高守貴

一、矢量之間的運(yùn)算結(jié)果未必還是矢量

1.矢量之間加減，矢量和標(biāo)量之間乘除，其結(jié)果仍是矢量

矢量的加法通常用平行四邊形法則，由平行四邊形法則可推廣至三角形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運(yùn)算，一個(gè)矢量減去另一個(gè)矢量，等于加上那個(gè)矢量的負(fù)矢量。矢量加、減法即是矢量之間的合成或分解，結(jié)果仍然具有方向性，依然是矢量。

矢量和標(biāo)量的乘積或除法可認(rèn)為將矢量放大或縮小。如F=ma，F(xiàn)與a同方向；v=S/t，v與S同方向。毫無(wú)疑問(wèn)，運(yùn)算的結(jié)果仍為矢量，方向不變。

2.矢量和矢量之間的乘積，其結(jié)果未必是矢量

矢量和矢量的乘積可以構(gòu)成新的標(biāo)量，矢量間這樣的乘積叫標(biāo)積。如a=B·C，a變成了標(biāo)量，大小是a=bccosθ，（θ是由B和C所成的夾角）。

矢量和矢量的乘積也可能構(gòu)成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。如力矩M=r×F=rFsinθ，感生電動(dòng)勢(shì)ε=Lv×B=LvBsinθ，洛侖茲力F=qv×B=qvBsinθ等，都是這種情況。

二、矢量和標(biāo)量學(xué)習(xí)中容易混淆的幾個(gè)問(wèn)題

1.有方向的物理量未必是矢量

電流有方向，但是電流卻是標(biāo)量，電流的運(yùn)算遵循一般的代數(shù)法則。電流的方向是人為規(guī)定的，即正電荷定向移動(dòng)的方向?yàn)殡娏鞯姆较?，電流的方向與真正矢量的方向有區(qū)別。

2.極少數(shù)矢量也遵循一般代數(shù)法則運(yùn)算

力矩是矢量，而合力矩的運(yùn)算卻遵循代數(shù)法則。這是因?yàn)樵谕黄矫嫔系牧胤较蛑挥心鏁r(shí)針?lè)较颍ㄕ胤较颍┖晚槙r(shí)針?lè)较颍ㄘ?fù)力矩方向）的緣故，它的運(yùn)算方法簡(jiǎn)化為代數(shù)加減。

3.標(biāo)量不能進(jìn)行正交分解

因?yàn)闃?biāo)量沒(méi)有方向性，所以分解標(biāo)量在物理意義上是行不通的。

如論證平拋運(yùn)動(dòng)中物體的機(jī)械能守恒：設(shè)物體質(zhì)量為m，水平初速度為v0，下落高度為h。

常見(jiàn)的錯(cuò)誤論證如下：根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，水平方向的分速度不變，所以水平方向機(jī)械能不變，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都是mv02。豎直方向相當(dāng)于自由落體運(yùn)動(dòng)，初位置的機(jī)械能為重力勢(shì)能，大小為mgh；下落h高度后，豎直方向的分速度為√2gh，此時(shí)重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，大小也為mgh，所以豎直方向的機(jī)械能也不變。故機(jī)械能守恒，命題得證。

上述論證在物理意義上是行不通的。因?yàn)橹挥辛Α⑺俣鹊仁噶坎拍苓M(jìn)行正交分解，而功和能都是標(biāo)量，所以不能進(jìn)行正交分解，無(wú)所謂“哪個(gè)方向上能量守恒”。由于對(duì)標(biāo)量、矢量在物理意義區(qū)分上出現(xiàn)混淆，才造成上述錯(cuò)誤。

三、矢量和標(biāo)量的辨別方法

1.矢量和標(biāo)量通常的辨別方法

物理矢量和標(biāo)量最本質(zhì)的區(qū)別是它們的定義、性質(zhì)、物理意義不同，不考慮方向無(wú)法完全確定的物理量是矢量；它們之間最明顯的區(qū)別是運(yùn)算方法不同，通常矢量運(yùn)算并不遵循代數(shù)法則，而是幾何運(yùn)算法則即平行四邊形法則等。

2.從維度方面來(lái)區(qū)別矢量和標(biāo)量

矢量和標(biāo)量的區(qū)別就是他們所依存的空間是多少維的，矢量一般需要二維或者三維，特殊情況下簡(jiǎn)化為一維，而標(biāo)量是一維的或者根本就沒(méi)有方向。

以力為例深入地分析矢量的維度和運(yùn)算，如果幾個(gè)力方向相同或相反，即簡(jiǎn)化為只在一個(gè)維度即一條直線上，它們之間的合成簡(jiǎn)化為代數(shù)加減。如果兩個(gè)共點(diǎn)力方向成一定夾角（不等于0°或180°），則它們?cè)趦蓚€(gè)維度即一個(gè)平面上，它們之間的合成只能依照平行四邊形法則等幾何運(yùn)算法則來(lái)運(yùn)算；若有三個(gè)或更多的共點(diǎn)力，則任取兩個(gè)力合成后取合力，此時(shí)一個(gè)合力代替了這兩個(gè)力而減少了一個(gè)力，再用合力與第三個(gè)力合成減少一個(gè)力，依此類推，直至求出最終的合力，即使這些共點(diǎn)力不在同一個(gè)平面上，形成在三個(gè)維度即立體空間中合成，運(yùn)算方法也不變，n個(gè)共點(diǎn)力合成需要合成（n-1）次。

總之，只有從概念本質(zhì)理解物理標(biāo)量和矢量，掌握運(yùn)算規(guī)律，才能掃除學(xué)習(xí)上的障礙，從而更加深入地理解物理量的物理意義。

參考文獻(xiàn)：

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