王煥杰，劉 禹，張召弟

(1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109； 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109)

0 引言

單框架控制力矩陀螺(SGCMG)作為一種角動(dòng)量交換裝置，憑借其大力矩輸出特性，在航天器姿態(tài)控制領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1]。SGCMG在進(jìn)行三維力矩輸出時(shí)，多以3個(gè)或3個(gè)以上成簇組成一定構(gòu)型。根據(jù)所選SGCMG個(gè)數(shù)及其安裝方式不同將其分為平行構(gòu)型和獨(dú)立構(gòu)型。常見(jiàn)的獨(dú)立構(gòu)型有雙平行構(gòu)型、三平行構(gòu)型；獨(dú)立構(gòu)型有金字塔構(gòu)型、五棱錐構(gòu)型等。文獻(xiàn)[2]介紹了各類構(gòu)型的分類。文獻(xiàn)[3]分析了SGCMGs構(gòu)型的幾何特性，并給出了各SGCMGs構(gòu)型奇異點(diǎn)的理論推導(dǎo)。

基于不同的SGCMGs構(gòu)型，學(xué)者們?cè)O(shè)計(jì)了不同的操縱律，當(dāng)前操縱律的設(shè)計(jì)問(wèn)題主要集中在對(duì)雅克比矩陣求逆上。其中最簡(jiǎn)單的是偽逆操縱律[4]，此操縱律雖然能得到精確解，但卻無(wú)奇異規(guī)避能力。帶零運(yùn)動(dòng)的偽逆操縱律[5]和魯棒偽逆操縱律[6]是對(duì)偽逆操縱律的改進(jìn)，都在不同程度上實(shí)現(xiàn)了對(duì)奇異狀態(tài)的回避。帶零運(yùn)動(dòng)的偽逆操縱律能有效避免構(gòu)型的內(nèi)部隱奇異點(diǎn)，但無(wú)法解決內(nèi)部顯奇異問(wèn)題；魯棒偽逆操縱律在進(jìn)行奇異規(guī)避的同時(shí)會(huì)引入誤差項(xiàng)，降低控制精度。以上提到的操縱律都是針對(duì)某類構(gòu)型而言，不具備研究的一般化特性。

五棱錐構(gòu)型由于其內(nèi)部顯奇異點(diǎn)靠近包絡(luò)，已成功應(yīng)用于“和平號(hào)”空間站[7]，但其所采用的帶有零運(yùn)動(dòng)的偽逆操縱律具有較強(qiáng)的針對(duì)性，對(duì)內(nèi)部奇異復(fù)雜的構(gòu)型并不適用。五棱錐SGCMGs單只失效后，內(nèi)部奇異點(diǎn)分布情況復(fù)雜，具備研究的一般化特性。針對(duì)此類奇異點(diǎn)的復(fù)雜構(gòu)型，多采用引入擾動(dòng)的方法進(jìn)行奇異規(guī)避。文獻(xiàn)[8]采用一種變系數(shù)的魯棒偽逆操縱律，文獻(xiàn)[9-10]采用一種引入附加框架加速度的方法，都實(shí)現(xiàn)了對(duì)奇異的規(guī)避，但均未對(duì)構(gòu)型內(nèi)部的顯奇異點(diǎn)和隱奇異點(diǎn)加以區(qū)分。如何在有效規(guī)避奇異的基礎(chǔ)上盡量實(shí)現(xiàn)指令力矩的精確輸出，是SGCMGs使用研究的重點(diǎn)。從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，往往通過(guò)引入一定的攝動(dòng)來(lái)保證SGCMGs的有效規(guī)避，這就意味著SGCMGs輸出了指令力矩之外的干擾力矩。隨著航天器高精度姿態(tài)控制要求的提高，這些干擾力矩需要盡量減小甚至避免。

本文以五棱錐構(gòu)型為例進(jìn)行構(gòu)型分析，對(duì)單只陀螺完全失效后構(gòu)型的內(nèi)部奇異情況進(jìn)行了研究，重點(diǎn)對(duì)失效前后顯奇異點(diǎn)、隱奇異點(diǎn)的分布進(jìn)行了分析及量化對(duì)比。同時(shí)針對(duì)單只陀螺失效后，構(gòu)型具備的一般化奇異特性，綜合零運(yùn)動(dòng)規(guī)避隱奇異和魯棒偽逆規(guī)避顯奇異的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行了操縱律設(shè)計(jì)，在保證奇異規(guī)避的基礎(chǔ)上有效減小了干擾力矩。最后，采用單只陀螺失效后的五棱錐SGCMGs構(gòu)型，以三軸姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)為例，對(duì)所設(shè)計(jì)的操縱律和傳統(tǒng)的魯棒偽逆操縱律進(jìn)行了仿真。

1 構(gòu)型分析

五棱錐構(gòu)型[11]采用6個(gè)SGCMG進(jìn)行獨(dú)立型方式安裝，其中5個(gè)被分別安裝在正五棱錐體相鄰的5個(gè)側(cè)面，另一個(gè)沿五棱錐的中軸線方向安裝，任意相鄰兩面的夾角為116.51°。各陀螺的框架軸對(duì)稱分布，分別垂直于其所在側(cè)面，錐面與地面夾角為β=63.4°。系統(tǒng)構(gòu)型如圖1所示。

圖1 五棱錐構(gòu)型示意圖Fig.1 FPC configuration diagram

各框架軸的安裝方向分別為

(1)

根據(jù)SGCMG單元的力矩輸出特性，其角動(dòng)量hi、輸出力矩ci與框架軸安裝方向gi兩兩垂直。在確定框架軸安裝方向后，對(duì)應(yīng)不同的SGCMG框架轉(zhuǎn)角可求得每個(gè)SGCMG的角動(dòng)量，進(jìn)而可求得SGCMGs構(gòu)型的角動(dòng)量

(2)

(3)

(4)

(5)

總的奇異角動(dòng)量

(6)

由此可得構(gòu)型的角動(dòng)量奇異面，如圖2所示。該奇異面包含顯奇異點(diǎn)和隱奇異點(diǎn)，針對(duì)每個(gè)奇異點(diǎn)，判斷其有無(wú)零運(yùn)動(dòng)存在[12]。1個(gè)奇異點(diǎn)若存在零運(yùn)動(dòng)，為隱奇異點(diǎn)，如圖3所示；反之則為顯奇異點(diǎn)，如圖4所示。圖中的Hx、Hy、Hz分別表示角動(dòng)量在x、y、z軸的分量。

圖2 五棱錐構(gòu)型奇異面Fig.2 FPC singular surface

圖3 五棱錐構(gòu)型隱奇異面Fig.3 FPC passable singular surface

圖4 五棱錐構(gòu)型顯奇異面Fig.4 FPC impassable singular surface

考慮到五棱錐構(gòu)型的強(qiáng)對(duì)稱性，單只陀螺失效情況以CMG1和CMG6失效為例進(jìn)行分析，本文只對(duì)CMG1失效后構(gòu)型的奇異面、隱奇異面、顯奇異面進(jìn)行超曲面輸出，如圖5～7所示。

圖5 CMG1失效后奇異面Fig.5 Singular surface after CMG1 is invalid

圖6 CMG1失效后隱奇異面Fig.6 Passable singular surface after CMG1 is invalid

圖7 CMG1失效后顯奇異面Fig.7 Impassable singular surface after CMG1 is invalid

通過(guò)比較得到單只陀螺失效前后構(gòu)型奇異面的幾何特性，見(jiàn)表1。

表1 失效前后構(gòu)型角動(dòng)量情況

用文獻(xiàn)[13]中的4個(gè)性能參數(shù)表示構(gòu)型特性，如下所示：

1) 構(gòu)型效益。SGCMGs角動(dòng)量包絡(luò)面上的最小值與SGCMGs角動(dòng)量代數(shù)和之比，表征了單個(gè)SGCMG對(duì)整個(gè)構(gòu)型貢獻(xiàn)的大小。值越大表明單個(gè)SGCMG發(fā)揮的作用越大。

2) 構(gòu)型效率。角動(dòng)量體包絡(luò)面上的最小值與最大值之比，值越大表明構(gòu)型的角動(dòng)量體越接近球狀，構(gòu)型在各方向能夠提供的力矩輸出能力越均衡，對(duì)工作環(huán)境的適應(yīng)能力也越強(qiáng)。

3) 可控效益。SGCMGs構(gòu)型最小顯奇異點(diǎn)角動(dòng)量與SGCMGs角動(dòng)量的代數(shù)和之比。以最小顯奇異點(diǎn)為半徑的開(kāi)球所表示的角動(dòng)量體內(nèi)不會(huì)遭遇顯奇異問(wèn)題，而隱奇異可通過(guò)零運(yùn)動(dòng)脫離，所以值越大表明系統(tǒng)規(guī)避奇異的能力越強(qiáng)，控制能力越強(qiáng)。

4) 奇異點(diǎn)損失率。構(gòu)型效益與可控效益的差值，值越小表明構(gòu)型顯奇異點(diǎn)越接近包絡(luò)面附近，構(gòu)型的可控角動(dòng)量球也就越大。

失效前后構(gòu)型性能參數(shù)匯總見(jiàn)表2。

表2 失效前后構(gòu)型性能參數(shù)

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，CMG1和CMG6失效后構(gòu)型變化情況相同，如下所示：

1) 構(gòu)型角動(dòng)量體包絡(luò)減小，構(gòu)型效益下降，表明角動(dòng)量體減小，最大輸出能力下降。

2) 包絡(luò)最大角動(dòng)量與包絡(luò)最小角動(dòng)量相差增大，構(gòu)型效率下降，表明角動(dòng)量體偏離球形，構(gòu)型在三軸方向的力矩輸出能力均衡度變差。

3) 最小顯奇異點(diǎn)遠(yuǎn)離包絡(luò)，可控效益大幅下降，奇異點(diǎn)損失率大幅上升，表明顯奇異點(diǎn)內(nèi)切球(球內(nèi)無(wú)顯奇異點(diǎn))半徑大幅減小，可適用零運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量球縮小。

2 操縱律設(shè)

五棱錐構(gòu)型中，半徑為4.27h0的角動(dòng)量球內(nèi)只有隱奇異點(diǎn)存在。針對(duì)隱奇異點(diǎn)可通過(guò)零運(yùn)動(dòng)規(guī)避的特性，文獻(xiàn)[11]采用“偽逆+零運(yùn)動(dòng)”操縱律，這一操縱律對(duì)此類顯奇異點(diǎn)內(nèi)切球較大的構(gòu)型具有明顯的適用性，具體描述如下：

(7)

單只陀螺失效后帶來(lái)的最明顯變化是五棱錐構(gòu)型內(nèi)部奇異點(diǎn)組成的復(fù)雜化，失效后該半徑迅速下降至1.889h0。若仍舊采用“偽逆+零運(yùn)動(dòng)”操縱律，則將工作空間限制在該內(nèi)切球內(nèi)，一旦超出該球范圍極有可能遭遇顯奇異點(diǎn)，而“偽逆+零運(yùn)動(dòng)”顯然不具備規(guī)避顯奇異點(diǎn)的能力。對(duì)于這類顯奇異點(diǎn)深入角動(dòng)量體內(nèi)部的構(gòu)型，文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了攝動(dòng)魯棒偽逆操縱律，如下所示：

(8)

式中：λ為正誤差項(xiàng)系數(shù)；I3×3為單位陣；E3×3為攝動(dòng)矩陣,其中

(9)

式中：εj為適當(dāng)選取的小量，εj=0.01sin(0.5πt+φj)(j=1，2，3)。相位差分別為φ1=0，φ2=0.5π，φ3=π。

該操縱律通過(guò)引入誤差攝動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行奇異規(guī)避，對(duì)顯、隱奇異點(diǎn)均適用，但由于引入誤差項(xiàng)會(huì)帶來(lái)額外的誤差力矩輸出，不利于高精度的姿態(tài)控制。

基于以上2種操縱律的優(yōu)缺點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)了一種帶零運(yùn)動(dòng)的魯棒偽逆操縱律。設(shè)計(jì)的基本思路為：在角動(dòng)量向奇異點(diǎn)逼近的過(guò)程中，優(yōu)先將此奇異點(diǎn)作為隱奇異點(diǎn)處理，引入零運(yùn)動(dòng)進(jìn)行規(guī)避，若奇異狀態(tài)未惡化至閾值狀態(tài)(σ≥σ1)時(shí)，仍將此點(diǎn)作為隱奇異點(diǎn)處理；當(dāng)奇異情況進(jìn)一步惡化，奇異值低于閾值(σ<σ1)時(shí)，表明零運(yùn)動(dòng)效果不佳，此時(shí)將奇異點(diǎn)作為顯奇異點(diǎn)處理，引入攝動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行規(guī)避。具體形式為

(10)

系數(shù)λ，α選取規(guī)則為

(11)

當(dāng)構(gòu)型大于奇異度量閾值σ1時(shí)，優(yōu)先對(duì)內(nèi)部隱奇異點(diǎn)進(jìn)行規(guī)避，此時(shí)求解準(zhǔn)確，不引入誤差項(xiàng)；當(dāng)構(gòu)型奇異度量小于σ1時(shí)，表明零運(yùn)動(dòng)作用不大，此時(shí)引入攝動(dòng)項(xiàng)，為避免指令框架角速度過(guò)大，將零運(yùn)動(dòng)項(xiàng)置零。這樣能在充分利用內(nèi)部隱奇異點(diǎn)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)對(duì)顯奇異點(diǎn)的規(guī)避。選取閾值σ1時(shí)不宜過(guò)大，閾值越大表明零運(yùn)動(dòng)作用的區(qū)間越小，攝動(dòng)工作區(qū)間越大。閾值選取原則為：在盡量擴(kuò)大零運(yùn)動(dòng)作用區(qū)間的同時(shí)，保證攝動(dòng)能及時(shí)規(guī)避顯奇異點(diǎn)。

3 平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模

為驗(yàn)證操縱律的控制效果，建立以SGCMGs為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，有

(12)

式中：J為包含SGCMGs在內(nèi)的整星慣量陣，J=Jb+JCMG；h為SGCMGs構(gòu)型角動(dòng)量；ω為衛(wèi)星本體相對(duì)慣性系的角速度；Tc為SGCMGs輸出力矩；Te為外部力矩[14]。

采用四元數(shù)描述衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，有

(13)

4 仿真分析

設(shè)飛行器相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系的慣量為

Jb=diag(4 000 3 000 3 000)kg·m2

單個(gè)SGCMG的角動(dòng)量h0=25 N·m·s，最大力矩輸出為10 N·m。衛(wèi)星初始三軸慣性姿態(tài)角均為1°，三軸角速度均為0.1 (°)/s，三軸外部干擾力矩為1 mN·m。采用5次多項(xiàng)式法設(shè)計(jì)一種三軸姿態(tài)機(jī)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)軌跡，軌跡時(shí)長(zhǎng)80 s，機(jī)動(dòng)角度0°。噴氣卸載觸發(fā)條件為

(14)

以CMG1失效為例，分別采用魯棒偽逆操縱律和帶零運(yùn)動(dòng)的魯棒偽逆操縱律進(jìn)行仿真。

圖8～10分別為三軸跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)的姿態(tài)角曲線，可以發(fā)現(xiàn)在40 s左右采用魯棒偽逆操縱律得到的三軸機(jī)動(dòng)曲線明顯偏離標(biāo)準(zhǔn)軌跡，偏差為2°以上。結(jié)合圖11可知，這是由于噴氣卸載干擾造成的，卸載結(jié)束后，曲線逐漸收斂。而采用帶有零運(yùn)動(dòng)的魯棒偽逆操縱律機(jī)動(dòng)效果明顯優(yōu)于前者，實(shí)時(shí)跟蹤精度能達(dá)到0.01°以上。

圖8 滾動(dòng)角機(jī)動(dòng)曲線Fig.8 Roll angle maneuvering trajectory

圖9 俯仰角機(jī)動(dòng)曲線Fig.9 Pitch angle maneuvering trajectory

圖10 偏航角機(jī)動(dòng)曲線Fig.10 Yaw angle maneuvering trajectory

圖11 噴氣卸載力矩Fig.11 Jet unloading torque

結(jié)合噴氣卸載力矩、構(gòu)型角動(dòng)量及構(gòu)型奇異度量，可以得出：采用魯棒偽逆操縱律在機(jī)動(dòng)過(guò)程中雖然避免了內(nèi)部的奇異狀況，但由于攝動(dòng)的影響造成額外的力矩輸出，在40 s前后角動(dòng)量約為80 N·m·s，且奇異度量在接近0.2時(shí)觸發(fā)噴氣卸載，造成跟蹤誤差增大。而采用帶有零運(yùn)動(dòng)的魯棒偽逆操縱律充分利用了角動(dòng)量體內(nèi)部的隱奇異點(diǎn)，奇異度量始終保持在0.5以上，表明構(gòu)型始終遠(yuǎn)離奇異狀態(tài)。

圖12 構(gòu)型角動(dòng)量曲線Fig.12 Configuration angular momentum curve

圖13 構(gòu)型奇異度量曲線Fig.13 Singularity index curve

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)五棱錐SGCMGs構(gòu)型及單只陀螺失效情況下的內(nèi)部奇異狀況進(jìn)行了幾何分析，并計(jì)算得到了一系列的性能參數(shù)?；趩沃煌勇菔Ш髢?nèi)部奇異的復(fù)雜情況，在前人研究的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種適用于顯奇異點(diǎn)深入角動(dòng)量體SGCMGs構(gòu)型的綜合操縱律，在規(guī)避顯奇異點(diǎn)的基礎(chǔ)上充分利用內(nèi)部的隱奇異點(diǎn)。通過(guò)仿真比較發(fā)現(xiàn)，本文設(shè)計(jì)的綜合操縱律控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)的魯棒偽逆操縱律。該設(shè)計(jì)的操縱律結(jié)合了魯棒偽逆和帶零運(yùn)動(dòng)的偽逆操縱律的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)部顯奇異點(diǎn)進(jìn)行攝動(dòng)規(guī)避，隱奇異點(diǎn)進(jìn)行零運(yùn)動(dòng)規(guī)避，在規(guī)避奇異方面具有一定通用性，同樣適用于金字塔型、雙平型等多種SGCMGs構(gòu)型，在工程上具有一定的實(shí)用性。

本文通過(guò)閾值的選取將角動(dòng)量工作空間劃分兩部分(σ<σ1和σ≥σ1)，未考慮兩者間的過(guò)渡區(qū)域。后續(xù)可在考慮SGCMG最大框架角速度的前提下，增加σ1的過(guò)渡部分，通過(guò)優(yōu)化參數(shù)配置實(shí)現(xiàn)零運(yùn)動(dòng)的偽逆操縱律向魯棒偽逆操縱律的小擾動(dòng)過(guò)渡。