章春國(guó)，劉維維，張海燕（杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江杭州310018）

具有邊界反饋控制弱耦合梁-弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性

章春國(guó)，劉維維，張海燕
（杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江杭州310018）

研究具有邊界反饋控制的弱耦合梁-弦系統(tǒng).首先在合適的假設(shè)下，應(yīng)用線性算子半群理論證明了系統(tǒng)的適定性；進(jìn)而運(yùn)用線性算子半群的頻域定理證明了具有邊界反饋控制的弱耦合梁-弦系統(tǒng)的能量是一致指數(shù)衰減的.

梁-弦系統(tǒng)；線性算子半群；邊界反饋控制；一致指數(shù)衰減

1　引言

近年來，梁-弦系統(tǒng)在空間科學(xué)及機(jī)器人學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，研究梁-弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性既有理論指導(dǎo)意義，又有實(shí)際工程意義.材料科學(xué)的發(fā)展為彈性結(jié)構(gòu)的抑振提供了新的方法，隨著應(yīng)用的需要，許多數(shù)學(xué)與力學(xué)工作者研究了具有各類阻尼的Euler-Bernou lli梁，Tim oshenko梁，Ray leigh梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中主要方法運(yùn)用算子半群理論與乘子技巧.例如：文獻(xiàn)［1］研究的是非線性耦合振動(dòng)的Petrovsky系統(tǒng)，文獻(xiàn)［2-9］考慮的是具有各種不同阻尼的梁與弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用能量函數(shù)結(jié)合乘子技巧得到了系統(tǒng)能量的指數(shù)衰減性和多項(xiàng)式衰減性.本文考慮一類具有邊界反饋控制的弱耦合梁-弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性.更具體地說，研究如下一類弱耦合系統(tǒng)的初邊值問題：

其中′表示對(duì)空間變量x的導(dǎo)數(shù)，反饋常數(shù)bi＞0，i=1，2，3，a（x）∈L∞（0，1）.

本文的主要想法源于文獻(xiàn)［5］和［6］，并根據(jù)經(jīng)典結(jié)果［10］和頻域結(jié)果［11-12］，運(yùn)用分片乘子技巧獲得了系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性.

2　預(yù)備知識(shí)基本假設(shè)

引入函數(shù)空間

賦予范數(shù)

因此V和H都是實(shí)（復(fù)）Hilbert空間.

則W也是實(shí)（復(fù)）Hilbert空間.

接下來，定義W上線性算子A如下：

于是將系統(tǒng)（1）改寫成W上的抽象Cauchy問題

定義系統(tǒng)（1）在時(shí)刻t的能量為

其中Poincaré常數(shù)c1，c2＞0，Hk（0，1）是k階Sobolev空間（參見［13］）.

為了研究系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性，作如下假設(shè)：

這里‖a‖∞=‖a‖L∞（0，1）＞0.

引理2.1（見［11］）設(shè)A是Hilbert空間H上的壓縮C0-半群eAt的無窮生成元，則eAt指數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是：

3　主要結(jié)果

定理3.1如果假設(shè)（H）成立，那么A是W上壓縮C0-半群eAt的無窮小生成元.進(jìn)一步，若（u01，u02，u11，u12，（u11）′（1））∈D（A），則系統(tǒng)（1）存在唯一的強(qiáng)解；若（u01，u02，u11，u12，（u11）′（1））∈W，則系統(tǒng)（1）存在唯一的弱解.

證對(duì)于?（u1，u2，v1，v2，y）∈D（A），分部積分并應(yīng)用邊界條件得

因此，A在W中是耗散的，易證KerA=｛0｝.

于是

將（10）中的三、四兩式分別乘以u(píng)1和u2，并在（0，1）上積分，分部積分得

將（11）和（12）兩式相加得

和

將（15）代入到（14），并由（5）得

（13）結(jié)合（16），應(yīng)用帶ε的Cauchy不等式得

于是

從而

再一次利用（5）得

其中，c=m ax｛c1，c2｝.

結(jié)合（20），（21）和（22），存在某個(gè)常數(shù)M＞0，使得

因此A-1∈L（W），且0∈ρ（A）（A的預(yù)解集），于是A是閉的.再由預(yù)解式的連續(xù)性知，對(duì)于足夠小的λ＞0，算子λI-A的值域rg（λI-A）=W.由定理1.4.6（見［10］）得D（A）=W.應(yīng)用Lum er-Phillips定理，線性算子A是W上壓縮C0-半群eAt的無窮生成元.

在給出定理3.2之前，先給出線性算子A的譜性質(zhì).

性質(zhì)3.1如果假設(shè)（H）成立，那么ρ（A）?iR=｛iλ|λ∈R｝.

證首先證明A具有緊的預(yù)解式.不妨設(shè)｛Yn|n≥1｝?W是一有界序列：即‖.由定理3.1的證明過程知0∈ρ（A）.因此令，由Sobolev嵌入定理得Zn存在收斂子列，所以A-1是緊的.

接下來證明ρ（A）?iR.由于A-1是緊的，A只有點(diǎn)譜.

不妨假設(shè)λ∈R（λ/=0）使得iλ∈σP（A）（A的點(diǎn)譜），于是存在Z=（u1，u2，v1，v2，y）/=0使得（iλI-A）Z=0，即

由于

由（23）和（24）得

再由（2）知：由常微分方程初值問題解的唯一性定理得（u1，u2）=0，因此Z=（u1，u2，v1，v2，y）=0，這與Z/=0矛盾，性質(zhì)3.1得證.

定理3.2若假設(shè)（H）成立，則壓縮C0-半群eAt是指數(shù)穩(wěn)定的.

證設(shè)u1=u1（x，t），u2=u2（x，t）是系統(tǒng)（1）的解，那么

由引理2.1和性質(zhì)3.1，要證明定理3.2，只需證明

假設(shè)（25）不真.即sup｛‖（iλI-A）-1‖|λ∈R｝=+∞，由共鳴定理和預(yù)解式連續(xù)性知，存在｛λn｝?R和使得

用（v1n，v2n）對(duì)（28）在H中作內(nèi)積，

用（u1n，u2n）對(duì)（29）在H中作內(nèi)積，并分部積分得

學(xué)校的作息時(shí)間與農(nóng)業(yè)生產(chǎn)相匹配，也分為一天三節(jié)，每周上6天課。因?yàn)闆]有統(tǒng)籌，許某上一天課就算一天工，周日不出工就沒有工分。生產(chǎn)隊(duì)開始只給他評(píng)了三級(jí)工——9分，因?yàn)椤拔覀冞€是后生，做不了多少，體力沒有多少，一級(jí)一般要擔(dān)得100多斤，我們一般是三級(jí)，四、五級(jí)一般是老人或者是婦女。如果一個(gè)月有四個(gè)星期日你沒參加生產(chǎn)勞動(dòng)，就少了36分?！?XJA170325)可見教師與社員一樣，對(duì)工分都是非常重視的。

將（33）和（34）兩式相加并取實(shí)部得

由（28）知：在L2（0，1）中，u1n→0，u2n→0.因此（35）改寫為

上式結(jié)合（26）得

將（28）代入（29）得

現(xiàn)取乘子q（x）=eηx-1，其中η＞0是一個(gè)給定常數(shù)（它的取值后面給出）.

由（28）立即得到：

由（28）和（31）得到

上式結(jié)合（41）和（42）有

由于q（0）=0，結(jié)合假設(shè)（H），（5）和（31），分部積分并取實(shí)部得

又由（28）立即得

又由（28）和（31）得

上式結(jié)合（46）和（47）有

由（44）和（49）相加得

現(xiàn)在只要取常數(shù)η＞0使得

容易看出，上式與（37）矛盾.因此（25）成立，從而證明了定理3.2.

［1］Han Xiaosen，Wang M ingxin.Energy decay rate for a coup led hyperbolic system w ith non linear dam p ing［J］.Nonlinear Anal，2009，70:3264-3272.

［2］A issa G，Salim A.M essaoud i.General energy decay estim ates of T im oshenko system s w ith frictional versus viscoelastic dam ping［J］.M ath M eth Appl Sci，2009，32:2102-2122.

［3］Han Xiaosen，Wang M ingxin.General decay of energy for a viscoelastic equation w ith non linear dam p ing［J］.M ath M eth A pp l Sci，2009，32:346-358.

［4］Liu Kangsheng，Liu Zhuangyi.On the type of C0-sem igroup associated w ith the abstract linear viscoelastic system［J］.Z Angew Math Phys，1996，47（2）:1-15.

［5］Liu Kangsheng，Liu Zhuangyi.Exponential decay of energy of vibrating strings w ith local viscoelasticity［J］.Z Angew M ath Phys，2002，53（2）:265-280.

［6］Liu Kangsheng，Liu Zhuangyi.Boundary stabilization of a nonhomogeneous beam w ith rotatory inertia at the tip［J］.JCom put App lM ath，2000，114:1-10.

［7］章春國(guó).具有局部記憶阻尼的非均質(zhì)T im oshenko梁的穩(wěn)定性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)A輯，2012，32（1）:197-206.

［8］章春國(guó)，谷尚武，姜敬華.具有Boltzmann阻尼Petrovsky系統(tǒng)的穩(wěn)定性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2013，33（7）:807-817.

［9］章春國(guó)，張海燕，谷尚武.一類具有局部記憶阻尼的弱耦合系統(tǒng)的能量衰減估計(jì)［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)A輯，2015，35（1）:194-209.

［10］Pazy A.Sem igroups of Linear Operators and App lications to Partical D ifferential Euqations［M］.New York:Sp ringer-Verlag，1983，21（1）:56-78.

［11］Huang Falun.Characteristic condition for exponential stability of linear dynam ical system s in H ilbert spaces［J］.Ann D iff Eqs，1985，1（1）:43-56.

［12］Pruss J.On the spectrum of sem igroups［J］.Trans Amer M ath Soc，1984，284（3）:847-857.

［13］Adam s R A.Sobolev Spaces［M］.New York:Acadam ic Press，1975.

M R Sub ject C lassification:35B40；93B05

Stab ility of the w eak ly coup led beam-string system w ith boundary feedback con trol

ZHANG Chun-guo，LIU W ei-w ei，ZHANG Hai-yan
（Dep t.of Math.，Hangzhou DianziUniv.，Hangzhou 310018，China）

This paper stud ies the w eak ly coup led beam-string system w ith boundary feedback control.First，under the app rop riate hypothesis，it is proved that the well-posedness of the system by using the theory of linear operator sem igroup.And then，it is showed that the energy of the weak ly coup led beam-string system w ith boundary feedback control is uniform exponential decay by app lying the frequence dom ain resu lt on H ilbert space.

beam-string system；linear operator sem igroup；boundary feedback control；uniform exponential decay

O231.4

A

1000-4424（2016）02-0185-09

2015-04-10

2016-01-06基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（61374096；11271104）