引理3.1對u∈WH∩I，

（i）如果ρL（u）=1?u且對任意的v∈WH有u∈/R（v），那么u?是H?的一個左積分且存在g∈G（H）使得ρR（u）=u?g；

（ii）如果ρR（u）=u?1且對任意的v∈WH有u∈/L（v），那么u?是H?的一個右積分且存

在h∈G（H）使得ρL（u）=h?u.

證證明（ii）與證明（i）類似.所以只證明（i）.對任意的w∈WH，考慮卷積w??u?.對任意的v∈WH，由u∈/R（v）成立知，(

因此w??u?=w?（1）u?.由w的任意性，w?取遍W?H中的所有基元.對任意的f∈H?，有f?u?= f（1）u?，使得u?是一個H?的左積分.已知H的左積分空間是一維的.由式（10）知，存在類群元g，使得ρR（u）=u?g.引理得證.

對H的形如B1，1n的塊，記

由以上幾個命題，得到非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件如下：

定理3.1如果一個非余半單余代數(shù)具有容許性，那么此余代數(shù)的塊系統(tǒng)一定滿足命題2.1，命題3.1，命題3.2，命題3.3，命題3.4和命題3.5所述.

定義3.1設(shè)C是一個非余半單余代數(shù).稱C是純非余半單的，如果C沒有非退化的斜本原元.

沿用上一節(jié)的記號.設(shè)H是一個有限維非余半單Hop f代數(shù).稱H是純非余半單Hop f代數(shù)，如果H作為余代數(shù)是純非余半單的.容易驗證，H是純非余半單Hop f代數(shù)等價于dim B1，11=0.

一般地，非余半單Hop f代數(shù)的結(jié)構(gòu)分成點(diǎn)態(tài)部分和非點(diǎn)態(tài)部分來考慮.點(diǎn)態(tài)部分由Andruskiew itsch的提升方法可以較清楚的了解其結(jié)構(gòu).本文更關(guān)心的是非點(diǎn)態(tài)的部分.

討論純非余半單Hopf代數(shù)有非常重要的意義.由［3，Proposition 1.8］知，H是純非余半單Hop f代數(shù)的等價條件是H的點(diǎn)態(tài)Hop f子代數(shù)都包含于G（H）.這就是說其點(diǎn)態(tài)部分的結(jié)構(gòu)是平凡的，由此可以更直接的研究其非點(diǎn)態(tài)的部分.

注3.1在一些特定維數(shù)下，非余半單Hop f代數(shù)如果存在，則都是純非余半單Hopf代數(shù).由［9，Lemma 2.8］知，如果（|G（H）|，dim H/|G（H）|）=1成立，那么H是純非余半單Hop f代數(shù).更近一步，對任意的g∈G（H），如果ord（g）的平方不能整除dim H，則H是純非余半單Hopf代數(shù).舉例來說，維數(shù)中沒有平方因子的非余半單Hop f代數(shù)都是純非余半單Hopf代數(shù).

命題3.7設(shè)H是一個純非余半單Hop f代數(shù).如果mH＜mH，那么存在b1，b2＞1和l＞m H＞1，使得Bb1，1l/=0和B 1，b2l/=0.

證由于H沒有非退化的斜本原元，有B1，11=0且mH＞1.

總結(jié)純非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件如下：

定理3.2如果一個純非余半單余代數(shù)有Hop f代數(shù)結(jié)構(gòu)，那么此余代數(shù)的塊系統(tǒng)一定滿足定理3.1，命題3.6和命題3.7.

4　容許性必要條件的應(yīng)用

應(yīng)用容許性的必要條件，得到了純非余半單Hop f代數(shù)的維數(shù)下界，給出了45維和105維Hop f代數(shù)的簡化分類結(jié)果.

命題4.1如果H是純非余半單Hop f代數(shù)，設(shè)|G（H）|=r，那么有

證由命題3.6知，存在d＞1和k＞1，使得H的塊系統(tǒng)中一定有以下6個非零塊：

已知

則dim H≥（2d+2）r+2lcm（d2，r）.命題得證.

為方便起見，對d＞1，r≥1，記η（r，d）=（2d+2）r+2lcm（d2，r）.

命題4.2設(shè)H是純非余半單Hop f代數(shù)，|G（H）|=r.如果mH＜mH，那么有

證由命題3.6和命題3.7知，存在b1，b2＞1和l＞mH＞1，k＞1，使得H的塊系統(tǒng)中一定有以下10個非零塊：

與命題4.1的證明類似，有dim H≥（2b1+1）r+lcm（b1b2，r）+η（r，b2）.命題得證.

從［10，Theorem 2］的證明可知，如果H是一個奇數(shù)維的Hop f代數(shù)，則有|G（H）|＞1或

推論4.1設(shè)A是一個45維Hop f代數(shù)，如果A是非余半單非點(diǎn)態(tài)的，且|G（A）|＞1，那么有

（i）|G（A）|=3；

（ii）存在Hopf子代數(shù)T?A，使得T～=T3，這里T3是32維的Taft代數(shù)；

（iii）A的多維單余子代數(shù)有相同維數(shù)d2，并且d=2或3.

證可以證明A一定不是純非余半單Hopf代數(shù).假設(shè)A是純非余半單Hop f代數(shù).如果|G（A）|=5，9，15，由命題4.1知，dim A＞45，矛盾.如果|G（H）|=3，容易驗證mA＜mA，由命題4.2知，dim A＞45，矛盾.所以A一定不是純非余半單Hopf代數(shù).

已知A包含非退化的斜本原元，由［3，Proposition 1.8］知，這些非退化的斜本原元生成一個pq2型的A的點(diǎn)態(tài)Hop f子代數(shù)T.由Nichols-Zoeller定理知，dim T整除45.則dim T=32. Andruskiew itsch和Schneider在［11］證明了p2型的非余半單Hop f代數(shù)都是Taft代數(shù).所以有T～= T3.（ii）得證.

推論4.2設(shè)A是一個105維Hopf代數(shù)，且|G（A）|＞1.如果|G（A）|/=3，那么A是余半單的.

證假設(shè)A是非余半單的，則|G（A）|/=105.由注3.1知，A是純非余半單Hop f代數(shù).由命題4.1給出的維數(shù)下界知，|G（A）|/=15，21，35.如果|G（A）|/=5，7，容易驗證mA＜mA，由命題4.2知，d im A＞105，矛盾.則只有|G（A）|=3，與題設(shè)矛盾.所以A是余半單的.

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M R Su b jec t C lassifica tion:16T 05；16T 15

N ecessary cond itions for coalgeb ras being adm issib le

FAN Zhong-ping
（School of Math.Sci.，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027，China）

In this paper，necessary conditions are given for non-cosem isim ple and pure noncosem isim p le coalgeb ras being adm issible，using b lock system s built for Hop f algeb ras through their coalgebra structure.The im plications sim plify the classification for Hopf algebras of dimension 45 and 105 and p rovide a new m ethod for the finite d im ensional Hop f algeb ras classification problem.

coalgebra；adm issibility；Hopf algebra；classification；block system

O 153

1000-4424（2016）02-0225-08

2016-03-17

國家自然科學(xué)基金（11271319）