楊廣慧，杜立夫，劉曉東

(北京航天自動(dòng)控制研究所,北京 100854)

0 引言

日趨復(fù)雜的現(xiàn)代戰(zhàn)場環(huán)境對飛行器，尤其是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈提出了輕質(zhì)化和高動(dòng)態(tài)的雙重要求，然而輕質(zhì)化的實(shí)現(xiàn)會在一定程度上降低伺服的動(dòng)態(tài)特性，造成其姿控回路與伺服回路的頻譜分離不夠明顯。傳統(tǒng)的飛行器姿態(tài)控制設(shè)計(jì)方法通常將姿控回路和伺服回路分開設(shè)計(jì)，并未充分考慮兩者之間的交聯(lián)影響，導(dǎo)致兩者之間缺乏有機(jī)的協(xié)調(diào)匹配，無法充分發(fā)揮飛行器的最大潛力。此外，為更好地實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)任務(wù)要求，飛行器控制系統(tǒng)會對其伺服系統(tǒng)提出較高的技術(shù)指標(biāo)要求，增加伺服回路的設(shè)計(jì)難度，因此需要研究考慮伺服回路特性的姿態(tài)控制設(shè)計(jì)方法，從而降低對伺服回路的性能指標(biāo)要求。為提高飛行器姿控系統(tǒng)的整體性能指標(biāo)，研究考慮伺服回路動(dòng)態(tài)的姿態(tài)控制設(shè)計(jì)方法極為必要。

對于飛行器這類非線性系統(tǒng)，通常采取多魯棒面控制與反演設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法[1-3]。但是，傳統(tǒng)反演方法中的連續(xù)微分會帶來“計(jì)算爆炸”問題。為解決此問題，SWAROOP等[4]提出了一種動(dòng)態(tài)面控制方法。該方法通過引入若干組低通濾波器避免了對虛擬指令的直接微分，具有較高的工程實(shí)用價(jià)值，得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并被應(yīng)用于飛行器的制導(dǎo)控制設(shè)計(jì)中[5-9]。本文在此基礎(chǔ)上，以飛行器俯仰通道為例，借助多魯棒面控制和動(dòng)態(tài)面控制理論，提出了一種考慮伺服回路動(dòng)態(tài)的攻角控制設(shè)計(jì)方法。此外，滑模變結(jié)構(gòu)控制方法具有設(shè)計(jì)簡單、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，自首次被提出以來，得到了廣泛的研究，并在工程實(shí)踐中逐漸得到推廣和應(yīng)用[10-11]。因此，在分層設(shè)計(jì)時(shí)，本文將滑模變結(jié)構(gòu)控制理論納入考慮范圍，以提高攻角控制方案的魯棒性能。為衡量不同控制方案下姿控系統(tǒng)的綜合性能，體現(xiàn)本文所提出的控制方案的性能優(yōu)勢，提出了一個(gè)用于評價(jià)綜合性能的指標(biāo)函數(shù)，該函數(shù)是關(guān)于攻角跟蹤誤差與控制舵偏量的加權(quán)。

1 問題描述

俯仰通道的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程組為

(1)

式中：α和θ分別為飛行器攻角和彈道傾角；m和v分別為飛行器質(zhì)量和速度；g為重力加速度；ωz為俯仰角速率；Jz為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；q，S和L分別為動(dòng)壓、參考面積和參考長度。氣動(dòng)升力系數(shù)CY和俯仰力矩系數(shù)Cz的表達(dá)式為

(2)

因此，當(dāng)未考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，面向攻角控制的設(shè)計(jì)模型為

(3)

為便于設(shè)計(jì)，電動(dòng)伺服回路的動(dòng)態(tài)特性可簡化為一個(gè)二階線性環(huán)節(jié)，即

(4)

式中：ωn為電動(dòng)伺服系統(tǒng)的自然振蕩角頻率；ξn為電動(dòng)伺服系統(tǒng)的阻尼比；δzd為電動(dòng)伺服系統(tǒng)的輸入指令。其中，ωn和ξn的選取需體現(xiàn)伺服回路帶寬和動(dòng)態(tài)的設(shè)計(jì)要求。與式(4)對應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為

(5)

因此，當(dāng)考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，面向攻角控制的設(shè)計(jì)模型為

(6)

式(3)、(6)建立的數(shù)學(xué)模型為下一步飛行器攻角控制律的設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。下一節(jié)將基于此模型進(jìn)行攻角控制律的設(shè)計(jì)。

2 動(dòng)態(tài)面攻角控制律設(shè)計(jì)

形如式(3)、(6)所示的非線性系統(tǒng)，通常采取反演與多魯棒面控制相結(jié)合的控制方式。但是，傳統(tǒng)反演方法中的連續(xù)微分會帶來“計(jì)算爆炸”問題。為避免此現(xiàn)象的發(fā)生，可采用動(dòng)態(tài)面控制方法[4]。該方法通過引入若干個(gè)低通濾波器避免了對虛擬指令的直接微分，具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。同時(shí)，因滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)方便，且具備針對外界干擾和參數(shù)攝動(dòng)的強(qiáng)魯棒性能，故本文在分層設(shè)計(jì)時(shí)將采用該方法。

針對雙層結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)模型(3)，即未考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，動(dòng)態(tài)面攻角控制律為

(7)

式中：αd為攻角指令；濾波器系數(shù)η>0；k1，q1，k2，q2為控制系數(shù)，其值均大于零。

而針對3層結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)模型(6)，即考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，動(dòng)態(tài)面攻角控制律則變?yōu)?/p>

(8)

式中：濾波器系數(shù)η1>0，η2>0；控制系數(shù)k3>0，q3>0。

下面將重點(diǎn)分析在采用本文所提出的控制算法(8)時(shí)攻角控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。作為分析的前提，首先給出2個(gè)具有可行性的假設(shè)條件。

假設(shè)1系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)均是有界的，且滿足dα≤κα,dz≤κz,dm≤κm。

假設(shè)2當(dāng)采用動(dòng)態(tài)面控制方法時(shí)，低通濾波器的輸出信號yfo與輸入信號yfi的差值是有界的，且滿足yfo-yfi≤κfy。

基于上述2個(gè)假設(shè)條件，給出本文所提方案下攻角控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。

定理1對于具有3層級聯(lián)結(jié)構(gòu)的含伺服環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)模型(6)，采用動(dòng)態(tài)面攻角控制律(8)，當(dāng)滿足式(9)條件時(shí)，飛行器實(shí)際攻角α將漸近收斂于指令攻角αd，即攻角控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

(9)

證明采用滑模面變量構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

(10)

對Lyapunov函數(shù)進(jìn)行微分計(jì)算，得到

(11)

由式(6)、(8)可得

(12)

當(dāng)采用動(dòng)態(tài)面方法時(shí)，有ωzc=ωzd+dfz。因此，式(12)可改寫為

(13)

式中：不確定性變量ds1=dα+dfz是有界的，且滿足ds1≤κs1=κα+κfz。

然后，將角速度虛擬控制律代入式(13)可得

(14)

同樣，由式(6)、(8)可得

(15)

-k3s3-q3sgn(s3)+dm

(16)

(17)

式中：ds2=dz+b2dfm是有界的，且滿足ds2≤κs2=κz+b2κfm。

此時(shí)，由式(14)、(17)可得

s2-k1s1-q1sgn(s1)+ds1s1+

-k2s2-q2sgn(s2)+ds2s2=

-k1s12-k2s22+s1s2-q1s1+

ds1s1-q2s2+ds2s2≤

κs1s1-q2s2+κs2s2=

q1-κs1s1-q2-κs2s2

(18)

由式(7)、(8)可看出，在未考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，解算出的舵偏角指令為δzd；而在考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，解算出的舵偏角指令變?yōu)棣膠d*。這體現(xiàn)出2種設(shè)計(jì)方法之間的區(qū)別。顯然，控制律(8)中包含了伺服回路的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。此外，為防止控制量的高頻抖動(dòng)，用如下飽和函數(shù)來替代符號函數(shù)，即

(19)

可以證明，當(dāng)采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)后，若同樣滿足定理1中的條件，則控制系統(tǒng)的Lypanonov漸近穩(wěn)定性將退變?yōu)橛薪绶€(wěn)定性。此外，我們可通過調(diào)節(jié)參數(shù)η來減小收斂域界值。實(shí)際上，參數(shù)η的選取應(yīng)折中考慮系統(tǒng)收斂精度與控制平滑程度。

至此，在未考慮/考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，即分別考慮雙環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型(3)和三環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型(6)時(shí)，飛行器攻角魯棒控制律設(shè)計(jì)完畢。

3 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過計(jì)算機(jī)仿真，驗(yàn)證本文所提出的控制方案相比于未考慮伺服回路控制方案的性能優(yōu)勢。

仿真中，當(dāng)未考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，攻角控制律的參數(shù)為：k1=20，q1=2，k2=20，q2=2。當(dāng)考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，攻角控制律的參數(shù)為：k1=30，q1=5，k2=30，q2=10，c=500，k3=30，q3=5。 伺服回路的階躍響應(yīng)曲線如圖1所示。

圖1 伺服回路的階躍響應(yīng)曲線Fig.1 Step response curve of servo loop

將如圖1所示的伺服回路置于飛行器攻角控制系統(tǒng)中，然后比較2種控制方案下的攻角跟蹤曲線，如圖2所示。由圖2可知，當(dāng)設(shè)計(jì)中考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，飛行器攻角跟蹤的響應(yīng)速度更快，同時(shí)穩(wěn)態(tài)精度更高。

圖2 2種控制方案下攻角跟蹤曲線Fig.2 Attack angle tracking curves under two control schemes

為更為直觀地比較2種控制方案下攻角控制系統(tǒng)的綜合性能情況，將性能指標(biāo)函數(shù)定義為

(20)

式中：第1項(xiàng)為跟蹤誤差相關(guān)項(xiàng)，第2項(xiàng)為控制消耗相關(guān)項(xiàng)。

2種控制方案下攻角控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)曲線如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)設(shè)計(jì)中考慮伺服回路動(dòng)態(tài)時(shí)，攻角控制系統(tǒng)的綜合性能指標(biāo)值更小，即具有更優(yōu)越的綜合性能，體現(xiàn)出本文所提出的控制方案的優(yōu)勢。

圖3 2種控制方案下性能指標(biāo)曲線Fig.3 Performance index curves under two control schemes

圖4 2種控制方案下跟蹤誤差曲線Fig.4 Tracking error curves under two control schemes

同時(shí)，為了體現(xiàn)本文所提出控制方案的魯棒性，下面將對比未包含魯棒項(xiàng)的控制方案，其控制律參數(shù)為：k1=30，q1=0，k2=30，q2=0，c=500，k3=30，q3=0。于是，2種控制方案下階躍響應(yīng)的跟蹤誤差曲線如圖4所示。由圖4可以看出，在存在不確定因素的情況下，相比未考慮魯棒項(xiàng)的控制方案，本文控制方案下攻角跟蹤的響應(yīng)速度更快，穩(wěn)態(tài)精度更高，從而直觀體現(xiàn)出其控制性能優(yōu)勢，進(jìn)而反映出系統(tǒng)魯棒性能的提升。

4 結(jié)論

為提高姿控外回路和伺服內(nèi)回路的協(xié)調(diào)匹配性，本文提出了一種考慮伺服回路動(dòng)態(tài)的攻角魯棒控制設(shè)計(jì)方法。采用滑模控制與動(dòng)態(tài)面控制相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)了對象3層子系統(tǒng)之間的有效級聯(lián)。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明：相比于未考慮伺服回路動(dòng)態(tài)的姿控設(shè)計(jì)方法，本文所提出的控制方案具有更好的攻角跟蹤效果和更優(yōu)越的綜合性能指標(biāo)，包括跟蹤誤差和控制能量消耗。該控制方案結(jié)構(gòu)清晰，便于工程實(shí)現(xiàn)，可重點(diǎn)應(yīng)用于具有高動(dòng)態(tài)和輕質(zhì)化要求的飛行器姿態(tài)控制領(lǐng)域，并可推廣應(yīng)用于飛行器全通道姿態(tài)控制。