摘 要:本文結(jié)合高考題的析解,從化歸的內(nèi)涵入手,具體敘述了化歸的5種類型:直接與間接的轉(zhuǎn)化、困難與容易的轉(zhuǎn)化、未知與已知的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、高層次與低層次的轉(zhuǎn)化。
關(guān)鍵詞:化歸;內(nèi)涵;類型;例析
所謂的化歸思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到解決的一種策略。化歸的著眼點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)新問題與舊問題之間的類似,在于抓住新、老問題之間的真正的、規(guī)律性的聯(lián)系?;瘹w思維的實(shí)質(zhì)是通過事物之間的聯(lián)系和矛盾運(yùn)動(dòng),在變換中實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范性(熟悉或易于處理),即將待解決的問題變化(轉(zhuǎn)化)為規(guī)范間題,從而使新問題得以解決。[1]所以,它不僅是一種重要的解題思想,也是一種最基本的思維策略,更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。化歸在高考題中出現(xiàn)的次數(shù)極高。下面以2017年高考數(shù)學(xué)理科全國(guó)卷Ⅰ為例,談?wù)劵瘹w思想的認(rèn)識(shí)。
一、直接與間接的轉(zhuǎn)化
(2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)11.設(shè)為正數(shù),且,則()
解析:注意到本題所給的條件,如果根據(jù)題設(shè)直接比較的大小,操作比較困難。在進(jìn)一步觀察題設(shè)時(shí),我們不妨利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化來找出本題的切入點(diǎn)。接下來根據(jù)對(duì)數(shù)的圖象的性質(zhì)來判斷大小,以達(dá)到解題的目的。而這充分體現(xiàn)了化直接為間接的方法。
二、困難與容易的轉(zhuǎn)化
(2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)21.已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
解析:此題牽扯兩個(gè)未知量a,x,如果直接運(yùn)用定義求解單調(diào)性,是比較困難的,而且出錯(cuò)率較高。因而我們很容易想到利用導(dǎo)數(shù)法判斷f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的單調(diào)性:①確定函數(shù)的定義域并求f(x);②確定f'(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的符號(hào);③作出結(jié)論:當(dāng)f'(x)>0時(shí),f(x)為增函數(shù);當(dāng)f'(x)<0時(shí),f(x)為減函數(shù)。這就將一個(gè)較為困難的問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)簡(jiǎn)單的問題。
f(x)的定義域?yàn)椋?∞,±∞),
①
三、未知與已知的轉(zhuǎn)化
(2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)9.已知曲線C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+2π/3),則下面結(jié)論正確的是()
A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移π/6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移π/12個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1/2,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移π/6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1/2,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移π/12個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
解析:根據(jù)題設(shè),我們都有一定的思路來求解。但也有可能因?yàn)閷?duì)變換規(guī)律不清楚或者不能正確地將平移前后的三角函數(shù)名化為同一三角函數(shù)名而出錯(cuò)。因而解決三角函數(shù)圖象的變換問題需要把握兩點(diǎn):(1)三角函數(shù)名的統(tǒng)一。(2)三角函數(shù)變換規(guī)律即“變量變化”與“圖象變化”的關(guān)系。這都是對(duì)未知化已知的體現(xiàn)。而此題的難點(diǎn)恰恰在于能否正確的化為同一三角函數(shù)名。
根據(jù)主線圖,可清晰地看出該題的求解步驟及思路。因此選D.
四、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化
(2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)16.如圖,圖形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D,E,F(xiàn)為圓O上的點(diǎn),分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起,使得D,E,F(xiàn)重合,得到三棱錐,當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為_________。
解析:根據(jù)題意,我們作出要所求的三棱錐圖形——圖(2),并確定三棱錐體積中所要求的各個(gè)量。再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù),對(duì)這各個(gè)量進(jìn)行表示,最終求得結(jié)果。本題目充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法,以直觀形象給人以思路,順利解題。
如圖(1),作OH⊥AC,垂足為H,連接EH。由題意知,點(diǎn)O,H,E在一條直線上。設(shè)OH=x,則AC=,HE=5-x,
如圖(2),設(shè)D,E,F(xiàn)重合于點(diǎn)S,則根據(jù)題意,點(diǎn)S在平面ABC上的投影為圓心O,所以
五、高層次與低層次的轉(zhuǎn)化
(2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)18.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90°。
(1)證明:平面 PAB ⊥平面 PAD;
分析:解決直線與平面垂直問題的常用方法有:①利用線面垂直的定義;②利用線面垂直的判定定理;③利用面面垂直的性質(zhì)。但是,由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此整個(gè)證明過程可以圍繞著線面垂直這個(gè)核心展開,這也是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在。這種解題方法充分證實(shí)了化高維為低維是一種不可忽視的解題方法。
首先根據(jù)已知條件,證明AB⊥PD;然后,根據(jù)線線垂直到線面垂直的轉(zhuǎn)化,證明AB⊥平面PAD;最后,根據(jù)線面垂直到面面垂直的轉(zhuǎn)化,證明平面 PAB ⊥平面 PAD。
化歸,不僅要求“變”,還要求在此基礎(chǔ)上,達(dá)到一種“統(tǒng)一”。高考題中蘊(yùn)藏著的這些化歸方法,我們?cè)鯓硬拍茉谧疃虝r(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn),以達(dá)到一種高效的狀態(tài)呢?還有,這對(duì)我們平時(shí)的學(xué)習(xí)或者教學(xué)又有什么要求呢?這些都是值得我們思考的問題。
參考文獻(xiàn)
[1]趙小云,葉立軍.數(shù)學(xué)化歸思維論[M].北京:科學(xué)出版社,2005:178.
作者簡(jiǎn)介:
孫若涵(1994.08-)女,漢,籍貫:山東淄博,在讀研究生,研究方向:學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))
(作者單位:聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)